Theorema Magnum MMVI: die Arnold-Vermutung

Fukayas Anwendung seiner -Kategorien war die Definition von Varianten der Floer-Homologie, mit denen dann die allgemeine Arnold-Vermutung folgt. Für den ursprünglichen Randoperator hat man in manchen Fällen und dementsprechend keine Homologietheorie, jedoch kann man die -Kategorien zur Deformation des Randoperators nutzen, um dann eine Homologietheorie zu bekommen. Fukaya war sehr großzügig mit seinen Ideen, nicht nur gegenüber seinen unmittelbaren Kollegen, sondern er stellte auch unfertige Versionen seiner Arbeiten ohne vollständige Beweise auf seine Webseite. Mit seinen Koautoren, insbesondere Ono, Oh und Ohta arbeitete er dann technische Details aus. Schon 1999 hatte er mit Ono einen allgemeinen Beweis der Arnold-Vermutung in der Zeitschrift Topology veröffentlicht. Die wesentliche Schwierigkeit war dabei ein gewisses Transversalitätsargument gewesen, dass sie durch die Einführung gewisser technisch definierter Koordinatensysteme (Kuranishi-Strukturen) umgingen. (Letztlich geht es darum, eine “virtuelle” Fundamentalklasse eines Modulraums zu definieren, über die man Kohomologieklassen integrieren kann, was sowohl für Definition und Berechnung der Floer-Homologie als auch zum Beispiel für die Definition von Gromov-Witten-Invarianten benötigt wird.) Die Kuranishi-Strukturen verwendet man in der Definition der -Algebra von (L,L’) und mit deren Hilfe definiert man gewisse Bulkdeformationen, so dass in Abhängigkeit von gewissen Elementen der Algebra dann Deformationen des Randoperators und damit Floer-Homologien definiert werden können. Anderen Experten war nicht klar, ob dieser Ansatz wirklich funktionierte und es blieb eine allgemeine Unsicherheit, ob der allgemeine Fall der Vermutung als bewiesen anzusehen sei. Statt weitere Forschungen anzustoßen, wurde die Arbeit zunächst ignoriert, denn niemand verstand sie. Ähnliche Probleme gab es mit einer Arbeit, die Liu und Tian 1998 im Journal of Differential Geometry veröffentlicht hatten und die ebenfalls einen vollständigen Beweis der Arnold-Vermutung behauptete. Viele ahnten, dass es in dieser Arbeit Fehler gab, aber jeder versuchte, in seinen eigenen darauf aufbauenden Arbeiten nur diejenigen Teile zu verwenden, von deren Korrektheit man ausgehen konnte. Letztlich schrieben Fukaya, Oh, Ohta und Ono 2006 nach jahrelanger Arbeit die Grundlagen für die allgemeine Konstruktion der Floer-Homologie von Paaren Lagrangescher Untermannigfaltigkeiten auf. Diese Arbeit war in der ersten Version 300 Seiten lang gewesen und nach Ausarbeiten aller technischen Details letztlich 1400 Seiten. Weil der Verlag nur maximal 1000 Seiten drucken wollte, mußten zwei Kapitel in eine andere Publikation ausgelagert werden. In weiteren Arbeiten wandten sie ihre Konstruktion auf die Berechnung der Floer-Homologie und das Verständnis der Mirrorsymmetrie torischer Varietäten an. Selbst danach verstummten die Zweifel an manchen technischen Details insbesondere bei der Konstruktion der Kuranishi-Strukturen nicht.

Floers Ansatz, Randoperatoren durch Zählen pseudoholomorpher Kurven und damit Homologietheorie und sich aus diesen ergebende Invarianten zu definieren, fand zahlreiche weitere Anwendungen. Eliashberg, Givental und Hofer entwickelten eine “symplektische Feldtheorie” zur Berechnung von Gromov-Witten-Invarianten, deren Grundlagen sie in einem gut hundert Seiten langen Artike skizzierten (wo sie weitere Arbeiten über die technischen Details ankündigten). In gewisser Weise handelte es sich um eine Kobordismustheorie für Kontaktmannigfaltigkeiten, aus der man dann Invarianten berechnen konnte. Der einfachste Spezialfall war eine von Chekanov rein kombinatorisch entwickelte Konstruktion von Invarianten von Legendre-Knoten (Knoten in Kontaktmannigfaltigkeiten, deren Tangenten in den Kontaktebenen liegen sollen, wodurch man eine feinere Klassifikation der Knoten bekommt als die rein topologische Klassifikation). In höheren Dimensionen entwickelten mehrere Autoren die Grundlagen einer sogenannten eingebetteten Kontakthomologie (im Gegensatz zur relativen Kontakthomologie, deren einfachster Spezialfall Chekanovs Theorie war). Ilya Ustilovsky, ein Student Eliashbergs, benutzte diese Kontakthomologie schon vor Veröffentlichung der ersten Grundlagen, um zu zeigen, dass es auf (4n+1)-dimensionalen Sphären unendlich viele nicht-isomorphe Kontaktstrukturen α gibt.
Die Nichttrivialität der eingebetteten Kontakthomologie würde eine Vermutung Weinsteins beweisen, nach der es geschlossene Bahnen für das kanonische Reeb-Vektorfeld im Kern von dα geben soll. Diese Vermutung wurde dann tatsächlich von Clifford Taubes in einer Serie von Arbeiten bewiesen, allerdings mit einem anderen Ansatz, nämlich den aus der Theorie der Supraleitung stammenden Seiberg-Witten-Invarianten von 3-Mannigfaltigkeiten. Der Beweis benutzte, dass die aus den Seiberg-Witten-Gleichungen gewonnene Monopol-Floer-Homologie isomorph zur eingebetten Kontakthomologie ist. Später wurde auch ein Isomorphismus zur von Ozsváth und Szabó (mit zahlreichen Anwendungen in 3- und 4-dimensionaler Topologie) entwickelten Heegaard-Floer-Homologie bewiesen, was wiederum von Hutchings und Taubes zum Beweis einer anderen Vermutung Arnolds über Existenz von Bahnen des Reeb-Vektorfelds transversal zu einem gegebenen Legendre-Knoten verwendet wurde.