Theorema Magnum MCMLXVIII: das Yoga der Motive

Der heilige Gral der algebraischen Geometrie waren lange Zeit die Weil-Vermutungen. Mit ihnen soll sich die Berechnung der Anzahl von Lösungen einer polynomiellen Gleichung über endlichen Körpern zurückführen lassen auf das (einfachere) topologische Problem der Bestimmung der Betti-Zahlen der algebraischen Varietät, die durch dasselbe Polynom über den komplexen Zahlen definiert wird.
Für eine Varietät über F_q lassen sich die Anzahlen N_m der Punkte über F_q^m in der Zetafunktion organisieren und diese Zetafunktion zerlegt sich als Produkt von Polynomen P_i bzw. ihren Inversen. Die Weil-Vermutungen besagen, dass diese Zetafunktion analoge Eigenschaften wie die Riemannsche Zetafunktion hat, insbesondere die Nullstellen der Polynome auf jeweils einer kritischen Geraden liegen, und dass der Grad des Polynoms P_i die i-te Bettizahl der entsprechenden Varietät über C ist. Diese Vermutung hatte Weil 1949 in einem Artikel „Numbers of solutions of equations in finite fields“ im Bulletin of the American Mathematical Society aufgestellt, wo er sie (aufbauend auf Ehresmanns Berechnung der Betti-Zahlen von Graßmann-Mannigfaltigkeiten) für die Graßmann-Varietäten überprüfte.

Weil wies in seinem Artikel darauf hin, dass man für einen Beweis seiner Vermutung Analoga topologischer Invarianten für Varietäten über Körpern der Charakteristik p benötigen würde. Man könnte die Weil-Vermutungen beweisen, wenn sich manche Eigenschaften der Kohomologie von Kähler-Mannigfaltigkeiten (zu denen die singularitäten-freien komplexen projektiven Varietäten gehören) auf projektive Varietäten über endlichen Körpern übertragen ließen. Insbesondere benötigt man auf solchen Varietäten eine Kohomologietheorie, für die die Lefschetzsche Fixpunktformel gilt.

Für die meisten auf algebraischen Varietäten definierten Kohomologietheorien gilt die Lefschetzsche Fixpunktformel nicht. Jean-Pierre Serre hatte mehr als Weil selbst daran geglaubt, dass man solch eine Kohomologietheorie schaffen könne und er hatte Grothendieck auf dieses Projekt angesetzt. Bei der Suche nach einer passenden Kohomologietheorie war Grothendieck letztlich auf die etale Kohomologie gestoßen, deren Grundlagen er dann mit Michael Artin entwickelt hatte.

Das Problem bei der Konstruktion einer solchen Kohomologietheorie für algebraische Varietäten war dass die Zariski-Topologie (in der die abgeschlossenen Mengen die Untervarietäten sind) sehr viel gröber war als (im komplexen Fall) die klassische Topologie. Serre hatte gezeigt, dass für kohärente Garben die Kohomologie im komplexen Fall mit beiden Topologien dieselbe ist. Aber für konstante Garben hat die Garbenkohomologie bezüglich Zariski-Topologie kein gutes Verhalten.

Im eindimensionalen Fall wußte man, dass die Kohomologie einer Kurve aus der Fundamentalgruppe und damit aus den Überlagerungen der Kurve rekonstruiert werden kann. Grothendiecks Idee war nun gewesen, das Problem der zu wenigen offenen Mengen der Zariski-Topologie dadurch zu umgehen, dass er etale Abbildungen betrachtet, was im wesentlichen offene Teilmengen unverzweigter Überlagerungen sind. Hier kann man die Garbentheorie übertragen und kann insbesondere Garbenkohomologie mit Koeffizienten in Z/nZ betrachten. (Die Rolle der Durchschnittsbildung offener Mengen wird vom Faserprodukt etaler Abbildungen übernommen.) Michael Artin bewies, dass man über den komplexen Zahlen dieselben Kohomologiegruppen mit Torsionskoeffizienten bekommt wie mit der klassischen Topologie.

