Theorema Magnum MCMLXVII: strukturelle Stabilität hyperbolischer Systeme

Hyperbolische Geometrie war in der Theorie dynamischer Systeme erstmals von dem Zahlentheoretiker Emil Artin genutzt worden, der 1924 bewies, dass der geodätische Fluss auf der Modulkurve SL(2,Z)\H² ergodisch ist. In den 30er Jahren hatten dann Gustav Hedlund und Eberhard Hopf die Ergodizität des geodätischen und horozyklischen Flusses auf hyperbolischen Flächen bewiesen und dabei wesentlich benutzt, dass sich in negativer Krümmung Geodäten mit exponentieller Geschwindigkeit voneinander wegbewegen, was zu sensitiver Abhängigkeit von den Anfangsbedingungen führt. Diese Eigenschaft wurde auch in anderen Ergodizitätsbeweisen wesentlich und man formalisierte sie später im Begriff der Hyperbolizität: ein Diffeomorphismus heißt hyperbolisch, wenn die Eigenwerte der Linearisierungen größer oder kleiner (und nicht gleich) 1 sind. Ein Fluss heißt hyperbolisch, wenn die Poincaré-Rückkehrabbildung hyperbolisch ist.

In Poincarés ursprünglichem Ansatz zur Himmelsmechanik hatte er Querschnitte zu periodischen Bahnen betrachtet und die auf diesen von der Rückkehrabbildung induzierten Diffeomorphismen (Poincaré-Abbildung). Diffeomorphismen waren also ein Hilfsmittel zum Verständnis von Flüssen. Beispielsweise bewies er, dass transitive Diffeomorphismen des Kreises genau dann topologisch konjugiert sind, wenn sie dieselbe Rotationszahl haben. Bei Smale wurden Diffeomorphismen zu einem eigenen Forschungsgebiet: er war überzeugt, dass dieselben Phänomene und Probleme wie in der Theorie der gewöhnlichen Differentialgleichungen in ihrer einfachsten Form auch im Diffeomorphismenproblem – der Frage nach der topologischen Konjugierbarkeit von Diffeomorphismen – vorhanden sind und dass, wenn ein Problem dort gelöst wird, die Rückübertragung auf Flüße ein sekundäres Problem ist.

Gleichmäßig hyperbolische Diffeomorphismen (heute bekannt als Anosov-Diffeomorphismen) sind per Definition solche, wo sich der Tangentialraum als direkte Summe zweier Bündel zerlegen läßt, so dass Vektoren des einen Summanden (mindestens um einen bestimmten Faktor) kontrahiert und Vektoren des anderen Summanden (mindestens um einen bestimmten Faktor) expandiert werden. Das einfachste Beispiel ist die Katzenabbildung, das ist die durch die Matrix auf dem Torus T²=R²/Z² induzierte Abbildung. Diese hat zwei Eigenwerte, deren einer größer als 1 und der andere kleiner als 1 ist. Vektoren parallel zum Eigenvektor des ersten Eigenwertes werden expandiert, während Vektoren parallel zum Eigenwert des zweiten Eigenwertes kontrahiert werden.

Für Flüsse hat man einen analogen Begriff von Hyperbolizität – hier wird nur das Komplement der Flußrichtung in kontrahierende und expandierende Richtungen zerlegt. Die beiden Bündel sind im allgemeinen nur Hölder-stetig, für zahlreiche Anosov-Flüsse auch C¹, aber selten C². Sie integrieren zu Blätterungen durch stabile und instabile Mannigfaltigkeiten, was, wie Anosov betonte, schon aus Arbeiten von Hadamard und Perron folgt. Smale und Anosov befaßten sich motiviert durch Hopfs Arbeit mit solchen Systemen und Anosov bewies, dass sie stets ergodisch sind. (Dafür mußte er voraussetzen, dass der Fluss C² ist. Ob Ergodizität auch für C¹-Anosov-Flüsse gilt, ist bis heute offen.) Hopf hatte für Flächen benutzt, dass die stabilen und instabilen Blätterungen C¹ sind, was in höheren Dimensionen aber nur bei zwischen -1 und -4 beschränkter Krümmung stimmt. Anosov bewies jedoch, dass die schwach-instabilen Blätterungen absolutstetig sind, womit Hopfs Argument weiterhin funktioniert.

Anosov entwickelte die wesentlichen technischen Werkzeuge der hyperbolischen Dynamik, neben der Theorie stabiler und instabiler Blätterungen vor allem einen Zugang mittels ε-Orbiten (Pseudo-Bahnen) und ihren Familien. Er bewies das Beschattungslemma, demzufolge jeder ε-Orbit von einem echten Orbit beschattet wird. Dieses Beschattungslemma wurde das wohl wichtigste organisierende Prinzip der hyperbolischen Dynamik. Aus ihm folgen direkt Anosovs Schließungslemma, die strukturelle Stabilität, die Existenz von Markow-Zerlegungen (eine symbolische Beschreibung im Stile des Hufeisens) und vieles mehr. Es war implizit in Anosovs Arbeit von 1967, explizit formuliert in einem Artikel 1970 und wurde dann in den 70er Jahren das Thema einer Reihe grundlegender Arbeiten von Rufus Bowen, in denen es für die symbolische Beschreibung von Diffeomorphismen mittels Markow-Zerlegung ging.

Der Wiederkehrsatz von Poincaré besagt für volumenerhaltende Flüsse die Existenz von fast-periodischen Bahnen. Mit Anosovs Beschattungslemma erhält man im hyperbolischen Fall dann sogar periodische Bahnen. Die Skizze veranschaulicht, wie Anosovs Beweis die Hyperbolizität verwendet: zu einem Punkt x(0) mit fast-periodischer Bahn, also x(t) in der Nähe von x(0), betrachtet er den Schnittpunkt y der stabilen Mannigfaltigkeit von x(0) mit der instabilen Mannigfaltigkeit von x(t). Die Bahn durch y verläuft fast durch x(0) und x(t) und aus den Stabilitätseigenschaften folgt, dass die beiden entsprechenden Punkte auf der Bahn von y sehr viel näher beieinander liegen als x(0) und x(t). Durch Iteration dieses Verfahrens erhält man im Grenzwert eine periodische Bahn.