Falsche Bruchrechnung
Man weiß es natürlich seit der fünften Klasse, dass man Brüche nicht zähler- und nennerweise addieren darf, also so wie
Was passiert, wenn man es doch tut, hat der Geologe John Farey schon vor 200 Jahren untersucht, weshalb man diese Art der Bruchrechnung heute Farey-Addition nennt.
In einem (bisher) 4,3 Millionen mal geschauten Numberphile-Video, das man schon des französischen Akzents wegen anschauen sollte, erklärte Francis Bonahon im Juni 2015 den Zusammenhang zwischen Fareys Bruchrechnung und den abgebildeten Ford-Kreisen.
Nur angedeutet wurde natürlich der Zusammenhang mit hyperbolischer Geometrie, Topologie und Dynamik. Darüber kann man in Kapitel 8 von Bonahons Buch nachlesen oder auch online zum Beispiel (mit weiteren Links in den Kommentaren) im Secret Blogging Seminar
Stetigkeit in geometrischen Beweisen
Die Nützlichkeit topologischer Stetigkeitsargumente bei der Lösung geometrischer Probleme wird manchmal (zum Beispiel im sehr empfehlenswerten Buch von Boltjanskij-Efremowitsch) veranschaulicht mit dem Beweis, dass jede beliebige geschlossene Kurve durch ein Quadrat umschrieben werden kann: Zu jedem Winkel α findet man ein Rechteck, dessen erste Seite Neigungswinkel α hat und das die Kurve umschreibt. (Man nehme einfach ein sehr grosses Rechteck mit Neigungswinkel α, das gross genug ist um die Kurve im Inneren zu enthalten. Dann verschiebe man die Seiten durch Parallelverschiebung, bis sie die Kurve gerade berühren.) Sei A die Länge der ersten Seite, B die Länge der zweiten Seite. Falls A-B=0 ist, haben wir ein Quadrat. A und B hängen stetig vom Winkel α ab. (Das muss man strenggenommen eigentlich noch beweisen.) Nun erhalten wir für α=90odasselbe Rechteck wie für α=0o, wobei aber die Rolle von A und B vertauscht ist. Wenn also für α=0o A>B ist, dann ist für α=90o B>A (und umgekehrt). A-B ist also bei α=0o positiv und bei α=90o negativ, oder umgekehrt. Also muss A-B zwischendurch einmal den Wert 0 annehmen, wir bekommen also ein Quadrat.
Ein ähnliches Argument liefert im März 2020 einen von drei Beweisen, dass man in jedem spitzwinkligen Dreieck ein Quadrat findet:
Hilberts drittes Problem
Kann man Polygone gleichen Flächeninhalts oder Polyeder gleichen Volumens durch Schneiden und Kleben ineinander überführen? Für 2-dimensionale Polygone ist das elementar genug, dass man es vielleicht sogar mit Schülern machen kann und war schon früh im 19. Jahrhundert bekannt (Satz von Bolyai-Gerwien).
Carl Friedrich Gauß hatte seinerzeit bedauert, dass manche Sätze der Körpergeometrie (wie die Volumenformel für Pyramiden) von der Exhaustionsmethode abhängen, also in moderner Sprache von der Axiomatisierung der Stetigkeit. Der elementare Beweis der Scherenkongruenz flächengleicher Polygone warf die Frage auf, ob vielleicht auch ein elementarer Beweis für den Satz von Euklid – dass sich die Volumina von Pyramiden gleicher Höhe wie die Flächeninhalte ihrer Basisflächen verhalten – möglich sei. David Hilbert, der sich damals mit den Grundlagen der euklidischen Geometrie beschäftigte, glaubte das nicht und und so stellte er als eines seiner berühmten 23 Probleme auf dem Weltkongreß in Paris die Aufgabe, einen rigorosen Beweis für seine Unmöglichkeit (oder das Gegenteil) zu erbringen.
Das Problem wurde wenige Monate später von Max Dehn gelöst, der bewies, dass man einen regelmäßigen Tetraeder nicht durch Schneiden und Kleben in einen Würfel gleichen Volumens verwandeln kann. Den Unterschied zwischen Dimension 2 und 3 machen die diedrischen Innenwinkel an den Kanten aus. Dehn definierte eine aus den Kanten-Längen und -Winkeln gebildete Invariante, die dann zusammen mit dem Volumen tatsächlich entscheidet, ob zwei Polyeder scherenkongruent sind. In heutiger Sprache schreibt man Dehns Invariante als
Das alles wurde anschaulich erklärt von Daniel Litt in einem Numberphile-Video vom Juli 2019.
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