Für die weitere Untersuchung von Anosov-Diffeomorphismen nützlich war vor allem die Markov-Zerlegung der zugrundeliegenden Mannigfaltigkeit, mit der die Untersuchung der hyperbolischen Dynamik auf das Studium einer symbolischen Dynamik zurückgeführt werden kann – analog zu Smales symbolischer Dynamik der Hufeisenabbildung – und damit die Methoden der statistischen Mechanik nutzbar werden. Die symbolische Dynamik hängt dabei in jedem Zeitpunkt nur von der gegenwärtigen Situation und nicht von der Vergangenheit des Systems ab, man bekommt also einen Markow-Prozeß.
Einen Beweis der von Smale letztlich 1961 vermuteten strukturelle Stabilität gleichmäßig hyperbolischer Systeme (von Smale als Anosov-Flüsse bezeichnet) hatte Anosov schon 1962 angekündigt und 1965 zum Thema seiner Habilitation gemacht, einen ausführlichen Beweis veröffentlichte er aber erst 1967 in einer 235 Seiten langen Arbeit in den Proceedings des Steklow-Instituts („Geodesic flows on compact Riemannian manifolds of negative curvature“).
Im Diffeomorphismen-Fall gab Moser einen anderen, analytischen Beweis der strukturellen Stabilität. Er übersetzte die topologische Konjugierbarkeit in eine Funktionalgleichung zwischen Operatoren auf dem Raum der Vektorfelder und zeigte, dass diese mit dem beim Beweis des Banachschen Fixpunktsatzes benutzten Kontraktionsprinzip gelöst werden kann – dafür benötigt man die Hyperbolizität.
In seinem Überblicksartikel “Differentiable Dynamical Systems” stellte Smale 1967 die mutmaßlich ultimative Bedingung für strukturelle Stabilität vor: Axiom A zusammen mit Transversalität der stabilen und instabilen Mannigfaltigkeiten. Axiom A – motiviert von Mosers Beweis der strukturellen Stabilität im hyperbolischen Fall – sollte bedeuten, dass man auf der Menge der nichtwandernden Punkte eine hyperbolische Struktur hat und dass die periodischen Punkte dicht in der Menge der nichtwandernden Punkte liegen. Dies umfaßt die Anosov-Diffeomorphismen, denn für diese liegen periodische Punkte dicht in den nichtwandernden Punkte (während es eine offene Frage ist, ob die nichtwandernden Punkte die ganze Mannigfaltigkeit bilden). Smales Überblicksartikel wurde auch wegen seines Schreibstils sehr populär und führte dazu, dass die Theorie hyperbolischer Systeme und struktureller Stabilität vor allem mit seinem Namen assoziiert wurde.
Verallgemeinerungen der Theorie gleichmäßig hyperbolischer Systeme entwickelten in den 70er Jahren Anosovs Studenten Michail Brin (partiell hyperbolische Dynamik) und Yakov Pesin (nicht-gleichmäßig hyperbolische Dynamik). Wegen der inzwischen in Moskau praktizierenden Benachteiligung jüdischer Studenten mußten sie ihre Dissertationen an Provinzuniversitäten verteidigen, Brin in Charkow und Pesin in Gorki.
Bild: https://www.bookofproofs.org/history/dmitrii-viktorovich-anosov/
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