Die Erstellung von Knotentabellen und damit verbundene Versuche, nicht-äquivalente Knoten zu unterscheiden, begannen im 19. Jahrhundert.

Zu einem Knoten im R3 oder besser in dessen Ein-Punkt-Kompaktifizierung S3 kann man das Knotenkomplement oder besser das Komplement einer Tubenumgebung des Knotens, eine 3-Mannigfaltigkeit mit einem Torus als Rand. Wenn zwei Knoten nicht-homöomorphe Knotenkomplemente haben, können sie nicht äquivalent sein. (Es gilt auch die Umkehrung, was allerdings erst 1989 von Gordon und Luecke bewiesen wurde.)

Insbesondere hat man mit der von Poincaré eingeführten Fundamentalgruppe eine Invariante, mit der sich Knoten unterscheiden lassen. Max Dehn bewies 1910, dass ein Knoten genau dann der Unknoten ist, wenn die Fundamentalgruppe des Knotenkomplements isomorph zur zyklischen Gruppe Z ist. (Sein Beweis benutzte allerdings Dehns Lemma, das erst 1957 vollständig von Papakyriakopoulos bewiesen wurde.)

Es gibt einen auf Wilhelm Wirtinger (ursprünglich im Zusammenhang mit der Berechnung der Monodromie von Singularitäten algebraischer Flächen) zurückgehenden Algorithmus, der eine Präsentierung der Fundamentalgruppe des Knotenkomplements aus einem Knotendiagramm berechnet. Für das oben abgebildete Diagramm der Kleeblattschlinge bekommt man die Präsentierung \langle x_1,x_2,x_3\mid x_1x_2x_3^{-1}x_2^{-1},x_2x_3x_1^{-1}x_3^{-1},x_3x_1x_2^{-1}x_1^{-1}\rangle , die man mit x=x_1x_2 und y=x_2^{-1}x_1^{-1}x_2^{-1} zu \langle x,y\mid x^3y^2\rangle vereinfachen kann. Für den unten abgebildeten Achterknoten bekommt man die Präsentierung \langle x_1,x_2,x_3,x_4\mid x_3x_4^{-1}x_3^{-1}x_1,x_1x_2^{-1}x_1^{-1}x_3,x_4x_2^{-1}x_3^{-1}x_2\rangle, die man mit x=x_1 und y=x_1^{-1}x_3 zu \langle x,y\mid y^{-1}xyx^{-1}y^{-2}x^{-1}yx\rangle vereinfachen kann.

Das Problem mit diesem Ansatz ist, dass noch das Isomorphismusproblem gelöst werden muß: gegeben zwei Präsentierungen von Gruppen muß man entscheiden, ob diese zu isomorphen Gruppen gehören oder nicht. Das Isomorphismusproblem wurde in dieser Form von Max Dehn formuliert ebenso wie das Wortproblem – zu entscheiden, ob ein gegebenes Produkt von Erzeugern das Einselement der Gruppe ist – und das Konjugationsproblem: zu entscheiden, ob zwei Elemente der Gruppe zur selben Konjugationsklasse gehören.

Gruppentheorie war im 19. Jahrhundert hauptsächlich die Theorie endlicher Gruppen gewesen. Arthur Cayley hatte für endliche Gruppen das heute als Cayley-Graph bezeichnete „Gruppenbild“ definiert. Nach Wahl eines Erzeugendensystems der Gruppe ist es definiert als der Graph, dessen Knoten die Gruppenelemente sind und dessen vom Knoten g ausgehende Kanten den Erzeugern entsprechen: wenn s ein Erzeuger ist, dann gibt es für jedes g eine Kante zwischen g und gs.

Henri Poincaré hatte in seinen Arbeiten zur Topologie verwendet, dass man eine Fläche vom Geschlecht g durch gewisse Identifikationen der Seiten eines 4g-Ecks erhält, und dass man mit diesen 4g-Ecken für g=1 die euklidische und für g>1 die hyperbolische Ebene pflastern kann. Die euklidische bzw. hyperbolische Ebene ist also die universelle Überlagerung der Fläche. Dehn war sehr beeindruckt von Poincarés Verwendung hyperbolischer Geometrie in der Topologie von Flächen und er war dann der erste, der Cayleys Gruppenbild auch für unendliche Gruppen anwandte. Insbesondere hatte er die Idee, das Gruppenbild der Fundamentalgruppe einer Fläche in die hyperbolische Ebene zu zeichnen, um sich so deren Geometrie zunutze zu machen. Auch für andere Pflasterungen etwa des 3-dimensionalen hyperbolischen Raumes bekam er so Gruppenbilder von Fundamentalgruppen.

