Die Laplace-Gleichung Δu=0 im R3 beschreibt in der Physik das elektrostatische Potential im ladungsfreien Raum. Die Lösungen dieser Gleichung (auf einem beliebigen Rn) heißen harmonische Funktionen.
Die harmonischen Funktionen auf dem R2 sind in der Funktionentheorie von Bedeutung, etwa beim Beweis des Riemannschen Abbildungssatzes. Die Real- und Imaginärteile komplex differenzierbarer Funktionen sind harmonisch und umgekehrt ist jede harmonische Funktion der Realteil einer komplex differenzierbaren Funktion.
Nun weiß man aus der Funktionentheorie, dass komplex differenzierbare Funktionen nicht nur einmal, sondern unendlich oft differenzierbar und sogar analytisch (d.h. mit ihrer Taylor-Reihe übereinstimmend) sein müssen. Daraus folgt, dass auch harmonische Funktionen auf dem R2 analytisch sein müssen.
Allgemeiner läßt sich auch für harmonische Funktionen auf einem beliebigen Rn Analytizität beweisen. Obwohl die Gleichung Δu=0 eine Differentialgleichung zweiter Ordnung ist und ihre Lösungen zunächst nur zweimal differenzierbar sein müßten, sind ihre Lösungen also stets analytisch.

Einen ähnlichen Effekt hat man bei Minimalflächen, wo ebenfalls bereits im 19. Jahrhundert bekannt war, dass sie stets analytisch sind, obwohl sie nur durch eine Differentialgleichung zweiter Ordnung beschrieben werden.

Das führt zu der Frage, für welche allgemeinen Klassen von Differentialgleichungen solche Regularitätssätze bewiesen werden können.

Man unterscheidet Differentialgleichungen von elliptischem, parabolischem und hyperbolischem Typ. Partielle Differentialgleichungen haben je nach Typ sehr unterschiedliche Eigenschaften. Die Laplace-Gleichung ist von elliptischem Typ wie auch allgemein Differentialgleichungen \sum_{i,j}a_{ij}\frac{\partial^2f}{\partial x_i\partial x_j} mit det(a_{ij})>0 . In diesem Fall sind die Koeffizienten konstant, sie können aber auch beliebige Funktionen sein, wofür man dann analog einen Begriff von Elliptizität definiert. Die Laplace-Gleichung entspricht dem Fall, dass (a_{ij}) die Einheitsmatrix ist.
Motiviert durch die Laplace-Gleichung und die Minimalflächengleichung hatte Hilbert 1900 als neunzehntes seiner dreiundzwanzig Probleme die Vermutung aufgestellt, dass die Lösungen elliptischer partieller Differentialgleichungen (mit analytischen Koeffizienten) stets analytisch sein sollen.

Hilberts Problem wurde bereits 1903 von Sergei Bernstein (damals Doktorand in Göttingen, er promovierte dann 1904 an der Sorbonne und noch einmal 1913 in Charkow, weil ausländische Doktortitel dort nicht anerkannt wurden) gelöst unter der zusätzlichen Annahme, dass die dritten Ableitungen der Lösungen existieren und beschränkt sind.
Bernsteins Beweis nutzte Techniken für a-priori-Abschätzungen für Lösungen und ihre Ableitungen mittels Linearisierungen nichtlinearer Gleichungen in einer Umgebung der Lösung. Der Name “a-priori-Abschätzung” bezieht sich darauf, dass man a priori von Existenz und Glattheit der Lösung ausgeht um Abschätzungen für die zweiten und höheren Ableitungen von f in Abhängigkeit von Schranken für f und die ersten Ableitungen (sowie die Ableitungen der Koeffizienten) zu beweisen. Bernstein wandte seine Methoden dann auf die (quasilineare) Minimalflächengleichung an und bewies 1915, dass ein Funktionengraph im R3 nur dann eine Minimalfläche ist, wenn er eine Ebene, die Funktion also linear ist.

