Theorema Magnum MCMLXIV: Auflösung der Singularitäten

Typische Beispiele von Singularitäten sind die Kuspe y²=x³ oder die nodale Singularität y²=x³-3x+2.

Algebraische Varietäten (Nullstellenmengen von Polynomen) können beliebig komplizierte Singularitäten haben, was ihre Klassifikation völlig aussichtslos macht. Man strebt deshalb nur eine Klassifikation bis auf birationale Äquivalenz an. Birationale Äquivalenz heißt, dass man auf einer offenen, dichten Teilmenge eine Isomorphie hat, äquivalent dass die Funktionenkörper isomorph sind.
Singularitäten bis auf birationale Äquivalenz aufzulösen heißt dann zu einer Varietät X ein singularitätenfreies X’ und eine gemeinsame offene, dichte Teilmenge in beiden zu finden. Das klassische Beispiel ist die Aufblasung, wo die Singularität durch die Menge aller durch die Singularität laufenden Geraden, also eine Kopie des projektiven Raumes ersetzt wird.

Für Kurven hat man seit dem 19. Jahrhundert eine Klassifikation, deren Beweis die Auflösbarkeit von Singularitäten verwendet. Dabei gibt es zahlreiche Beweise für die Auflösbarkeit der Singularitäten von Kurven, der älteste geht auf Newton zurück, der 1676 die Existenz von Puiseux-Reihen für jede Kurve zeigte.

Für algebraische Flächen wurde die Auflösbarkeit von Singularitäten über C 1935 von Lefschetz’ Doktoranden Robert Walker und über beliebigen Körpern der Charakteristik Null 1939 von Oscar Zariski bewiesen. Hier ist die Auflösung nicht mehr eindeutig, es gibt aber eine eindeutige minimale Auflösung.

Zur Vorbereitung seiner Arbeiten über Auflösbarkeit von Singularitäten hatte Zariski 1935 ein Lehrbuch über Algebraische Flächen verfaßt, das ursprünglich die Arbeiten der italienischen Schule zusammenfassen sollte. (Zariski stammte aus Weißrussland, hatte seine mathematische Ausbildung aber in Italien absolviert.) Beim Schreiben des Buches kam er zu der Überzeugung, dass die algebraische Geometrie eine neue Grundlage brauche. Ideale in Polynomringen stellten sich als der richtige Zugang zur algebraischen Geometrie heraus. Ein einfaches Beispiel mag das illustrieren. Die Kurven x-1 und y²-x in P² sind beide irreduzibel, aber die durch sie definierte Varietät besteht aus zwei unzusammenhängenden Punkten (1,1) und (1,-1). Das wirft die Frage auf, wie man eine Familie von Polynomen faktorisiert. Den Kreis in R³ kann man als gemeinsame Nullstellenmenge von (x²+y²-1,z) oder (x²+y²+z²-1,z) oder (x²+y²-1,x²+y²+z²-1) beschreiben. Was sind die natürlichsten definierenden Gleichungen? Die symmetrischste Lösung: man betrachte alle Polynome, deren Nullstellenmenge die Varietät ist. Diese Familie ist ein Ideal im Polynomring. 

Nachdem er entdeckt hatte, dass viele der klassischen italienischen Beweise unvollständig und ungenau waren, machte sich Zariski daran, eine abstrakte algebraische Geometrie zu entwickeln, die für einen beliebigen Grundkörper anwendbar ist. Er verzichtete auf topologische und analytische Methoden und wandte sich voll der neuen Algebra zu. So benutzte er die Beschreibung durch Ideale, um eine Topologie auf algebraischen Varietäten zu definieren. Die Zariski-Topologie ist für Varietäten über C deutlich gröber als die klassische: die abgeschlossenen Mengen sind nur die durch Ideale gegebenen Untervarietäten. Mit dieser Topologie konnte er beispielsweise den Tangentialraum in einem durch ein Maximalideal m gegebenen Punkt algebraisch definieren: der Kotangentialraum ist m/m², der Tangentialraum das Dual dazu. In diesem Stil formulierte er viele der klassischen Begriffe in der Sprache der Ringtheorie und modernen Algebra.

