Grothendiecks Vision der algebraischen Geometrie war eine Weiterentwicklung der algebraischen Geometrie von Varietäten über Schemata und Topose letztlich zu Motiven. Schemata sind eine effiziente Art, sowohl Systeme von Gleichungen als auch ihre Lösungen zu kodieren und gleichzeitig die verschiedenen Transformationen, denen die betreffenden Gleichungen unterworfen sein könnten. Wenn man sich im Rahmen von Schemata mit einer algebraischen Varietät befasst, ist dies nicht mehr nur die Menge ihrer Punkte, sondern vielmehr die Menge ihrer irreduziblen Subvarietäten. Die Topose sind Geometrie ohne Punkte. In einer weitgehenden Verallgemeinerung der mehrwertigen Funktionen des 19. Jahrhunderts ersetzt man dort den Verband der offenen Mengen eines Raums durch die Kategorie der etalen Mengen.
Begrifflich spricht man von einem Situs, wenn man eine Kategorie hat und für jedes Objekt U eine Familie von Abbildungen mit Bild in U, so dass für diese Familien Eigenschaften analog zu den Eigenschaften offener Überdeckungen von offenen Teilmengen U eines topologischen Raums X (mit den Inklusionen von Überdeckungen als Abbildungen nach U) gelten. Ein Topos ist eine Kategorie von Mengengarben über einem Situs. (Ein Topos ist also eine abstrakt definierte Kategorie, die ohne notwendig von einem topologischen Raum zu stammen alle schönen Eigenschaften der Kategorie der Garben über einem Raum hat.)
Zur Definition des etalen Topos verwendet man die Kategorie der Schemata etal über einem gegebenen Schema X. (Für X=Spec(k) ist der etale Topos eine Variante des klassifizierenden Raums der absoluten Galois-Gruppe Gal(\overline{k}/k), die etale Kohomologie ist die Gruppenkohomologie.) Die etale Kohomologie ist die Kohomologie des etalen Topos und die später von Grothendieck definierte kristalline Kohomologie die Kohomologie des kristallinen Topos.

Im Nachhinein war die etale Topologie eine natürliche Möglichkeit, denn sie war feiner als die klassische Topologie und gröber als die Zariski-Topologie. Aber damals war das keine naheliegende Idee, schon allein weil es sich nicht um eine Topologie im üblichen Sinn handelt. Die Idee, dass man in einem solchen Kontext von Abbildungen Garbentheorie machen könne, war neu. Man bekommt so nur mit Torsionskoeffizienten eine vernünftige Theorie. Für die Anwendung des Fixpunktsatzes braucht man freilich Kohomologie mit Nicht-Torsionskoeffizienten und die bekommt man erst als inverses Limit der Etalkohomologie mit Z/lnZ-Koeffizienten, die sogenannte l-adische Kohomologie.

Vor allem die Zahlentheoretiker erkannten den Schlüssel zur wahren Räumlichkeit der Schemata durch die Etaltopologie.
Beispielsweise für einen Ganzheitsring o im Zahlkörper K erhält man die offenen Mengen von X=Spec(o) wie folgt. Sei L/K eine endliche Erweiterung, O der Ganzheitsring in L, Y=Spec(O). Die Inklusion o–>O gibt eine Abbildung f:Y–>X indem jedes Primideal mit o geschnitten wird. Nimmt man aus Y eine endliche Punktmenge S heraus, die alle über o verzweigten Primideale P von O enthält, so erhält man mit U=Y-S, genauer mit der Abbildung f:U–>X eine typische offene Menge der Etaltopologie. Alle anderen sind disjunkte Vereinigungen von solchen.
Mit dieser Topologie hat Spec(o) die Dimension 3 und beispielsweise Spec(Z[t]) die Dimension 2 oder Spec(Z/pZ) die Dimension 1. Der kohomologische Formalismus bestätigt in jeder Hinsicht, dass dies die richtige Heuristik ist.

Etwas später bewies Michael Artin dann mit Jean-Louis Verdier einen Dualitätssatz, aus dem man den zahlentheoretischen Reziprozitätssatz seines Vaters Emil Artin bekommen konnte und der einen gruppenkohomologischen Dualitätssatz von John Tate, einem früheren Doktoranden Emil Artins verallgemeinerte. Dieser Dualitätssatz stützte insbesondere die Anschauung, dass Spec(Z) ein 3-dimensionaler Raum sei.

