Für die weitere Untersuchung von Anosov-Diffeomorphismen nützlich war vor allem die Markov-Zerlegung der zugrundeliegenden Mannigfaltigkeit, mit der die Untersuchung der hyperbolischen Dynamik auf das Studium einer symbolischen Dynamik zurückgeführt werden kann – analog zu Smales symbolischer Dynamik der Hufeisenabbildung – und damit die Methoden der statistischen Mechanik nutzbar werden. Die symbolische Dynamik hängt dabei in jedem Zeitpunkt nur von der gegenwärtigen Situation und nicht von der Vergangenheit des Systems ab, man bekommt also einen Markow-Prozeß.

Einen Beweis der von Smale letztlich 1961 vermuteten strukturelle Stabilität gleichmäßig hyperbolischer Systeme (von Smale als Anosov-Flüsse bezeichnet) hatte Anosov schon 1962 angekündigt und 1965 zum Thema seiner Habilitation gemacht, einen ausführlichen Beweis veröffentlichte er aber erst 1967 in einer 235 Seiten langen Arbeit in den Proceedings des Steklow-Instituts („Geodesic flows on compact Riemannian manifolds of negative curvature“).

Im Diffeomorphismen-Fall gab Moser einen anderen, analytischen Beweis der strukturellen Stabilität. Er übersetzte die topologische Konjugierbarkeit in eine Funktionalgleichung zwischen Operatoren auf dem Raum der Vektorfelder und zeigte, dass diese mit dem beim Beweis des Banachschen Fixpunktsatzes benutzten Kontraktionsprinzip gelöst werden kann – dafür benötigt man die Hyperbolizität.

In seinem Überblicksartikel “Differentiable Dynamical Systems” stellte Smale 1967 die mutmaßlich ultimative Bedingung für strukturelle Stabilität vor: Axiom A zusammen mit Transversalität der stabilen und instabilen Mannigfaltigkeiten. Axiom A – motiviert von Mosers Beweis der strukturellen Stabilität im hyperbolischen Fall – sollte bedeuten, dass man auf der Menge der nichtwandernden Punkte eine hyperbolische Struktur hat und dass die periodischen Punkte dicht in der Menge der nichtwandernden Punkte liegen. Dies umfaßt die Anosov-Diffeomorphismen, denn für diese liegen periodische Punkte dicht in den nichtwandernden Punkte (während es eine offene Frage ist, ob die nichtwandernden Punkte die ganze Mannigfaltigkeit bilden). Smales Überblicksartikel wurde auch wegen seines Schreibstils sehr populär und führte dazu, dass die Theorie hyperbolischer Systeme und struktureller Stabilität vor allem mit seinem Namen assoziiert wurde.

Verallgemeinerungen der Theorie gleichmäßig hyperbolischer Systeme entwickelten in den 70er Jahren Anosovs Studenten Michail Brin (partiell hyperbolische Dynamik) und Yakov Pesin (nicht-gleichmäßig hyperbolische Dynamik). Wegen der inzwischen in Moskau praktizierenden Benachteiligung jüdischer Studenten mußten sie ihre Dissertationen an Provinzuniversitäten verteidigen, Brin in Charkow und Pesin in Gorki.

Bild: https://www.bookofproofs.org/history/dmitrii-viktorovich-anosov/

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Kommentare (5)

  1. #1 Quanteder
    26. Februar 2021

    „ Theorie hyperbolischer Systeme und struktureller Stabilität“
    So wie du die zeitliche Entwicklung dieser Theorie beschreibst, erinnert mich dies an das Buch von Frau Hossenfelder „Lost in Math“. Physiker verlassen die „strukturelle Stabilität“ wissenschaftlicher Betrachtung, weil menschliches Denken vielleicht als „hyperbolisches System“ betrachtet werden kann.
    Frau Hossenfelder möchte mittels einer Theorie des Superdeterminismus die Dynamik und Struktur der Elementarkräfte im Universum beschreiben (Naturwissenschaft). Dabei findet sie keinen Bezug zur Dynamik und Struktur des menschlichen Denkens (… eines Menschen und einer Menge von Menschen – Geisteswissenschaft 🙂 ). Wenn menschliches Denken in seiner Dynamik und Struktur mathematisch beschrieben werden kann, so kann sie auch als analoges System zur Dunklen Materie betrachtet werden. Somit können aus der Dynamik und Struktur des menschlichen Denkens Rückschlüsse auf die Dynamik und Struktur von Dunkler Materie gezogen werden.

