3Blue1Brown hat ein neues Video Group Theory and why I love 808,017,424,794,512,875,886,459,904,961,710,757,005,754,368,000,000,000 (unter Mithilfe von Richard Borcherds). Es geht um Gruppen und wo sie überall vorkommen in Algebra, Geometrie, Physik, um die Klassifikation endlicher Gruppen und schließlich um die Monster-Gruppe und die Mondschein-Vermutung.
Die Riemannsche Zetafunktion ist die analytische Fortsetzung der für Re(s)>1 durch definierten Funktion. Sie kodiert die Verteilung der Primzahlen: der Primzahlsatz folgt aus der für alle Nullstellen gültigen Ungleichung Re(s)
Bernhard Riemann hat die später nach ihm benannten Riemannschen Flächen 1851 in seiner Dissertation als natürliche Definitionsbereiche mehrwertiger holomorpher Funktionen eingeführt. Er veranschaulichte sie als verzweigte Überlagerungen über der projektiven Gerade CP1. In seiner Arbeit über abelsche Funktionen 1857 fragte er nach der birationalen Klassifikation komplexer Kurven – das ist äquivalent zur Klassifikation Riemannscher Flächen…
Die Laplace-Gleichung Δu=0 im R3 beschreibt in der Physik das elektrostatische Potential im ladungsfreien Raum. Die Lösungen dieser Gleichung (auf einem beliebigen Rn) heißen harmonische Funktionen. Die harmonischen Funktionen auf dem R2 sind in der Funktionentheorie von Bedeutung, etwa beim Beweis des Riemannschen Abbildungssatzes. Die Real- und Imaginärteile komplex differenzierbarer Funktionen sind harmonisch und umgekehrt…
Coronabedingt soll man heuer einen Mindestabstand von d=1,5 Metern einhalten. Für den Mathematiker wirft das die Frage auf, wie sich Menschen positionieren sollen, um unter dieser Vorgabe eine möglichst geringe Fläche zu verbrauchen. In einem Artikel vom 21. Juni hatte Andrés Navas diese Frage für eine Gruppe von 4 Personen diskutiert. Wenig überraschend ist das…
In der additiven Zahlentheorie will man zu einer Menge natürlicher Zahlen A und einer festen Anzahl s herausfinden, welche natürlichen Zahlen n sich als Summe von s Elementen aus A zerlegen lassen. Klassisches Beispiel ist die Goldbach-Vermutung: jede gerade Zahl n≠2 soll Summe zweier Primzahlen sein. Hier ist s=2 und die Menge der Primzahlen. (Aus…
Mannigfaltigkeiten sollen Räume sein, die lokal wie der Vektorraum Rn aussehen. Was exakt unter dem Konzept „Mannigfaltigkeit“ zu verstehen ist, wurde im 19. Jahrhundert zunächst von Riemann, später auch von Klein, Betti, Lipschitz, Dyck und anderen diskutiert. Bei Poincaré waren Mannigfaltigkeiten ursprünglich Untermannigfaltigkeiten im euklidischen Raum, später dann Simplizialkomplexe, womit er wohl implizit annahm, dass…
In einem abgeschlossenen Intervall [a,b] hat jede Folge eine konvergente Teilfolge. Das folgt aus dem Satz von Bolzano-Weierstraß und es war den Analytikern seit dem 19. Jahrhundert klar, dass das eine sehr nützliche Eigenschaft des abgeschlossenen Intervalls ist, und allgemeiner auch eine nützliche Eigenschaft abgeschlossener und beschränkter Teilmengen des Rn. Frechet hatte 1905 in seiner…
Viele Differentialgleichungen lassen sich mit dem Ansatz lösen, die gesuchte Funktion in Schwingungen (periodische Funktionen) unterschiedlicher Frequenz zu zerlegen. Diese Methode heißt Fourier-Analyse: man schreibt eine 2π-periodische Funktion F(x) als F(x)=f(eix), also als Funktion f:S1—->C, und entwickelt sie in eine Fourier-Reihe f(eix)= Σ aneinx (oder äquivalent in eine Reihe mit Summanden cos(nx) und sin(nx)). Die…
Mit statistischen Tests soll eine Nullhypothese H0 (etwa: ein Medikament wirkt nicht besser als ein Placebo) getestet werden. Man hat eine Menge X von möglichen Ereignissen, die durch den Test zerlegen werden soll in zwei Teilmengen: den Verwerfungsbereich A – wo die Nullhypothese abgelehnt wird – und dessen Komplement, wo die Nullhypothese als bestätigt gilt.…
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