Wunderbarerweise hatte man in der etalen Kohomologie denselben Formalismus – aber mit völlig anderen Beweisen – der sechs Operationen, den Grothendieck schon in der Kohomologie kohärenter Garben beobachtet hatte. Die sechs Operationen sind Funktoren zwischen derivierten Kategorien von Garben: einige von ihnen sind auf den die Kohomologie definierenden Kettenkomplexen von Garben nicht eindeutig definiert, aber auf den derivierten Komplexen, d.h. auf der Kohomologie. Es handelt sich um zwei Funktoren des direkten Bildes und zwei Funktoren des inversen Bildes, die jeweils dual zueinander sind (in einem Fall ist der adjungierte Funktor erst auf der derivierten Kategorie definiert, was aus Verdier-Dualität – einer Verallgemeinerung der Poincaré-Dualität – folgt), außerdem das derivierte Tensorprodukt und der interne Hom-Funktor. Die sechs Operationen haben eine Reihe von formalen Beziehungen, mit denen man dann Analoga zu aus der Topologie bekannten Sätzen beweisen kann. Auf diese Weise erhält man für die Kohomologie kohärenter Garben den Dualitätssatz von Serre und für die etale Kohomologie bewiesen Verdier und dann auch Grothendieck neben dem Dualitätssatz auch eine Fixpunktformel analog zu der von Lefschetz in singulärer Homologie.

Grothendiecks Vision der algebraischen Geometrie war eine Weiterentwicklung der algebraischen Geometrie von Varietäten über Schemata und Topose letztlich zu Motiven. Schemata sind eine effiziente Art, sowohl Systeme von Gleichungen als auch ihre Lösungen zu kodieren und gleichzeitig die verschiedenen Transformationen, denen die betreffenden Gleichungen unterworfen sein könnten. Wenn man sich im Rahmen von Schemata mit einer algebraischen Varietät befasst, ist dies nicht mehr nur die Menge ihrer Punkte, sondern vielmehr die Menge ihrer irreduziblen Subvarietäten. Die Topose sind Geometrie ohne Punkte. In einer weitgehenden Verallgemeinerung der mehrwertigen Funktionen des 19. Jahrhunderts ersetzt man dort den Verband der offenen Mengen eines Raums durch die Kategorie der etalen Mengen.
Begrifflich spricht man von einem Situs, wenn man eine Kategorie hat und für jedes Objekt U eine Familie von Abbildungen mit Bild in U, so dass für diese Familien Eigenschaften analog zu den Eigenschaften offener Überdeckungen von offenen Teilmengen U eines topologischen Raums X (mit den Inklusionen von Überdeckungen als Abbildungen nach U) gelten. Ein Topos ist eine Kategorie von Mengengarben über einem Situs. (Ein Topos ist also eine abstrakt definierte Kategorie, die ohne notwendig von einem topologischen Raum zu stammen alle schönen Eigenschaften der Kategorie der Garben über einem Raum hat.)
Zur Definition des etalen Topos verwendet man die Kategorie der Schemata etal über einem gegebenen Schema X. (Für X=Spec(k) ist der etale Topos eine Variante des klassifizierenden Raums der absoluten Galois-Gruppe , die etale Kohomologie ist die Gruppenkohomologie.) Die etale Kohomologie ist die Kohomologie des etalen Topos und die später von Grothendieck definierte kristalline Kohomologie die Kohomologie des kristallinen Topos.

Im Nachhinein war die etale Topologie eine natürliche Möglichkeit, denn sie war feiner als die klassische Topologie und gröber als die Zariski-Topologie. Aber damals war das keine naheliegende Idee, schon allein weil es sich nicht um eine Topologie im üblichen Sinn handelt. Die Idee, dass man in einem solchen Kontext von Abbildungen Garbentheorie machen könne, war neu. Man bekommt so nur mit Torsionskoeffizienten eine vernünftige Theorie. Für die Anwendung des Fixpunktsatzes braucht man freilich Kohomologie mit Nicht-Torsionskoeffizienten und die bekommt man erst als inverses Limit der Etalkohomologie mit Z/lⁿZ-Koeffizienten, die sogenannte l-adische Kohomologie.