    Jetzt bleibt nur noch für dich, Thilo, (… Herrn Smale un d andere Mathematiker ) die Theorie hyperbolischer Systeme und strukturelle Stabilität“ mit der Dunklen Energie im Universum zu verbinden (… mit Frau Hossenfelder und andere PhysikerInnen). Hilfreich dabei ist, die Existenz von Materie als Störung in einem System zu verstehen . . . .. und die Rolle der [1] und deren vollständige Kopie (DIFF=0) in Raum und Zeit zu beschreiben.

  2. #2 Bernd Nowotnick
    26. Februar 2021

    Bemerkung zu: „ Theorie hyperbolischer Systeme und struktureller Stabilität“ …
    Hilfreich dabei ist, die Existenz von Materie als Störung in einem System zu verstehen . . . .. und die Rolle der [1] und deren vollständige Kopie (DIFF=0) in Raum und Zeit zu beschreiben.

    -> vierdimensionale Oberfläche als Raumzeit mit drei eineindeutigen Teilen in Gegenwart, Vergangenheit und Zukunft als inverse Spiegelung am Schritt 1!
    Aktuell zeigt sich keine negative Welt, damit findet die eineindeutige mathematische Spiegelung der Richtungen in der physikalischen Welt an jeder Position nicht nach –z = z statt, sondern nach i(1/z für 0->∞) = a(z für 0->∞), wobei Abweichungen durch x und y in t-Schritten gegenseitig beobachtet und ausgeglichen werden. Für eine raumzeitliche Dimension ist damit beim variablen vierdimensionalen Festkörper Raumzeit der Spiegel nicht bei 0 sondern bei 1 mit einer unendlichen Oberfläche analog der dreidimensionalen Erde. Damit liegt ein vorheriges Abbild aller aktuellen Änderungen des Schrittes eines Teilchens bzw. Beobachters von einer Position auf einer Raumdimension zur nächsten Position der Raumdimension zu Grunde.

  3. #3 Quanteder
    28. Februar 2021

    „Aktuell zeigt sich keine negative Welt, …“
    => wenn diese sich in der Zukunft in der sozialen Welt zeigen wird, wird sie erfahrbar, messbar und berechenbar. Alle Menschen werden erfahren, welche Wirkung die 4. Elementarkraft, die Gravitation, als Ordnungsstruktur im Universum in der Dynamik des Denkens von Menschen entwickeln wird.
    Ich will deinen obigen Gedanken weiter spinnen: ∑Beobachter auf der Erde werden im Denken und Handeln sich entsprechend der ∑Teilchen in einem schwarzen Loch analog verhalten. Eine Gruppe von Philosophen schätzt, das dies gegen Ende unseren Jahrhunderts sein wird.
    „Thilo`s“ obige Mathematik lässt zu, dies bereits jetzt zu „berechnen“, somit die Ordnung im Universum, welche sich im sozialen Verhalten von Menschen spiegelt, abzugleichen (… aufmerksame Leser entdecken in diesem Gedanken ein Aufkeimen von Glasnost 2.0).

    Es geht also darum, diese „deine“ negative Welt nicht aufkommen zu lassen und deren Energie und Potential in eine andere Richtung zu weisen. Ich habe das hier schon mal folgendermassen formuliert: {Selbsterkenntnis || Selbstzerstörung} . . . .. (… das ist fast wie {Geisteswissenschaft || Naturwissenschaft} )

  4. #4 Quanteder
    28. Februar 2021

    Ein schönes Beispiel für das Muster der Grundstruktur im Universum ist gerade live im TV bei der WM in Oberstdorf bei der Nordischen Kombination (… 4x5km Kombi-Langlauf) zu sehen.
    Der Läufer auf der 4.Position strebt nach Platz 1.
    Der Läufer auf der 3.Position strebt nach Platz1.
    Der Läufer auf der 2.Position strebt nach Platz 1.
    Der Läufer auf der 1.Position will nicht {auf Platz 2||Platz 3||PlatzIV} . . . ..
    => diese Grundstruktur muss jetzt noch erweitert werden, um die Ziffern 5; 6; 7; 8 und 9 einzubinden (… neben der 1 und der 9 befinden sich zwei Nullen)
    [die Deutschen sind vom 4.Platz schon auf den 2.Platz vorgelaufen . . . .. 1.Platz ????]

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