Für die Flächengruppen konnte Dehn mit diesem Ansatz das Wort- und Konjugationsproblem lösen. Für ein gegebenes Wort w überprüft sein Algorithmus, ob es ein Teilwort v der Länge \vert v\vert>\frac{1}{2}\vert r\vert hat, das auch als Teilwort der definierenden Relation r vorkommt. Wenn ja, dann kann er das Wort weiter vereinfachen, um nach endlich vielen Schritten so ggf. letztlich das Einselement bekommen. Er bewies mit geometrischen Argumenten, dass dieser einfache Algorithmus tatsächlich funktioniert: wenn das Wort das Einselement darstellt, dann kann man es mit diesem Ansatz immer weiter vereinfachen und der Algorithmus endet nach endlich vielen Schritten mit dem Einselement.

Seine eher algebraisch orientierten Schüler legten später Wert darauf, dass man die nichteuklidische Geometrie im Beweis nicht wirklich benötige. Bei der Lösung des Wort- und Konjugationsproblemproblem verwende man einfach nur die Tatsache, dass es sich im Gruppenbild um 4g-Ecke handele, von denen je 4g an jeder Ecke zusammenkommen. Tatsächlich genüge es für den Beweis, dass die Polygone mindestens 7 Ecken haben und an jeder Ecke mindestens 4 zusammenkommen.

Dehns Beschäftigung mit Knoten und Gruppen endete mit dem Beginn des ersten Weltkriegs, als er gerade im Begriff stand, erste Schüler an diese Themen heranzuführen. Dehn wie auch seine beiden ersten Doktoranden wurden eingezogen und kriegsbedingt konnten auch andere nicht die Möglichkeiten aufgreifen, die seine Arbeiten eröffneten.

In den 30er Jahren begann die Entwicklung der Theoretischen Informatik und damit kam die Frage auf, ob es algorithmisch unlösbare Probleme gibt. Dehns Wortproblem war dafür ein naheliegender Kandidat und tatsächlich gelang es P. S. Novikov 1955, die Unlösbarkeit des Wortproblems für gewisse endlich präsentierte Gruppen zu beweisen. Andererseits gelang es durch Verallgemeinerung von Dehns Methoden zur sogenannten „small cancellation theory“, für weitere Klassen von Gruppen das Wortproblem algorithmisch zu lösen.

Gromov hatte in den 70er und 80er Jahren die metrische (“synthetische”) Differentialgeometrie umgekrempelt. Seitdem Dehn vor siebzig Jahren das Wortproblem für Fundamentalgruppen hyperbolischer Flächen gelöst hatte, wußte man vom Nutzen negativer Krümmung in der Gruppentheorie wie auch vom Nutzen der Wirkungen von Gruppen auf “schönen Räumen” (und entsprechend der Realisierung von Gruppen als Fundamentalgruppen) für das Studium der Gruppen. Ein inzwischen klassisches Beispiel war der Beweis, dass Untergruppen freier Gruppen frei sind (Satz von Nielsen-Schreier). Das ist schwer algebraisch zu beweisen. Es folgt aber sofort, wenn man weiß, dass freie Gruppen dadurch charakterisiert sind, dass sie Fundamentalgruppen 1-dimensionaler CW-Komplexe sind. Eine Untergruppe entspricht dann einer Überlagerung, die natürlich auch wieder ein 1-dimensionaler CW-Komplex ist.

Dehns Algorithmus zur Lösung des Wortproblems beruhte darauf, dass Flächengruppen eine Präsentierung \langle a_1,b_1,\ldots,a_g,b_g\vert \Pi_{i=1}^g \left[a_i,b_i\right]=1\rangle mit einer einzigen Relation R der Länge 4g haben, die eine gewisse Bedingung erfüllt: jedes Teilwort der Relation R \Pi_{i=1}^g \left[a_i,b_i\right] hat eine Länge kleiner als 4g/7. Deshalb kann man Worte effektiv reduzieren bis sie einem minimalen Repräsentanten entsprechen. Im Laufe der 60er Jahre war eine allgemeinere Theorie entwickelt worden von Gruppen, die (im Allgemeinen mit mehreren Relationen) eine analoge Bedingung erfüllen (sogenannte „small cancellation groups“) und für die man also mit Dehns Algorithmus das Wortproblem lösen konnte. Trotzdem waren die Vertreter der kombinatorischen Gruppentheorie der Meinung, dass man nicht richtig verstand, was diese Gruppen sind.

