Huh bewies dann, dass die Bettizahlen sich mittels Singularitätentheorie berechnen lassen. Allgemein sei h ein homogenes Polynom, welches ein Produkt aus linearen Faktoren ist (hier aus den ), dann kann man mittels Morse-Theorie berechnen und als Ergebnis erhält man die i-te Milnor-Zahl der Singularität, die das Polynom h im Nullpunkt hat. Diese ergibt sich rein algebraisch wie folgt. Betrachte die Ideale , dann ist die Dimension von eine (polynomielle) Funktion in u und v und man erhält als mal den Koeffizienten von in .
Und schließlich bewies er, dass (unter gewissen Voraussetzungen, die durch die spezielle Wahl der Polynome h hier erfüllt sind) die Milnor-Zahlen eine unimodale Folge bilden, woraus sich dann ergibt, dass auch die Koeffizienten des chromatischen Polynoms eine unimodale Folge bilden. (Dieser Beweis benutzte wiederum, dass die Milnor-Zahlen mit gewissen gemischten Volumina aus der Konvexgeometrie übereinstimmen, deren Unimodalität bekannt war.)
Zweifellos eine überraschende Anwendung der algebraischen Geometrie in der Graphentheorie.

Die Standard-Vermutungen

In einer 2018 in den Annals of Mathematics erschienenen Arbeit von Adiprasito, Huh und Katz wurde dann gezeigt, dass dies ein Spezialfall eines allgemeineren Phänomens ist und allgemein für die charakteristischen Polynome sogenannter Matroide gilt. Hinter diesem allgemeinen Resultat steckt eine Struktur, die in allen möglichen Zusammenhängen in der Mathematik vorkommt und damit für viele in unterschiedlichen Zusammenhängen vorkommende unimodale Polynome verantwortlich ist: die sogenannten Lefschetz-Pakete.

Seit den 40er Jahren galten die Weil-Vermutungen als die größte offene Frage der algebraischen Geometrie. Sie besagen, dass man die Anzahl der Lösungen einer polynomiellen Gleichung modulo einer Primzahlpotenz bestimmen kann, wenn man die algebraische Topologie derselben Gleichung über den komplexen Zahlen (d.h. die Betti-Zahlen der entsprechenden Varietät im ) kennt. Zum Beispiel ist es nicht einfach die Anzahl der Lösungen von modulo einer Primzahlpotenz zu berechnen. Über den komplexen Zahlen ist diese Kurve in der projektiven Ebene aber einfach ein Torus. Die Betti-Zahlen sind . Mit den Weil-Vermutungen bekommt man dann zum Beispiel 9 Lösungen modulo 7, 63 Lösungen modulo 7², 324 Lösungen modulo 7³ und eine allgemeine Formel für die Anzahl der Lösungen modulo .

Alexander Grothendieck erkannte 1968, dass man die Weil-Vermutungen herleiten könnte, wenn es es eine Struktur aus Poincaré-Dualität, schwerem Lefschetz-Satz und Hodge-Riemann-Relationen auch auf den Chow-Gruppen (den Gruppen algebraischer Zykel modulo homologischer Äquivalenz in einer algebraischen Varietät) gibt. Die vermutete Existenz dieser Strukturen wurde dann als Standardvermutungen bekannt.

Alexander Grothendiecks Zugang zur Mathematik war der eines Theoriebauers statt eines Problemlösers. Auch an den Weil-Vermutungen interessierte ihn nicht das schwere und berühmte Problem, sondern die zu suchende dahinterliegende versteckte Struktur.

Erich Kähler hatte Anfang der 30er Jahre die Differentialgeometrie mit den Arbeiten der italienischen Schule zur algebraischen Geometrie verbinden wollen und in diesem Zusammenhang auf komplexen Mannigfaltigkeiten Riemannsche Metriken betrachtet, für die eine geschlossene 2-Form ist. Dies ist insbesondere für die Fubini-Study-Metrik auf Untermannigfaltigkeiten des der Fall, also auch für glatte projektive Varietäten. Für solche “Kähler-Mannigfaltigkeiten” funktioniert die von Lefschetz in den 20er Jahren für das Studium der Topologie algebraischer Variet\”aten entwickelte Maschinerie. In der Sprache der deRham-Kohomologie kann man sie so formulieren, dass für jedes k (und d die Dimension der Mannigfaltigkeit) das Cup-Produkt mit einen Isomorphismus gibt (“schwerer Satz von Lefschetz”), und man zusammen mit der Poincaré-Dualität eine symmetrische Paarung erhält, die auf dem Kern von positiv definit ist. Ausgerechnet gibt diese positive Definitheit die sogenannten Hodge-Riemann-Relationen, die in der komplexen und algebraischen Geometrie an vielen Stellen verwendet werden. Spezieller hat man diese Strukturen dann auch auf der Dolbeault-Kohomologie .