Bewaffnet mit zwei starken Ideen der kommutativen Algebra – dem Konzept des integralen Abschlusses und Krulls allgemeinen Bewertungsringen – ging er das Problem der Auflösung von Singularitäten von Flächen und höherdimensionalen Varietäten an. In einer 70 Seiten langen Arbeit gelang ihm 1944 die birationale Auflösung von Singularitäten bis zur Dimension 3 in Charakteristik 0.
Die Zariski-Topologie war der richtige Ansatz, um Varietäten bis auf bireguläre Abbildungen zu untersuchen. Für die Untersuchung bis auf birationale Abbildungen, insbesondere also die Auflösung von Singularitäten, braucht man – um das Verhalten außerhalb offener, dichter Mengen zu untersuchen – “unendlich dichte Punkte”, die das Grenzverhalten entlang unterschiedlicher Richtungen beschreiben. Dafür benötigte er die Bewertungstheorie, mit der er beispielsweise Aufblasungen beschreiben konnte. Wolfgang Krull hatte 1932 die Grundlagen der Bewertungstheorie gelegt und in seinem Artikel aber gemeint, dass Bewertungen nur wenige Anwendungen hätten – das wurde durch Zariskis Arbeiten widerlegt. Mittels Bewertungen konnte er das italienische Konzept der durch unendlich nahe Punkte auferlegten Basisbedingungen idealtheoretisch fassen und so lokale Eigenschaften algebraischer Varietäten untersuchen.
Gleichzeitig bemerkte er einige vielversprechende Verbindungen zwischen dem integralen Abschluss und den vollständigen linearen Systemen. Eine systematische Untersuchung dieser Zusammenhänge führte ihn später zu den Begriffen von normalen Varietäten und Normalisierung, mit der er alle nicht-isolierten Singularitäten eliminieren konnte. Sein Hauptsatz besagte grob, dass an einem normalen Punkt – wo der lokale Ring ganz abgeschlossen in seinem Quotientenkörper ist – birationale Abbildungen nur einen Zweig haben können.

Zariski war damals Professor in Baltimore, verbrachte aber unmittelbar nach dem Krieg ein Jahr in Sao Paulo, wo er eine Vorlesung mit André Weil als einzigem Zuhörer hielt und mit diesem den „richtigen“ Zugang zur algebraischen Geometrie diskutierte. Weil war durch seine Arbeit zur Riemann-Vermutung für Funktionenkörper zu der Überzeugung gelangt, dass man eine algebraische Geometrie über beliebigen kommutativen Ringen entwickeln sollte. Insbesondere benötigte er eine Schnittheorie auf der Jacobi-Varietät einer Kurve und dafür eine Verallgemeinerung von Severis Korrespondenzenmethode über beliebigen Grundkörpern. Wie ihm immer mehr bewußt wurde, benötigten große Teile der italienischen Geometrie eine Schnittheorie, wofür er in den 40er Jahren die Grundlagen der algebraischen Geometrie neu entwickeln mußte. Daraus entstand sein Buch “Grundlagen der algebraischen Geometrie”. Das Buch entwickelte die algebraische Geometrie über beliebigen Körpern, definierte Divisoren, Zykel und deren Schnittzahlen, sowie abstrakte Varietäten (mit der Zariski-Topologie) durch Verkleben affiner Stücke. Letzteres benötigte er, weil er die Jacobi-Varietät nicht als projektive Varietät definieren konnte und deshalb einen allgemeineren Begriff von Varietäten benötigte, der natürlich einen Bruch mit dem bisherigen Verständnis algebraischer Geometrie darstellte. Mit diesen Grundlagen vollendete er zwei Jahre später den Beweis des Satzes über die Nullstellen der Zetafunktion für Funktionenkörper von Kurven über endlichen Körpern. Der Beweis verwendete nicht die von Hasse vorgeschlagene Normbildung, sondern Weils Spurbildung, die zu dem Schnittprodukt auf dem Korrespondenzenring der Kurve führt.
Derweil hatte Chevalley eine Schnitttheorie für algebraische Mannigfaltigkeiten entwickelt und viele aus der Theorie analytischer Funktionen stammende Methoden arithmetisiert. Weil hoffte, dass durch Chevalleys Ideen zur Fortsetzung von Spezialisierungen die letzten Spuren der Eliminationstheorie aus der algebraischen Geometrie eliminiert werden könnten.