Gromov erkannte, dass auch diese Theorie in gewisser Weise geometrisch als Manifestation negativer Krümmung interpretiert werden kann. Daraus entwickelte sich die Idee, eine Theorie negativ gekrümmter Gruppen zu entwickeln. Dabei sollte eine Gruppe negativ gekrümmt sein, wenn sie eigentlich diskontinuierlich und kokompakt auf einem negativ gekrümmten Raum wirkt.

Typisch für Gromov war ein Aufweichen der Geometrie. Er ersetzte Gleichungen durch Ungleichungen oder asymptotische Gleichungen, Mannigfaltigkeiten durch metrische Räume. Im Kontext der Gruppentheorie erkannte er, dass die Geometrie einer Gruppe nur vom Quasi-Isometrie-Typ des Raumes abhängt, auf dem sie eigentlich diskontinuierlich und kokompakt wirkt. Man kann insbesondere zu einem Erzeugendensystem eine Metrik auf der Gruppe definieren, indem man den Cayley-Graphen zu diesem Erzeugendensystem betrachtet. Die Metriken zu verschiedenen endlichen Erzeugendensystemen sind quasi-isometrisch und ein recht elementarer Satz von Milnor und Schwartz besagt, dass die Gruppe (mit dieser bis auf Quasi-Isometrie eindeutig bestimmten Metrik) auch quasi-isometrisch ist zu jedem Raum, auf dem sie eigentlich diskontinuierlich und kokompakt wirkt. Beispielsweise ist die universelle Überlagerung einer kompakten Mannigfaltigkeit (mit einer hochgehobenen Metrik) quasi-isometrisch zur Fundamentalgruppe. Man kann sich nun fragen, ob die geometrischen Eigenschaften sich in algebraischen Eigenschaften wiederspiegeln. Ein bemerkenswerter von Gromov bewiesener Satz war, dass Gruppen von polynomiellem Wachstum fast-nilpotent sind (eine nilpotente Untergruppe von endlichem Index haben). Letzteres ist, anders als Nilpotenz, keine algebraische Eigenschaft und es gibt natürlich keinen algebraischen Beweis. Stattdessen benutzte Gromovs Beweis einen von ihm eingeführten (heute als Gromov-Hausdorff-Konvergenz bezeichneten) Konvergenzbegriff metrischer Räume: nach Reskalierung mit einem gegen Null konvergierenden Faktor konvergieren die reskalierten Metriken gegen eine nilpotente Lie-Gruppe. (Das war wohl die erste wirkliche Anwendung von Hilberts fünftem Problem demzufolge eine topologische Gruppe, die eine Mannigfaltigkeit ist, eine Lie-Gruppe sein muß.)

Die Idee, dass qualitative Eigenschaften eines Raumes nur von seinem Quasi-Isometrietyp abhängen, stieß dann auch in der Analysis auf Interesse, beispielsweise bei der qualitativen Untersuchung des Wärmeleitungsflusses oder von mit diesem zusammenhängenden stochastischen Prozessen wie der Brownschen Bewegung. Mit der durch den Satz von Milnor-Schwartz gegebenen Quasi-Isometrie eines Raumes zu jeder auf ihm (kokompakt und eigentlich diskontinuierlich) wirkenden Gruppe bekam man so Bezüge zur Gruppentheorie. Beispielsweise fand man Zusammenhänge zwischen der Fundamentalgruppe einer kompakten Mannigfaltigkeit und der Existenz von harmonischen Funktionen auf seiner universellen Überlagerung. Schon 1981 hatte Brooks bewiesen, dass die Fundamentalgruppe genau dann mittelbar ist, wenn 0 zum Spektrum des Laplace-Operators Δ auf der universellen Überlagerung gehört. Sullivan und Lyons bewiesen 1984, dass es im Fall nicht-mittelbarer Fundamentalgruppe nichtkonstante, beschränkte, harmonische Funktionen auf der universellen Überlagerung gibt, bei polynomiellem Wachstum der Fundamentalgruppe aber nicht. Das wiederum konnten sie mit Transienz oder Rekurrenz der Brownschen Bewegung in Zusammenhang bringen, die dann deshalb nur vom Quasi-Isometrie-Typ abhängt. Kaimanowitsch verbesserte das dann noch dahingehend, dass man auch bei subexponentiellem Wachstum keine nichtkonstanten, beschränkten, harmonischen Funktionen hat.

