Der heilige Gral der algebraischen Geometrie waren lange Zeit die Weil-Vermutungen. Mit ihnen soll sich die Berechnung der Anzahl von Lösungen einer polynomiellen Gleichung über endlichen Körpern zurückführen lassen auf das (einfachere) topologische Problem der Bestimmung der Betti-Zahlen der algebraischen Varietät, die durch dasselbe Polynom über den komplexen Zahlen definiert wird.
Für eine Varietät über Fq lassen sich die Anzahlen Nm der Punkte über Fqm in der Zetafunktion \zeta(s)=exp(\sum_m\frac{N_m}{m}q^{-sm}) organisieren und diese Zetafunktion zerlegt sich als Produkt \zeta(s)=\frac{P_1(q^{-s})\ldots P_{2n-1}(q^{-s})}{P_0(q^{-s})\ldots P_{2n}(q^{-s})} von Polynomen Pi bzw. ihren Inversen. Die Weil-Vermutungen besagen, dass diese Zetafunktion analoge Eigenschaften wie die Riemannsche Zetafunktion hat, insbesondere die Nullstellen der Polynome auf jeweils einer kritischen Geraden liegen, und dass der Grad des Polynoms Pi die i-te Bettizahl der entsprechenden Varietät über C ist. Diese Vermutung hatte Weil 1949 in einem Artikel „Numbers of solutions of equations in finite fields“ im Bulletin of the American Mathematical Society aufgestellt, wo er sie (aufbauend auf Ehresmanns Berechnung der Betti-Zahlen von Graßmann-Mannigfaltigkeiten) für die Graßmann-Varietäten überprüfte.

Weil wies in seinem Artikel darauf hin, dass man für einen Beweis seiner Vermutung Analoga topologischer Invarianten für Varietäten über Körpern der Charakteristik p benötigen würde. Man könnte die Weil-Vermutungen beweisen, wenn sich manche Eigenschaften der Kohomologie von Kähler-Mannigfaltigkeiten (zu denen die singularitäten-freien komplexen projektiven Varietäten gehören) auf projektive Varietäten über endlichen Körpern übertragen ließen. Insbesondere benötigt man auf solchen Varietäten eine Kohomologietheorie, für die die Lefschetzsche Fixpunktformel gilt.

Für die meisten auf algebraischen Varietäten definierten Kohomologietheorien gilt die Lefschetzsche Fixpunktformel nicht. Jean-Pierre Serre hatte mehr als Weil selbst daran geglaubt, dass man solch eine Kohomologietheorie schaffen könne und er hatte Grothendieck auf dieses Projekt angesetzt. Bei der Suche nach einer passenden Kohomologietheorie war Grothendieck letztlich auf die etale Kohomologie gestoßen, deren Grundlagen er dann mit Michael Artin entwickelt hatte.

Das Problem bei der Konstruktion einer solchen Kohomologietheorie für algebraische Varietäten war dass die Zariski-Topologie (in der die abgeschlossenen Mengen die Untervarietäten sind) sehr viel gröber war als (im komplexen Fall) die klassische Topologie. Serre hatte gezeigt, dass für kohärente Garben die Kohomologie im komplexen Fall mit beiden Topologien dieselbe ist. Aber für konstante Garben hat die Garbenkohomologie bezüglich Zariski-Topologie kein gutes Verhalten.

Im eindimensionalen Fall wußte man, dass die Kohomologie einer Kurve aus der Fundamentalgruppe und damit aus den Überlagerungen der Kurve rekonstruiert werden kann. Grothendiecks Idee war nun gewesen, das Problem der zu wenigen offenen Mengen der Zariski-Topologie dadurch zu umgehen, dass er etale Abbildungen betrachtet, was im wesentlichen offene Teilmengen unverzweigter Überlagerungen sind. Hier kann man die Garbentheorie übertragen und kann insbesondere Garbenkohomologie mit Koeffizienten in Z/nZ betrachten. (Die Rolle der Durchschnittsbildung offener Mengen wird vom Faserprodukt etaler Abbildungen übernommen.) Michael Artin bewies, dass man über den komplexen Zahlen dieselben Kohomologiegruppen mit Torsionskoeffizienten bekommt wie mit der klassischen Topologie.