Zwei Jahre nach dem Krieg wurde Weil nach Chicago berufen, Zariski wechselte später von Baltimore nach Harvard. Während Princeton Zentrum der Topologie war, wurde Harvard mit Zariski zum Zentrum der algebraischen Geometrie. In seinem Vortrag auf dem ICM 1950 in Massachusetts stellte er klar, dass das Ziel der neuen Grundlagen nicht sei, die Arbeiten der Vorväter zu widerlegen, sondern im Gegenteil sie zu bestätigen. Die italienischen Geometer hätten auf etwas wackligem Boden das wunderbare Gebäude der Theorie algebraischer Flächen errichtet und es sei das Ziel der modernen algebraischen Geometrie, dieses Gebäude weiter zu stärken, zu erhalten und zu verschönern. Tatsächlich gab es aber durchaus auch ernsthafte Probleme mit den Arbeiten der italienischen Schule. Bei Castelnuovo waren die Standards noch die in der Mathematik üblichen, bei Enriques informellere Argumente wie das “Stetigkeitsprinzip” (wenn etwas bis zum Grenzwert richtig ist, dann auch im Grenzwert) akzeptabel geworden – seine Intuition war so gut, dass die bewiesenen Resultate trotzdem korrekt waren. Unter Severis Führerschaft waren die Standards weiter gesunken und nun waren manche Resultate nicht nur unzureichend bewiesen, sondern völlig falsch. So hatte er behauptet, dass der Raum rationaler Äquivalenzklassen von Zykeln auf einer algebraischen Fläche endlichdimensional sei, oder dass eine Fläche vom Grad 6 in CP³ höchstens 52 Doppelpunkte habe (wozu Barth fünfzig Jahre später ein Gegenbeispiel einer Sextik mit 65 Doppelpunkten fand). Er akzeptierte nicht, dass seine Argumente nicht ausreichten, was zu langwierigen Disputen führte. Inzwischen wußte niemand mehr, was eigentlich korrekt war und was nicht, die intuitive Schule der algebraischen Geometrie kollabierte.

In den 50er Jahren stellte dann Grothendieck die algebraische Geometrie auf eine neue Grundlage. Sowohl Weil als Zariski waren sich unsicher gewesen, wie man die Punkte einer Varietät über einem nicht algebraisch abgeschlossenen Körper definieren sollte: sind sie Maximalideale in den Koordinatenringen oder aber Lösungen der definierenden Gleichungen im algebraischen Abschluß? Und man brauchte auch van der Waerdens Konzept generischer Punkte.  Diese Konfusion verschwand durch Grothendiecks radikalen Schnitt: in einem Schema hat er als Punkte die Primideale (statt nur der Maximalideale) im Koordinatenring, aber andererseits hat er die Morphismen S—>X eines anderen Schemas S als die S-wertigen Punkte. (Das gibt die traditionellen Punkte, wenn S das Spektrum des algebraischen Abschlusses des Körpers ist.) Auf diese Weise definiert er einen Punktfunktor, der jedem Schema S die S-wertigen Punkte X(S) zuordnet.
Beispielsweise würde man gerne SL(2,R) als die Menge der reellen Punkte von SL(2,C) definieren. SL(2,C) ist eine algebraische Varietät, definiert durch die Gleichung ad-bc-1=0. Die Maximalideale im Spektrum des Rings C[a,b,c,d]/(ad-bc-1) sind tatsächlich die, die von Matrizen aus SL(2,C) erzeugt werden. Für R[a,b,c,d]/(ad-bc-1) gibt es hingegen auch Maximalideale, die Paaren komplex konjugierter Matrizen entsprechen – so wie R[x] das Maximalideal (x²+1) hat, das in C[x] im Maximalideal (x-i,x+i) enthalten wäre. Deshalb kann man SL(2,R) nicht einfach als die abgeschlossenen Punkte im Spektrum dieses Ringes definieren.
Der Ausweg ist, den Ring Z[a,b,c,d]/(ad-bc-1) zu betrachten, und zwar als sogenanntes Schema – ein Raum, der lokal (in diesem Fall auch global) isomorph zum Spektrum eines Ringes ist, versehen mit der Garbe lokaler Ringe – und dann die K-wertigen Punkte mit den Homomorphismen von K in den Ring zu betrachten. Im Beispiel sind dann die Cwertigen Punkte die Matrizen aus SL(2,C), die R-wertigen Punkte die Matrizen aus SL(2,R), die F_q-wertigen Punkten die Matrizen aus SL(2,F_q) und die Z-wertigen Punkte die Matrizen aus SL(2,Z).
Mit Grothendiecks Ansatz definierte jeder kommutative, unitale Ring A ein affines Schema Spec(A). Man brauchte sich nicht wie bisher immer auf eine Kategorie “guter” Ringe (Integritätsringe, oder Noethersche Ringe, oder Ringe ohne nilpotente Elemente) beschränken. Dafür haben Punkte bei Grothendieck keine geometrische Bedeutung und die Strukturgarbe ist keine Funktionengarbe. Die Konstruktion eines Schemas beginnt nicht mit der Konstruktion seiner Punkte. Und man benötigt immer die relative Theorie. Das Symbol “f:X—>S” war in Grothendiecks Arbeiten omnipräsent (und gab für S=Spec(k) den Fall klassischer Varietäten) und zu jedem Basiswechsel S’—>S hat man ein gefasertes Produkt. 
Eine algebraische Varietät war jetzt nicht mehr nur die Menge ihrer Punkte (algebraisch: der Maximalideale), sondern vielmehr die Menge ihrer irreduziblen Untervarietäten (algebraisch: der Primideale). (Und man hatte jetzt nilpotente Elemente wie zum Beispiel das Ideal (x) in Z[x]/(x²).) Statt der Punkte und Funktionen sind es die Strukturgarbe und die Morphismen, durch die die Kategorie der Schemata funktioniert. Die Strukturgarbe ist insofern ungewöhnlich, dass ihr Wertebereich von Punkt zu Punkt variiert. Beispielsweise definiert x³/(x²-1) auf der Varietät C eine reguläre Funktion auf der offenen Menge U=C-{-1,1}, deren Wert in 3 die Zahl 27/8 gibt. Auf dem Schema A¹=Spec C[x] definiert dieser Ausdruck auch ein Element in O(U) über der entsprechenden offenen Menge U=A¹-V((x²-1)), indem man ihn für jeden Punkt p als Element des lokalen Rings O_p(U) betrachtet. An dem dem Maximalideal (x-3) entsprechenden Punkt p ist sein Wert x³/(x²-1). Dessen Bild im Quotientenkörper k(p)=C ist wieder 27/8.

