Theorema Magnum MCMLXXXVII: die Arnold-Vermutung für monotone symplektische Mannigfaltigkeiten

Für die S² war die Arnold-Vermutung bereits vor ihrer Formulierung 1972 von Nikishin bewiesen worden. Für beliebige Flächen bewies sie 1979 Eliashberg und für den 2n-Torus bewiesen sie Conley und Zehnder 1983, indem sie die von Conley für beliebige von Flüssen erzeugte Diffeomorphismen entwickelte Index-Theorie auf ein bestimmtes von Rabinowitz definiertes Wirkungsfunktional anwandten. Diese Arbeit wird von manchen als Beginn der symplektischen Topologie angesehen, weil sie (weiterhin mit variationellen Methoden) die Arnold-Vermutung nicht nur für Symplektomorphismen nahe der Identität angehen konnte.

Michail Gromov war durch Probleme mit gewissen Differentialgleichungen auf die symplektische Geometrie gestoßen. Die Lösungen dieser Differentialgleichungen sollten quasianalytisch sein, was analytisch schwer zu beweisen war, aber in geometrischen Begriffen einfach daraus folgte, dass es sich um pseudoholomorphe Kurven für gewisse fastkomplexe Strukturen handelte, ein elliptisches System wie man es aus den klassischen Holomorphie definierenden Cauchy-Riemann-Gleichungen kennt. Zu einer symplektischen Struktur hat man eine fastkomplexe Struktur mit einer gewissen Kompatibilitätsbedingung und kann dann also über pseudoholomorphe Kurven bezüglich dieser fastkomplexen Struktur sprechen. Gromovs Intuition war nun, dass pseudoholomorphe Kurven in der symplektischen Geometrie eine ähnliche Rolle spielen sollten wie die holomorphen Kurven in der klassischen komplexen Geometrie. Typisch für Gromov war, dass es sich hier um eine aufgeweichte Geometrie handelt: die fast-komplexe Struktur ist durch die symplektische Struktur nur bis auf Homotopie festgelegt, aber diese Uneindeutigkeit erweist sich nicht als Problem. (Ähnlich wie in der Theorie der hyperbolischen Gruppen die Metrik nur bis auf Quasi-Isometrie festgelegt ist, was bei der Entwicklung der Theorie aber kein Problem darstellt.) Mit diesem Ansatz konnte Gromov beispielsweise symplektische Starrheit zeigen – Symplektomorphismen bilden eine abgeschlossene Untergruppe der Diffeomorphismen, was überhaupt den Begriff “Symplektische Topologie” rechtfertigt – oder die Existenz einer spezifisch symplektischen Invariante, der “Weite”, mit der er dann bewies, dass es keine symplektischen Einbettungen für r≥1 geben kann.

Eliashbergs Beweis der Arnold-Vermutung für Flächen höheren Geschlechts fanden viele Mathematiker unverständlich, weshalb Zehnder seinem Diplomanden Andreas Floer die Aufgabe stellte, Eliashbergs Behauptungen zu verifizieren, was diesem mit vielen neuen Ideen auch gelang.

Um die Arnold-Vermutung anzugehen, muss man für ein auf dem Schleifenraum einer symplektischen Mannigfaltigkeit definiertes Wirkungsfunktional eine untere Schranke für die Anzahl kritischer Punkte beweisen, was auf schwere analytische Probleme stößt. (Fixpunkte der Zeit-1-Abbildung eines Hamiltonschen Flusses entsprechen periodischen Bahnen des Flusses, weshalb man nach kritischen Punkten auf dem Schleifenraum suchen kann.) Die kritischen Punkte des Wirkungsfunktionals sind durch Kurven verbunden, die durch eine elliptische partielle Differentialgleichung beschrieben werden, welche eine Störung niederer Ordnung der von Gromov betrachteten Gleichung für pseudoholomorphe Kurven ist. Aus dieser Beobachtung entwickelte Floer ein Analogon der Morse-Theorie für Gradientenflüße basierend auf einer algebraischen Zählung der Lösungen endlicher Energie für diese Gleichung.

Die Grundidee dieses Ansatzes ist eine Verallgemeinerung der Morse-Homologie. In der Morse-Theorie betrachtet man eine Funktion, deren kritische Punkte nicht-ausgeartet sind. Man kann dann den Kettenkomplex nehmen, dessen k-Ketten von kritischen Punkten vom Index k erzeugt werden und dessen Randoperator angewandt auf solch einen Punkten die Flußlinien des Gradientenflusses zählt, welche jeweils in einem kritischen Punkt vom Index k-1 enden. (Mit diesem Koeffizienten kommt der kritische Punkt vom Index k-1 dann im Rand des kritischen Punktes vom Index k vor.) Die mit diesem Randoperator definierte Homologie ist für kompakte Mannigfaltigkeiten isomorph zur Homologie der zugrundeliegenden Mannigfaltigkeit (während man für nichtkompakte Mannigfaltigkeiten die Homologie des Conley-Index erhält). Weil die Dimension der Homologie nicht größer werden kann als die Dimension des Kettenkomplexes, erhält man die Morse-Ungleichungen, denenzufolge es mindestens soviele kritische Punkte vom Index k gibt wie die Dimension der k-ten Homologiegruppe.

Diese Idee versuchte Floer also zu verallgemeinern. Die kritischen Punkte des Wirkungsfunktionals erzeugen einen Kettenkomplex. Das erste Problem bei der Verallgemeinerung der Morse-Theorie ist die Definition des Index, da die Vektorräume, auf denen die zweite Ableitung positiv und negativ definit ist, unendlichdimensional sind. Er konnte aber einen relativen Index verwenden, den Maslov-Index. Der Randoperator soll dann statt der Flußlinien eines Gradientenflusses die (gestörten) pseudoholomorphen Kurven zählen, welche kritische Punkte vom Index k und k-1 verbinden (in dem Sinne, dass sie zylindrische Enden haben, die gegen die zu den Fixpunkten gehörenden periodischen Bahnen des Hamilton-Flusses konvergieren). Man muß einen Kompaktheitssatz für pseudoholomorphe Kurven beweisen, damit der Randoperator wirklich endliche Summen gibt, und man muß eine Verklebeformel beweisen, damit der Randoperator d²=0 erfüllt. Der Kompaktheitssatz für pseudoholomorphe Kurven war gerade zuvor von Gromov bewiesen worden, allerdings unter der Voraussetzung, dass es keine Blasenbildung gibt. Diese Blasenbildung konnte man ausschließen, wenn die zweite Homotopiegruppe der Mannigfaltigkeit verschwindet. Unter dieser zusätzlichen Voraussetzung konnte Floer also die Existenz seiner Homologietheorie beweisen. Aus der Existenz der Floer-Homologie und ihrer Isomorphie zur singulären Homologie (für von einem Hamiltonschen Fluss erzeugte Symplektomorphismen) folgt dann unmittelbar die Arnold-Vermutung: die Anzahl der kritischen Punkte ist die Dimension des Kettenkomplexes und damit mindestens so groß wie die Dimension der Homologie.
Floer bewies die Existenz der Floer-Homologie und damit die Arnold-Vermutung nicht nur unter der Voraussetzung π₂=0, sondern allgemeiner auch noch für sogenannte monotone symplektische Manigfaltigkeiten, wo über eingebetteten 2-Sphären die symplektische Form ein nichtnegatives Vielfaches der ersten Chern-Klasse ist. Hofer konnte diese Voraussetzungen dann noch etwas abschwächen.