Vor allem die Zahlentheoretiker erkannten den Schlüssel zur wahren Räumlichkeit der Schemata durch die Etaltopologie.
Beispielsweise für einen Ganzheitsring o im Zahlkörper K erhält man die offenen Mengen von X=Spec(o) wie folgt. Sei L/K eine endliche Erweiterung, O der Ganzheitsring in L, Y=Spec(O). Die Inklusion o–>O gibt eine Abbildung f:Y–>X indem jedes Primideal mit o geschnitten wird. Nimmt man aus Y eine endliche Punktmenge S heraus, die alle über o verzweigten Primideale P von O enthält, so erhält man mit U=Y-S, genauer mit der Abbildung f:U–>X eine typische offene Menge der Etaltopologie. Alle anderen sind disjunkte Vereinigungen von solchen.
Mit dieser Topologie hat Spec(o) die Dimension 3 und beispielsweise Spec(Z[t]) die Dimension 2 oder Spec(Z/pZ) die Dimension 1. Der kohomologische Formalismus bestätigt in jeder Hinsicht, dass dies die richtige Heuristik ist.

Etwas später bewies Michael Artin dann mit Jean-Louis Verdier einen Dualitätssatz, aus dem man den zahlentheoretischen Reziprozitätssatz seines Vaters Emil Artin bekommen konnte und der einen gruppenkohomologischen Dualitätssatz von John Tate, einem früheren Doktoranden Emil Artins verallgemeinerte. Dieser Dualitätssatz stützte insbesondere die Anschauung, dass Spec(Z) ein 3-dimensionaler Raum sei.

Grothendieck bewies eine Reihe von Sätzen, insbesondere einen Satz über Basiswechsel (für eine eigentliche Abbildung ist die Kohomologie einer Faser das Limit der Kohomologie der Pullbacks zu etalen Umgebungen), durch den man für die Kohomologie von Varietäten Induktionsbeweise über die Dimension mittels Faserungen führen kann. Er definierte L-Reihen für die Kohomologie konstruierbarer Garben und konnte mit dem Basiswechselsatz und dem Dualitätssatz deren Rationalität beweisen. (Damit bekam er einen anderen Beweis für die schon 1959 von Dwork bewiesene Rationalität der Zetafunktion, die erste der vier Weil-Vermutungen.) Mit diesen Methoden bewies er zwei weitere der Weil-Vermutungen, nämlich die Funktionalgleichung der Zetafunktion und den Zusammenhang mit den Betti-Zahlen der zugehörigen Varietät über C. (Falls X eine gute Reduktion mod p einer nicht-singulären komplex projektiven Varietät ist, ist der Grad des Polynoms P_i die i-te Betti-Zahl von Y.) Offen blieb zunächst das Analogon der Riemann-Vermutung, also dass die Nullstellen von P_k(q^-s) auf der Geraden mit Realteil k/2 liegen.

Ein klassisches Hilfsmittel in der algebraischen Geometrie von Kurven ist die Jacobi-Varietät. Aus dieser ergeben sich alle kohomologischen Informationen über die Kurve, aber man kann mit ihr geometrischer arbeiten als mit den Kohomologiegruppen. (Insbesondere in Weils Beweis der Riemann-Vermutung für Funktionenkörper, d.h. der Weil-Vermutung für Kurven, war die Jacobi-Varietät das zentrale Objekt des Beweises gewesen.) Die Jacobi-Varietät war das „Motiv“ der Kurve.
Grothendiecks ultimativer Traum waren die Motive, die gleichzeitig mit allen verschiedenen Kohomologie-Theorien für einen bestimmten Raum umgehen und insbesondere einen Morphismus entlang algebraischer Varietäten in Kern und Kokern aufbrechen sollen. Jede Rechnung in einer Kohomologietheorie sollte sich bereits für die Motive durchführen lassen.