Zu Zariskis Studenten in Harvard gehörten Abhyankar, Hironaka, Mumford und M. Artin. Mumford arbeitete ebenso wie Zariski daran, die italienische Schule der algebraischen Flächen algebraisch und rigoros zu machen und sie auf den Fall von Grundkörpern positiver Charakteristik auszudehnen. Er untersuchte pathologisches Verhalten in der algebraischen Geometrie, einerseits Effekte in Charakteristik p, die man aus der Kenntnis der Eigenschaften in Charakteristik 0 nicht erwarten würde, andererseits unerwartete Effekte in Modulräumen. Er versuchte, Enriques’ Klassifikation algebraischer Flächen auf Charakteristik p>0 auszudehnen, wo viele neue Probleme erscheinen. Er widerlegte eine Vermutung von Severi über Unirationalität des Modulraums komplexer Kurven, aber in anderen Fällen konnte er mit den modernen Methoden die Intuition der Italiener bestätigen. Mumford benutzte früh die neuen Methoden Grothendiecks und konnte insbesondere mit der von ihm entwickelten „Geonetrischen Invariantentheorie“ zahlreiche Modulräume konstruieren.

Nicht nur bei Kompaktifizierungen von Modulräumen treten häufig Singularitäten auf. Auch die Klassifikation algebraischer Flächen ließe sich auf höhere Dimensionen verallgemeinern, wenn man sogenannte kanonische Singularitäten verstünde.

Zariski hatte seine Beweise der Auflösbarkeit von Varietäten der Dimension 2 und 3 in Charakteristik 0 so formuliert, dass klar war, welche Probleme zu lösen seien, um den Beweis auch in Charakteristik p>0 zu haben. Sein Student Abhyankar bewies 1956 die Auflösbarkeit in diesen Dimensionen (im 3-dimensionalen Fall für p>5).

Die Auflösbarkeit von Singularitäten in beliebigen Dimensionen – über Grundkörpern der Charakteristik 0 – bewies 1964 Zariskis Student Heisuke Hironaka, auch hieran hatte Zariski großen Anteil.

Das von Hironaka bewiesene Resultat in Charakteristik 0 besagt: es gibt eine Auflösung durch endlich viele Aufblasungen, deren Zentren ganz in Sing(X) liegen, und entlang derer X normal-flach ist. Der Beweis war allgemein, er ließ sich auch beispielsweise auf Schemata über formalen Potenzreihen in Charakteristik 0 anwenden.

Die Auflösbarkeit von Singularitäten wurde der wohl am häufigsten angewandte Satz der algebraischen Geometrie. Wie man auflöst, also durch Aufblasungen, spielte hingegen für die Anwendungen keine Rolle. (Mit einer Ausnahme: Auflösungen projektiver Varietäten sind wieder projektiv, wofür man die Auflösung durch Aufblasungen benötigt.)