Wunderbarerweise hatte man in der etalen Kohomologie denselben Formalismus – aber mit völlig anderen Beweisen – der sechs Operationen, den Grothendieck schon in der Kohomologie kohärenter Garben beobachtet hatte. Die sechs Operationen sind Funktoren zwischen derivierten Kategorien von Garben: einige von ihnen sind auf den die Kohomologie definierenden Kettenkomplexen von Garben nicht eindeutig definiert, aber auf den derivierten Komplexen, d.h. auf der Kohomologie. Es handelt sich um zwei Funktoren des direkten Bildes und zwei Funktoren des inversen Bildes, die jeweils dual zueinander sind (in einem Fall ist der adjungierte Funktor erst auf der derivierten Kategorie definiert, was aus Verdier-Dualität – einer Verallgemeinerung der Poincaré-Dualität – folgt), außerdem das derivierte Tensorprodukt und der interne Hom-Funktor. Die sechs Operationen haben eine Reihe von formalen Beziehungen, mit denen man dann Analoga zu aus der Topologie bekannten Sätzen beweisen kann. Auf diese Weise erhält man für die Kohomologie kohärenter Garben den Dualitätssatz von Serre und für die etale Kohomologie bewiesen Verdier und dann auch Grothendieck neben dem Dualitätssatz auch eine Fixpunktformel analog zu der von Lefschetz in singulärer Homologie.

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Kommentare (5)

  1. #1 Bernd Nowotnick
    4. März 2021

    Man kann es auch einfacher beschreiben:

    Die Gravitation als Bestandteil der Information ist positiv, negativ oder ausgeglichen. Wie Tests mit Wasserstoffatomen zeigten sind im Inneren von Atomkernen manche Formen von Antimaterie etwas häufiger als andere. Nach gängiger Auffassung ist dabei der Wasserstoffkern aus zwei Up-Quarks und einem Down-Quark aufgebaut, herum wabert ein See aus kurzlebigen Quark-Antiquark-Paaren, die ständig Gluonen austauschen, was auch starke Kernkraft genannt wird. Bei Schwarzen Löchern kann es dann mit einem Weißen Loch im Innern des Schwarzen Loches verglichen werden. Positiver Druck kann anziehende Gravitation bewirken, was bedeutet, dass negativer Druck abstoßende Gravitation hervorruft. Sie ist für das Teilchen bzw. den Beobachter das Bindeglied zwischen Vergangenheit und Zukunft im Jetzt. Die Gravitation ist richtungsabhängig, sowie zeigt sie sich in Guthaben und Schulden. Materie, die sich schneller als mit Lichtgeschwindigkeit entfernt leiht sich die dafür erforderliche Energie vom Gravitationsfeld. So wird zum Beispiel ein Gummiband geringfügig schwerer indem es gedehnt wird. Da Energie aufwendet werden muss um es zu dehnen geht diese Energie in das Band und vergrößert dessen Masse. Ein Gummiband hat negativen Druck weil man Arbeit aufwenden muss um es zu dehnen. Bei Substanzen mit positiver Energie, wie beispielsweise Luft, verhält es sich umgekehrt. Da muss man Arbeit aufwenden um sie zusammenzudrücken. Die Masse von etwas kann man erhöhen indem man Energie hinzufügt. Für die Demokratie wird die Änderung von – Anspruch auf freie Meinungsäußerung – bei – vor dem Gesetz sind alle Menschen gleich – mit – bei scheinbarer Glaubhaftigkeit ist sie Gesetz – ein Problem. Der Beobachter muss seinen eigenen Weg finden und nicht bedingungslos an den nächsten Beobachter heften. Obwohl man in Gemeinschaft besser vorankommt sollte man Acht auf den Weg geben. Der achtfache Pfad wird im Sonnengleichnis beschrieben.

  2. #2 echt?
    5. März 2021

    Den Überlegungen liegt sicher eine Weltformel zu Grunde!

  3. #3 Bernd Nowotnick
    6. März 2021

    So einfach geht das nicht!

  4. #4 echt?
    6. März 2021

    Matthias Härtel ist eigentlich eher der Spezialist auf diesem Gebiet. Sie sollten sein Buch lesen! Manche seiner Erkenntnisse sind wirklich furchtbar.

  5. #5 Bernd Nowotnick
    6. März 2021

    Man kann dem Joga der Motive, der Ausdruck ist nicht willkürlich gewählt, etwas wie Joga der Vergeltung, was immer sie auch hinein interpretieren möchten, als Jogatausch anbieten, um im Hintergrund einen Ausgleich mit dem Bildbereich anzustreben, welcher irgendwie irgendwann auch stattfindet. Also ein sehr fragwürdiges Geschäft! Sind alle bereit hat es die Gavitation geschafft, wenn nicht –> neues Spiel, denn die Motive haben ein Problem und das heißt aktuell Sonnengleichnis. Dieses Problem findet immer einen Ausweg, weil wir es nicht sehen möchten. Als Bsp. können die aktuellen Kirchenprobleme genannt werden, denn wo die ungewollte Liebe hinfällt ist sie fehl am Platze. Es tut mir leid für die Naturwissenschaft / Mathematik, der Mittelpunkt der Gleichung dieser Probleme ist da unbekannt.