Unter all den Dingen, die ich entdecken und ans Licht bringen durfte, erscheint mir diese Welt der Motive immer noch als die faszinierendste, am meisten mit Mysterium aufgeladene – der eigentliche Kern der tiefen Identität von „Geometrie“ und „Arithmetik“. Und das “Yoga der Motive”. . . Es ist vielleicht das mächtigste Werkzeug, das ich in dieser ersten Periode meines Lebens als Mathematiker freigelegt habe.

Entgegen dem, was in der gewöhnlichen Topologie passierte, findet man sich dort also vor eine beunruhigende Fülle verschiedener kohomologischer Theorien gestellt. Man hat den entschiedenen Eindruck (aber auf eine Art, die vage bleibt), dass jede dieser Theorien “dasselbe ist”, dass sie “dieselben Ergebnisse liefern”. Um diese Verwandtschaft dieser verschiedenen kohomologischen Theorien auszudrücken, formulierte ich den Begriff des „Motivs“, das zu einer algebraischen Varietät assoziiert ist. Mit diesem Begriff will ich nahelegen, dass es das “gemeinsame Motiv” (oder der “gemeinsame Grund”) hinter dieser Vielzahl von mit einer algebraischen Varietät assoziierten kohomologischen Invarianten ist, oder tatsächlich hinter allen a priori möglichen kohomologischen Invarianten.

Motive sollten die ultimative kohomologische Invariante werden. Sei X eine algebraische Varietät über einem algebraisch abgeschlossenen Körper k. Für jede Primzahl l, die char(k) nicht teilt, gibt die etale Kohomologie die l-adische Kohomologie H¹_ét(X;Z_l). Wenn k ein Unterkörper von C ist, dann hat man einen Vergleichsisomorphismus H_i(X(C),Z)⊗Z_l–>Hⁱ_ét(X;Z_l). Wenn char(k)>0, dann hat man keine natürliche ganzzahlige Kohomologie, die solche Isomorphismen gibt. Nur für i=1 hat man die Picard-Gruppe (die Gruppe der Grad-0-Linienbündel), die einem die Kohomologiegruppe H¹_ét(X,Z_l) zurückgibt. Die Theorie der Motive soll eine solche nichtexistierende ganzzahlige Kohomologie ersetzen.

Der erste Schritt in der Definition von Motiven ist die Objekte einer algebro-geometrischen Kategorie, etwa glatter projektiver Varietäten über einem gegebenen Körper, zu behalten und die Morphismen durch die Korrespondenzen zu ersetzen, also Äquivalenzklassen von Zykeln in XxY. (Einem klassischen Morphismus entspricht sein Graph als Korrespondenz.) Damit werden die Morphismen zu einer additiven Gruppe. In Abhängigkeit von der gewählten Äquivalenzrelation bekommt man eine Kategorie von Motiven. Die feinste Äquivalenzrelation wäre rationale Äquivalenz, die gröbste (und gebräuchlichste) wäre numerische Äquivalenz. Direkte Produkte von Varietäten definieren ein Tensorprodukt. Der zweite Schritt ist dann die formale Konstruktion neuer Objekte, die “Stücke” von Varietäten sein sollen: Kerne und Bilder von Projektoren (Korrespondenzen p mit p²=p). In dieser Kategorie ist zum Beispiel P¹ die Summe aus einem Punkt und einem Motiv, das man sich intuitiv als der affinen Gerade entsprechend denken kann. Der letzte Schritt der Konstruktion ist dann, alle Tensorprodukte (insbesondere auch mit negativen Exponenten) hinzuzunehmen. Diese abelsche Kategorie der Motive sollte der Rezipient einer universellen Kohomologietheorie sein.
Das Problem war, dass man so nur algebraische Zykel bekam und nicht die transzendenten Zykel, die einem für Varietäten über k=C von der algebraischen Topologie gegeben werden. Die Hauptfunktion der von Grothendieck formulierten Standardvermutungen war, diese Lücke zwischen algebraisch und transzendent zu überbrücken.