Der Beweis war zwar konstruktiv, aber eine so komplexe induktive Konstruktion, dass sie niemand wirklich durchschaute. Außerdem war der Auflösungsprozeß so ineffektiv, dass im konkreten Fall niemand in der so beschriebenen Weise auflösen würde. Im Laufe der Zeit wurde Hironakas ursprünglich 220 Seiten langer Beweis aber immer weiter vereinfacht.
Grothendieck, der später die Laudatio für Hironakas Fields-Medaille hielt, betonte, dass es sich nicht um ein platonisches Resultat handele, sondern um ein sehr nützliches Werkzeug, das wichtigste das wir haben, um algebraische oder analytische Varietäten (in Charakteristik 0) zu untersuchen, auch die nicht-singulären insbesondere im nicht-kompakten Fall. Die typische Anwendung betrifft im projektiven Raum mit nicht-abgeschlossenem Bild einbettbare Varietäten, deren Abschluß man nun desingularisieren kann. Man erhält, dass die ursprüngliche Varietät dann in einer kompakten nicht-singulären Varietät das Komplement eines Divisors mit normalen Kreuzungen ist, was extrem nützlich sei. Zu den zahllosen Anwendungen gehöre zum Beispiel, dass man die komplexe Kohomologie mittels eines Komplexes algebraischer Differentialformen berechnen könne, ebenso wie Resultate über die etale Kohomologie.

Für Singularitäten komplexer Hyperflächen ließen sich stärkere Resultate beweisen. Für eine Singularität P einer algebraischen Hyperfläche V in CPⁿ ist der Schnitt der Hyperfläche mit einer (hinreichend kleinen) ε-Sphäre genau dann eine reelle (2n-3)-Sphäre, wenn V in P eine topologische Mannigfaltigkeit ist. Für algebraische Flächen in CP³ hat man genau dann eine 3-Sphäre, wenn der Schnitt einfach zusammenhängend ist. Mumford zeigte für normale Singularitäten dass man die Fundamentalgruppe des Schnitts aus dem Auflösungsdiagramm der Singularität berechnen und insbesondere also die Regularität auf diese Weise entscheiden kann. Insbesondere muß die Fundamentalgruppe trivial sein, wenn die Fläche eine topologische Mannigfaltigkeit ist. Für Hyperflächen in höheren Dimensionen konnte Hirzebruchs Student Brieskorn in seiner Dissertation nicht nur die simultane Auflösbarkeit beweisen, sondern später auch eine explizite Beschreibung exotischer Sphären als Umgebungsränder gewisser isolierter Hyperflächensingularitäten erhalten. Besonders schwierig war die Auflösung der E8-Singularität gewesen: unter Verwendung sehr klassischer algebraischer Geometrie, insbesondere einer Arbeit von Max Noether über rationale Doppelebenen und Eigenschaften exzeptioneller Kurven auf rationalen Flächen, die durch das Aufblasen von 8 Punkten auf einer ebenen Kubik entstehen, hatte er letztlich 21435527 simultane Auflösungen gefunden, also soviele wie es Elemente der zum Wurzelsystem zugehörigen Spiegelungsgruppe gibt. Diese Untersuchungen hatten ihn dann auch zur Untersuchung allgemeiner Quotientensingularitäten C²/G für endliche Untergruppen von SL(2,C) geführt. In seinen weiteren Arbeiten fand Brieskorn dann topologisch triviale Singularitäten, die also als Umgebungsrand eine topologische Sphäre haben. Das zeigte, dass Mumfords Charakterisierung regulärer Punkte in höheren Dimensionen die Differentialstruktur (und nicht nur die topologische Struktur) der Sphäre benötigte. Brieskorn fand durch explizite Berechnung, dass die Gruppe der 7-dimensionalen exotischen Sphären vom Umgebungsrand der Ikosaedersingularität erzeugt wird und insbesondere also alle exotischen 7-Sphären als Umgebungsränder von Singularitäten vorkommen. Manche exotischen Sphären beranden parallelisierbare Mannigfaltigkeiten und auch das ließ sich im Singularitätenbild wiederfinden: für eine Umgebung B_ε der Singularität und eine Scheibe D_δ um 0 in C sowie (für das die Hyperfläche definierende Polynom f) ist X-f^-1(0) ein Faserbündel über C-0 und die Faser ist die vom Umgebungsrand berandete Mannigfaltigkeit.

Bild: https://www.ias.edu/scholars/heisuke-hironaka