Theorema Magnum MXMVI: die Milnor-Vermutung

Die Hauptachsentransformation ist das klassische Verfahren, um Kegelschnitte in Standardform zu bringen. In der Sprache der linearen Algebra bedeutet sie, dass jede symmetrische Bilinearform (über den reellen Zahlen) diagonalisiert werden kann. Tatsächlich kann man nach dem 1852 bewiesenen Trägheitssatz von Sylvester über R so diagonalisieren, dass auf der Diagonale der zugehörigen Matrix nur -1, 0 und 1 stehen. Für hermitesche Sesquilinearformen über C kann man sogar so diagonalisieren, dass auf der Diagonale nur 0 und 1 stehen. Quadratische Formen lassen sich aus symmetrischen Bilinearformen gewinnen. Quadratische Formen werden über C also durch Dimension und Rang klassifiziert, über R kommt noch die Signatur als Invariante hinzu.

Man kann dann über beliebigen Körpern die Frage nach der Klassifikation quadratischer Form stellen. Genauso wie für C kann man für alle algebraisch abgeschlossenen Körper F und allgemeiner für Körper mit F=F² beweisen, dass quadratische Formen durch Dimension und Rang klassifiziert werden. Allgemeiner, wenn man sich auf nicht-ausgeartete quadratische Formen einschränkt, ist zwar die Determinante als Element von F* keine Invariante unter Basiswechseln, ihre Äquivalenzklasse in F*/F*² aber schon. Zum Beispiel ist 2x² über Q nicht äquivalent zu x², denn die Determinanten 2 und 1 repräsentieren unterschiedliche Äquivalenzklassen modulo Q*².
Die Menge der Äquivalenzklassen quadratischer Formen über F, mit direkter Summe und Tensorprodukt als Verknüpfungen, wird heute als Grothendieck-Witt-Ring GW(F) bezeichnet. Wenn man stabile Äquivalenzklassen (also Äquivalenz nach direkter Summe mit Einheitsformen x₁²+…+x_k²) betrachtet, erhält man den Quotienten von GW(F) nach dem von der Äquivalenzklasse der quadratischen Form x²-y² erzeugten Ideal. Dieser Quotient ist der 1937 von Ernst Witt eingeführte Witt-Ring W(F). Die Berechnung des Witt-Rings ist also gleichbedeutend mit der Klassifikation quadratischer Formen bis auf stabile Äquivalenz.

Sei I das von quadratischen Formen gerader Dimension erzeugte Ideal in W(F), dann ist W(F)/I=Z/2Z mittels der Dimension. Man kann nun versuchen, W(F) zu berechnen, indem man die Quotienten Iⁿ/Iⁿ⁺¹ berechnet bzw. in expliziterer Abhängigkeit von F ausdrückt. Die Diskriminante gibt einen Isomorphismus I/I²=F*/F*² und Merkurjev bewies Anfang der 80er Jahre einen Isomorphismus I²/I³=H²(G,Z/2Z) für die absolute Galois-Gruppe G des Körpers F, also die Galois-Gruppe seines algebraischen Abschlusses.

Eine wichtige Invariante eines Körpers F ist seine Galois-Kohomologie, d.h. die Gruppenkohomologie seiner absoluten Galois-Gruppe . Galois-Kohomologie spielt (mindestens implizit) eine wichtige Rolle in der Klassenkörpertheorie, zum Beispiel läßt sich Hilberts Satz 90 als H¹(G,L*)=0 für die Galois-Gruppe G=Gal(L/K) einer Körpererweiterung L/K formulieren. Der Beweis des Satzes von Mordell-Weil läßt sich elegant mit Galois-Kohomologie durchführen und die Klassifikation einfacher zentraler Algebren (der Satz von Brauer-Hasse-Noether) vereinfacht sich durch Verwendung von Galois-Kohomologie. Die allgemeine Theorie der Galois-Kohomologie wurde von Tate und Serre entwickelt, in Grothendiecks Arbeit wurde Galois-Kohomologie ein Spezialfall der allgemeineren etalen Kohomologie von Schemata: H¹(G,M) für eine abelsche Gruppe M ist H¹_et(Spec(F),S) für eine geeignete Garbe S.
Die im Raum stehende Frage war nun, ob man einen Isomorphismus von Iⁿ/Iⁿ⁺¹ zur Galois-Kohomologie Hⁿ(G,Z/2Z) konstruieren könne. Es gab aber keinen kanonischen Morphismus zwischen diesen beiden Gruppen. John Milnor’s Idee war es um 1970 gewesen, stattdessen einen Isomorphismus aus gewissen K-Gruppen in beide dieser Gruppen zu konstruieren.

