Am bekanntesten wurden aber Okunkows und Pandharipadnes gemeinsame Arbeiten über die Berechnung der Gromov-Witten-Invarianten glatter projektiver Varietäten. Insbesondere betrachteten sie den Fall, dass X eine komplexe Kurve ist. Nach der von Kontsevich bewiesenen Witten-Vermutung wird die Schnittheorie im Modulraum stabiler Kurven (also die Gromov-Witten-Theorie des Punktes) durch die Korteweg-de-Vries-Gleichung bestimmt – dafür gaben sie einen neuen Beweis. Allgemeiner wollten sie die Schnittheorie im Modulraum der stabilen Abbildungen einer gegebenen topologischen Fläche nach X verstehen. Für X=CP1 bewiesen sie, dass diese ebenfalls durch eine Differentialgleichung der Physik bestimmt werden. Im Fall der C*-äquivarianten Theorie auf CP1 durch eine Gleichung, die Toda betrachtet hatte und spezielle Solitonen betraf, wie sie seinerzeit in den numerischen Experimenten in Los Alamos betrachtet worden waren. Die Verbindung wurde durch mehr als hundert Jahre alte von Hurwitz untersuchte Invarianten hergestellt, die die Anzahl verzweigter Überlagerungen einer gegebenen Fläche zählen. Aus den äquivarianten kann man die nicht-äquivarianten Gromov-Witten-Invarianten der projektiven Gerade berechnen und diese sind fundamental für das Verständnis der Gromov-Witten-Theorie anderer Mannigfaltigkeiten, fundamentaler als die des Punktes.
Einer der Gründe, sich für Gromov-Witten-Invarianten zu interessieren, war ihr Vorkommen in der rekursiven Formel für die Anzahl der Kurven. Zur Berechnung solcher Anzahlen entwickelte sich vor allem durch Arbeiten von Michalkin noch ein weiterer kombinatorischer Ansatz, die tropische Geometrie. Bei dieser handelt es sich um algebraische Geometrie über dem tropischen Semiring, also den positiven reellen Zahlen mit der Addition x+y=max(x,y) und der Multiplikation x.y=x+y. (Ihren Namen hatte sie erhalten, weil ein in Brasilien lebender ungarischer Informatiker – ohne Bezug zur algebraischen Geometrie – über diesen Semiring gearbeitet hatte.)
In der tropischen Geometrie entsprechen Monome linearen Polynomen, und Summen von Monomen – also beliebige Polynome – entsprechen dem Maximum mehrerer linearer Polynome. Als tropische Varietät eines Polynoms bezeichnet man diejenigen reellen Punkte, in denen das Maximum von mindestens zwei linearen Polynomen gleichzeitg angenommen wird. Die Bilder unten zeigen die tropischen Varietäten von 0+x+(-2)x2, 0+x+y und 0+x+y+(-1)x2+1xy+(-1)y2.
Die Multiplikation im tropischen Semiring entspricht der Multiplikation in einer logarithmischen Skala, für die Addition gilt das zumindest näherungsweise, wenn die Basis des Logarithmus sehr groß ist.
Man kann nun von komplexen Zahlen zu positiven reellen Zahlen übergehen, indem man den Logarithmus des Betrags nimmt (dabei vergißt man das Argument der komplexen Zahl) und erhält damit aus einer komplexen Varietät eine reelle, die als Amöbe der Varietät bezeichnet wird.
Wenn man die Basis des Logarithmus gegen Unendlich gehen läßt, erhält man im Grenzwert die dem Polynom zugeordnete tropische Varietät.
Diese Theorie war schon älter, populär wurde sie in den Nuller Jahren durch Anwendungen auf das Kurvenzählen, insbesondere durch Arbeiten von Michalkin zur Gromov-Witten-Theorie. Statt algebraische Varietäten mit gewissen Eigenschaften zu zählen, kann man die entsprechenden tropischen Varietäten zählen. Das ist im Prinzip ein endliches kombinatorisches Problem, auch wenn seine Lösung im konkreten Fall natürlich immer noch schwierig sein kann. Es eröffneten sich so Verbindungen zu anderen Gebieten der Mathematik. Beispielsweise bewiesen Speyer und Sturmfels, dass das tropische Äquivalent des Raums 2-dimensionaler Ebenen im Cn dem Raum phylogenetischer Bäume entspricht.
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