Auf der Kohomologie von nicht-singulären projektiven Varietäten (und allgemeiner von Kähler-Mannigfaltigkeiten) hat man drei Strukturen, aus denen sich die meisten ihrer kohomologischen Eigenschaften herleiten lassen: Poincaré-Dualität, schwerer Lefschetz-Satz und Hodge-Riemann-Relationen. Grothendieck erkannte 1968, dass man die Weil-Vermutungen zeigen könnte, wenn man diese drei Strukturen auch auf der Gruppe algebraischer Zykel modulo homologischer Äquivalenz in algebraischen Varietäten hat. (Daraus würde nämlich folgen, dass seine Kategorie der Motive eine halbeinfache abelsche Kategorie ist.) Diese drei sogenannten „Standardvermutungen“ postulierte er dann als den richtigen Weg zum Beweis der Weil-Vermutung. Sie entziehen sich freilich bis heute einem Beweis. (Bekannt waren sie damals schon für abelsche Varietäten in Charakteristik 0. Sie würden aus der Hodge-Vermutung folgen.)

Mehr als zehn Jahre hatte Grothendieck wie ein Berserker an den Elementen der Algebraischen Geometrie gearbeitet. An das IHÉS kam er dienstags, wo er vor einem großen Teil der mathematischen Elite Frankreichs sein Seminar der Algebraischen Geometrie abhielt, sonst arbeitete er zuhause und bestellte Leute dorthin. Über diese Zeit hatte er die komplette Kontrolle über das Gebiet behalten. Seine Hingabe an die Mathematik war total, seine unglaubliche Energie und Arbeitsfähigkeit produzierte eine Flut von Ideen, die viele mitzog. Der sich entwickelnde Personenkult hatte freilich auch negative Effekte. Viele, die einen Teil ihres Lebens dem Erlernen der Grundlagen aus André Weils Buch gewidmet hatten, erlebten Zurückweisung und Kränkung. Eine ganze Generation französischer Studenten wurde in dem Glauben erzogen, dass ein Problem nur dann die Beschäftigung wert sei, wenn es sich in einem anspruchsvollen abstrakten Formalismus formulieren lasse. Bemerkenswerterweise waren Amerikaner, Japaner und vor allem sowjetische Mathematiker mehr als die Pariser Studenten die größten Nutznießer von Grothendiecks Ideen – sie verstanden deren wahre Substanz, aber waren in der Lage, sie mit anderen Dingen zu kombinieren.

Die erste Veröffentlichung zu Motiven wurde dann auch die 1968 von Juri Manin in Математический сборник veröffentlichte Arbeit „Соответствия, мотивы и моноидальные преобразования“, in der er die Weil-Vermutungen für 3-dimensionale unirationale Varietäten bewies. Nach Abhyankar hat man für diese eine Auflösung der Singularitäten durch monoidale Transformationen mit singularitätenfreien Zentren, und für den Fall ohne Singularitäten hatten Bombieri und Swinnerton-Dyer die Vermutung bewiesen. Manin benutzte diese Auflösung, um das Motiv der Varietät zu „berechnen“. Der wesentliche Bestandteil dieses Motivs war ein direkter Summand der Motive von Kurven, also von Jacobi-Varietäten. Dieses Motiv entsprach damit einem Produkt von Jacobi-Varietäten, also einer abelschen Varietät. Damit konnte er dann die Wirkung des Frobenius-Homomorphismus auf der etalen Kohomologie mittels der Wirkung auf der abelschen Varietät ausrechnen und dort die Lefschetzsche Fixpunktformel anwenden. Manin selbst deklarierte seine Arbeit als „Frucht eifrigen Durchdenkens der Ideen Grothendiecks“, sein eigener Beitrag war die Berechnung des Motivs der Aufblasung aus dem Motiv der singulären Varietät und dem Motiv der aufgeblasenen Untervarietät.

Bild: https://www.ihes.fr/en/professeur/alexander-grothendieck/