Nun sind metrische Räume in der Regel keine Mannigfaltigkeiten, insbesondere ist das der Fall für den Cayley-Graphen. Man hat also zunächst keinen Krümmungsbegriff. In der Leningrader Schule waren synthetische Ansätze zur Differentialgeometrie populär gewesen. A.D.Alexandrow hatte schon in den 40er Jahren einen Vergleichssatz beweisen, demzufolge Flächen mit einer oberen Krümmungsschranke durch Dreiecksvergleich charakterisiert werden. Toponogow verallgemeinerte das 1958 für beliebige Dimensionen. Insbesondere hat man damit eine synthetische Definition von oberen Krümmungsschranken, die sich auf beliebige metrische Räume ausdehnen läßt. Gromov (folgend Rips) definierte Hyperbolizität durch eine verwandte, aber etwas andere Eigenschaft von Dreiecken, die in Mannigfaltigkeiten negativer Krümmung erfüllt ist und mit der sich Hyperbolizität beliebiger metrische Räume definieren läßt: es soll ein δ>0 geben, so dass für jedes Dreieck jede Seite in der δ-Umgebung der Vereinigung der anderen beiden Seiten liegt.

Dieser Begriff negativer Krümmung hängt nur vom Quasi-Isometrie-Typ ab und ist damit – wenn man sie auf den Cayley-Graphen anwendet – wohldefiniert für Gruppen. Gruppen, die in diesem Sinne negativ gekrümmt sind, nennt man hyperbolische Gruppen. Gromov behauptete (zunächst ohne Beweis), dass zufällige Gruppen mit Wahrscheinlichkeit 1 hyperbolisch sind.

Gromov vertrat die Ansicht, dass ein für alle Gruppen geltendes Theorem entweder trivial oder unwichtig sein müsse. Deshalb solle man spezielle Klassen von Gruppen betrachten: abelsche, nilpotente, polyzyklische, auflösbare, mittelbare Gruppen – das sind natürlich alles recht eingeschränkte Klassen und ihre Vertreter sind – gerade auch in der Geometrie – eher einfach zu verstehen. Die hyperbolischen Gruppen bilden dagegen eine sehr große Klasse von schwierigen Gruppen, für die sich zahlreiche allgemeine Sätze beweisen lassen. Insbesondere sind sie genau diejenigen Gruppen, für die sich mit Dehns Algorithmus das Wortproblem lösen läßt.

Gromov veröffentlichte seine Ideen zu hyperbolischen Gruppen auf 188 Seiten in den Proceedings einer Konferenz, die 1985 am MSRI in Berkeley stattgefunden hatte. Er konzentrierte sich dabei auf das Wesentliche und legte wenig Wert auf die Einzelheiten. Französische und schweizer Mathematiker veranstalteten Seminare, aus denen weitere Bücher mit im Detail ausgearbeiteten Beweisen entstanden.

In der Knotentheorie hatte Wolfgang Haken 1961 einen Algorithmus entwickelt, mit dem für Haken-Mannigfaltigkeiten (insbesondere Knotenkomplemente) entschieden werden konnte, ob sie homöomorph sind. Nachdem Gordon und Luecke 1989 bewiesen, dass die Homöomorphie von Knotenkomplementen äquivalent zur Isotopie von Knoten ist, hatte man damit einen Algorithmus zur Unterscheidung von Knoten. Hakens Algorithmus ist allerdings unpraktikabel, weil er zu lange Laufzeiten hat.
Mit Thurstons (zunächst für Haken-Mannigfaltigkeiten bewiesener) Geometrisierung von 3-Mannigfaltigkeiten erhielt man, dass ein Knotenkomplement entweder entlang inkompressibler Tori zerlegt werden kann (wenn der Knoten ein Satellitenknoten ist) oder eine Seifert-Faserung ist (wenn der Knoten ein Torusknoten ist) oder in allen anderen Fällen eine hyperbolische Mannigfaltigkeit endlichen Volumens ist. Die Knotengruppe ist dann relativ hyperbolisch (allerdings nicht hyperbolisch wegen der vom Rand-Torus kommenden Untergruppe Z+Z). Jeff Weeks Computerprogramm SnapPea (inzwischen von anderen Autoren weiterentwickelt zu SnapPy) ermöglicht eine praktische algorithmische Behandlung von Knotenkomplementen mittels hyperbolischer Geometrie, beispielsweise berechnet es Symmetriegruppen oder Invarianten wie das hyperbolische Volumen und die Chern-Simons-Invariante.

Bild: https://link.springer.com/content/pdf/bfm%3A978-3-0348-9102-8%2F1.pdf

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