Die Veröffentlichung von “Récoltes et Semailles” war Anlaß für eine Sendung von France Culture mit Laurent Lafforgue und zwei weiteren Mathematikern (Olivia Caramello und Alain Connes). Neben Grothendieck und seinem Buch war auch die Topos-Theorie Thema dieser Sendung. In der Topos-Theorie geht es grob gesagt darum, den Begriff des topologischen Raumes durch einen allgemeineren kategorientheoretischen Begriff zu ersetzen.

Laurent Lafforgue war seit 2000 einer von sechs Professoren am Institut des Hautes Études Scientifiques, dem wohl wichtigsten französischen Forschungsinstitut für Mathematik und Theoretische Physik. 2002 erhielt er die Fields-Medaille für seinen Beweis der Langlands-Korrespondenz im Funktionenkörper-Fall. In den Jahren danach engagierte er sich für eine Erneuerung (“refondation”) des Schulwesens (mehr klassische Sprachen, weniger Naturwissenschaften), war auch kurzzeitig Mitglied im Haut conseil de l’éducation, sowie seit 2013 mit einer Buchveröffentlichung für eine “rationale und rigorose” Analyse des Ukraine-Konflikts. Daneben hat er in den letzten zwanzig Jahren auch noch einige mathematische Arbeiten geschrieben, die aber nicht mehr die Rezeption seiner früheren Arbeiten erhielten. Seine letzte, 2019 erschienene Arbeit mit Olivia Caramello benutzt den Rahmen der Topos-Theorie zur Konstruktion “topologischer Galois-Theorien”, d.h. topos-theoretischer Verallgemeinerungen der klassischen Korrespondenz zwischen Körpererweiterungen und abgeschlossenen Untergruppen der Galois-Gruppe. Seit 2019 wurde sein Lehrstuhl von Huawei gesponsort, 2021 verließ er das IHÉS, um ganz bei Huawei Technologies France zu arbeiten.

In den letzten zehn Minuten der Sendung bei France Culture ging es um eine “Feindseligkeit” der Mathematiker gegenüber der Topos-Theorie. Caramello meint, dass viele Spezialisten Angst davor hätten, dass Probleme ihrer Spezialitäten mit fremden Methoden gelöst werden könnten. (Sie spricht von Ostrazismus.) Ein Mathematiker hätte nach einem ihrer Vorträge mehrere Stunden nach einem Gegenbeispiel gesucht, weil er ihre Verallgemeinerung eines bekannten Satzes nicht hatte glauben wollen. Auch Lafforgue spricht von einer sehr großen Feindseligkeit gegenüber seinen Arbeiten zur Topos-Theorie. Dagegen habe er zu seiner größten Überraschung bei den Ingenieuren von Huawei sehr viel offenere Ohren gefunden. Dort bei den Verantwortlichen der Forschungsabteilung von Huawei glaube man daran, dass die Topos-Theorie für die Entwicklung einer künstlichen Intelligenz wesentlich werden könnte. Nun ja.

Die Einheit der Mathematik

One may seek unity in mathematics through the eyes of cohomology. Let X be a mathematical object of “dimension” d. The object may be analytic, arithmetic, geometric, or combinatorial, and the precise notion of dimension will depend on the context. Curiously, often it is possible to construct from in a natural way a graded real vector space . The new object A(X) called the cohomology of X, often encodes essential information on X. When two objects X and Y of the same kind are related in a particular way, the relationship is often reflected on their cohomologies A(X) and A(Y), and this property can be exploited to extend our understanding. Primary consumers of this viewpoint so far were topologists and geometers, and a great number of triumphs in topology and geometry are based on a construction of A(X) from X. Interestingly, sometimes, satisfactory and equally useful cohomologies exist even when X does not have a geometric structure in the conventional sense. In particular, when X is a matroid, the study of A(X) led to proofs of a few combinatorial conjectures that were beyond reach with traditional methods.
There are a few pieces of evidence for the unity in the above context. The list is short, but the pattern is remarkable. For example, A(X) can be the ring of algebraic cycles modulo homological equivalence on a smooth projective variety, the combinatorial cohomology of a convex polytope, the Soergel bimodule of a Coxeter group element, the Chow ring of a matroid, the conormal Chow ring of a matroid, or the intersection cohomology of a matroid. (Einleitung zu Huhs ICM-Vortrag.)