Grothendieck bewies eine Reihe von Sätzen, insbesondere einen Satz über Basiswechsel (für eine eigentliche Abbildung ist die Kohomologie einer Faser das Limit der Kohomologie der Pullbacks zu etalen Umgebungen), durch den man für die Kohomologie von Varietäten Induktionsbeweise über die Dimension mittels Faserungen führen kann. Er definierte L-Reihen für die Kohomologie konstruierbarer Garben und konnte mit dem Basiswechselsatz und dem Dualitätssatz deren Rationalität beweisen. (Damit bekam er einen anderen Beweis für die schon 1959 von Dwork bewiesene Rationalität der Zetafunktion, die erste der vier Weil-Vermutungen.) Mit diesen Methoden bewies er zwei weitere der Weil-Vermutungen, nämlich die Funktionalgleichung der Zetafunktion und den Zusammenhang mit den Betti-Zahlen der zugehörigen Varietät über C. (Falls X eine gute Reduktion mod p einer nicht-singulären komplex projektiven Varietät ist, ist der Grad des Polynoms Pi die i-te Betti-Zahl von Y.) Offen blieb zunächst das Analogon der Riemann-Vermutung, also dass die Nullstellen von Pk(q-s) auf der Geraden mit Realteil k/2 liegen.

1 / 2 / 3 / 4

Kommentare (6)

  1. #1 Bernd Nowotnick
    4. März 2021

    Man kann es auch einfacher beschreiben:

    Die Gravitation als Bestandteil der Information ist positiv, negativ oder ausgeglichen. Wie Tests mit Wasserstoffatomen zeigten sind im Inneren von Atomkernen manche Formen von Antimaterie etwas häufiger als andere. Nach gängiger Auffassung ist dabei der Wasserstoffkern aus zwei Up-Quarks und einem Down-Quark aufgebaut, herum wabert ein See aus kurzlebigen Quark-Antiquark-Paaren, die ständig Gluonen austauschen, was auch starke Kernkraft genannt wird. Bei Schwarzen Löchern kann es dann mit einem Weißen Loch im Innern des Schwarzen Loches verglichen werden. Positiver Druck kann anziehende Gravitation bewirken, was bedeutet, dass negativer Druck abstoßende Gravitation hervorruft. Sie ist für das Teilchen bzw. den Beobachter das Bindeglied zwischen Vergangenheit und Zukunft im Jetzt. Die Gravitation ist richtungsabhängig, sowie zeigt sie sich in Guthaben und Schulden. Materie, die sich schneller als mit Lichtgeschwindigkeit entfernt leiht sich die dafür erforderliche Energie vom Gravitationsfeld. So wird zum Beispiel ein Gummiband geringfügig schwerer indem es gedehnt wird. Da Energie aufwendet werden muss um es zu dehnen geht diese Energie in das Band und vergrößert dessen Masse. Ein Gummiband hat negativen Druck weil man Arbeit aufwenden muss um es zu dehnen. Bei Substanzen mit positiver Energie, wie beispielsweise Luft, verhält es sich umgekehrt. Da muss man Arbeit aufwenden um sie zusammenzudrücken. Die Masse von etwas kann man erhöhen indem man Energie hinzufügt. Für die Demokratie wird die Änderung von – Anspruch auf freie Meinungsäußerung – bei – vor dem Gesetz sind alle Menschen gleich – mit – bei scheinbarer Glaubhaftigkeit ist sie Gesetz – ein Problem. Der Beobachter muss seinen eigenen Weg finden und nicht bedingungslos an den nächsten Beobachter heften. Obwohl man in Gemeinschaft besser vorankommt sollte man Acht auf den Weg geben. Der achtfache Pfad wird im Sonnengleichnis beschrieben.

  2. #2 echt?
    5. März 2021

    Den Überlegungen liegt sicher eine Weltformel zu Grunde!

  3. #3 Bernd Nowotnick
    6. März 2021

    So einfach geht das nicht!

  4. #4 echt?
    6. März 2021

    Matthias Härtel ist eigentlich eher der Spezialist auf diesem Gebiet. Sie sollten sein Buch lesen! Manche seiner Erkenntnisse sind wirklich furchtbar.

  5. #5 Bernd Nowotnick
    6. März 2021

    Man kann dem Joga der Motive, der Ausdruck ist nicht willkürlich gewählt, etwas wie Joga der Vergeltung, was immer sie auch hinein interpretieren möchten, als Jogatausch anbieten, um im Hintergrund einen Ausgleich mit dem Bildbereich anzustreben, welcher irgendwie irgendwann auch stattfindet. Also ein sehr fragwürdiges Geschäft! Sind alle bereit hat es die Gavitation geschafft, wenn nicht –> neues Spiel, denn die Motive haben ein Problem und das heißt aktuell Sonnengleichnis. Dieses Problem findet immer einen Ausweg, weil wir es nicht sehen möchten. Als Bsp. können die aktuellen Kirchenprobleme genannt werden, denn wo die ungewollte Liebe hinfällt ist sie fehl am Platze. Es tut mir leid für die Naturwissenschaft / Mathematik, der Mittelpunkt der Gleichung dieser Probleme ist da unbekannt.

  6. […] Prinzip der großen Abweichungen Lusins Vermutung Strukturelle Stabilität hyperbolischer Systeme Das Yoga der Motive Konvergente Differenzenschemata der Navier-Stokes-Gleichung Die Jacquet-Langlands-Korrespondenz […]