Nachdem die von Atiyah und Hirzebruch entwickelte topologische K-Theorie seit Anfang der 60er Jahre spektakuläre Anwendungen vor allem in der Topologie von Mannigfaltigkeiten – zum Beispiel die Lösung des Problems der Hopf-Invariante 1 oder die Bestimmung der Maximalzahl linear unabhängiger Vektorfeldern auf Sphären, oder auch ein besseres Verständnis der Bott-Periodizität und damit die Klassifikation der Divisionsalgebren – ermöglicht hatte, hatte man ein algebraisches Analog für beliebige Ringe konstruieren wollen. Das Analogon zu Vektorbündeln über topologischen Räumen (für die Konstruktion der topologischen K-Theorie) sollten dabei projektive Moduln über Ringen sein, also direkte Summanden freier Moduln. Swan hatte in einer Arbeit, in der er endlich erzeugte projektive Moduln über Gruppenringen endlicher Gruppen klassifizieren wollte, K₀(R) in Analogie zur topologischen K-Theorie als Grothendieck-Gruppe der Isomorphieklassen endlich erzeugter projektiver Moduln definiert. Motiviert wohl von der Definition der Suspension mittels Verklebefunktionen definierte Bass dann K₁(R)=GL(R)/E(R), wobei E(R) die von Elementarmatrizen erzeugte Untergruppe der allgemeinen linearen Gruppe GL(R) ist. Man hat also K₁(R)=H₁(GL(R)). (Eine Variante dieser Gruppe war als Whitehead-Gruppe in der Formulierung des s-Kobordismensatzes der geometrischen Topologie vorgekommen.) Man suchte dann nach vernünftigen Definitionen für höhere K-Gruppen, die insbesondere die von K₀ und K₁ bekannten exakten Sequenzen haben sollten. Milnor definierte K₂(R) als Kern des Homomorphismus St(R)—>GL(R), wobei die Steinberg-Gruppe St(R) die formal von den Elementarmatrizen erzeugte Gruppe mit allen offensichtlichen Relationen zwischen Elementarmatrizen ist. Durch die Struktur des Ringes R können weitere Relationen hinzukommen, die dann also für die Nichttrivialität von K_R verantwortlich sind. Milnor gab auch eine Definition von höheren K-Gruppen, die aber nicht von allen als die “richtige” angesehen wurde. Die allgemein akzeptierte (und für n=2 mit Milnors übereinstimmende) Definition der algebraischen K-Theorie K_n(R) gab dann 1972 Daniel Quillen mit Hilfe der Plus-Konstruktion. Die Plus-Konstruktion ordnet einem CW-Komplex einen anderen CW-Komplex mit abelisierter Fundamentalgruppe und denselben Homologiegruppen zu, der insbesondere ein H-Raum ist. Quillen überraschend einfache Konstruktion benötigte nur das Ankleben von 2- und 3-Zellen an den CW-Komplex. Die K-Theorie K_n(R) definierte er dann als n-te Homotopiegruppe des CW-Komplexes, den man durch Anwenden der Plus-Konstruktion auf den klassifizierenden Raum der (unendlich-dimensionalen) allgemeinen linearen Gruppe GL(R) erhält. Insbesondere hat man eine Hurewicz-Abbildung von der algebraischen K-Theorie in die Gruppenhomologie von GL(R). (Quillen fand diese Definition im Zusammenhang mit seiner Arbeit am Beweis der Adams-Vermutung, mit der das Bild des J-Homomorphismus beschrieben werden konnte.) Quillen gab dann noch eine allgemeinere Definition einer algebraischen K-Theorie von Kategorien, womit er dann insbesondere die algebraische K-Theorie einer Varietät oder eines Schemas X definieren konnte als die algebraische K-Theorie der Kategorie der Vektorbündel über X.