Die Gründe für die Bedeutung von a-priori-Abschätzungen wurden eigentlich erst mit den Arbeiten von Leray und Schauder verstanden: man kann Fixpunktsätze anwenden sobald man die richtigen a-priori-Abschätzungen hat.

Der 1930 bewiesene Fixpunktsatz von Schauder ist eine Verallgemeinerung des Brouwerschen Fixpunktsatzes auf unendlich-dimensionale Räume. Er besagt, dass für eine kompakte, konvexe Teilmenge C eines Banach-Raumes jeder stetige Operator T:C–>C einen Fixpunkt hat. Insbesondere kann man das auf kompakte Operatoren auf Banach-Räumen X anwenden, sobald das Bild C:=T(X) konvex ist.
Eine elementare Anwendung ist der Beweis des Satzes von Peano, dass eine gewöhnliche Differentialgleichung mit stetiger (nicht notwendig Lipschitz-stetiger) rechter Seite eine lokale Lösung hat. Man betrachtet den Operator T\colon x\to x(0)+\int_{0}^t f(s,x(s))ds und beweist, dass er stetig ist und kompaktes, konvexes Bild hat, es nach Schauder also einen Fixpunkt gibt. Dieser ist eine Lösung der Gleichung x^\prime(t)=f(t,x(t)). (Bei Lipschitz-stetiger rechter Seite wäre T eine Kontraktion, der Fixpunkt nach Banachs Fixpunktsatz also eindeutig. Im allgemeinen kann es mehrere Lösungen geben.)
Ein interessanteres Beispiel: für eine geeignete Funktion f auf einem Gebiet Ω sucht man Lösungen von \Delta u=f(u) mit der Randbedingung u=0 auf ∂Ω. Dafür betrachtet man auf L2(Ω) den Operator T(u)=Δ-1(f(u)). Franz Rellich hatte 1930 bewiesen, dass Folgen von Funktionen in L2 eine konvergente Teilfolge besitzen, wenn es gleichmäßige Schranken für die Funktion und ihre ersten Ableitungen gibt. (In heutiger Sprache: die Einbettung W1,2—>L2 ist kompakt.) Daraus und aus der Poincaré-Ungleichung kann man im Beispiel beweisen, dass T ein kompakter Operator ist und die Voraussetzungen des Schauderschen Fixpunktsatzes erfüllt. Der Fixpunkt ist die gesuchte Lösung.
Auf ähnliche Weise bekommt man auch Lösungen hochgradig nichtlinearer Gleichungen. Ein einfaches Beispiel sei die Differentialgleichung \frac{d^2u}{dx^2}=u-10sin(u^2)-10exp(-IxI), für die man eine im Unendlichen verschwindende Lösung sucht. Die kann man umschreiben mittels L(u):=(1-\frac{d^2}{dx^2})u=10sin(u^2)+10exp(-\vert x\vert) zu (L-1)(10sin(u^2)+10exp(-\vert x\vert))=u. Man kann L-1 explizit bestimmen und betrachtet es als Operator auf dem Banach-Raum C0 (den im Unendlichen verschwindenden Funktionen). Man kann zeigen, dass er dort ein stetiger Operator mit kompaktem, konvexem Bild ist, auf den sich Schauders Fixpunkktsatz anwenden läßt. Damit bekommt man Existenz einer Lösung mit der gegebenen Randbedingung, was anders schwer zu beweisen wäre.

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Kommentare (26)

  1. #1 Fluffy
    6. August 2020

    Wirklich interessant

    Aus dieser Gleichung folgt die Energiegleichung
    \frac{1}{2}\Vert u(t)\Vert_2^2+\nu \int_0^t\Vert \nabla u\Vert_2^2d\tau+\frac{1}{2}\Vert u(0)\Vert_2^2

    Dort könnte man vielleicht ein Gleichheitszeichen unterbringen?

  2. #2 Thilo
    7. August 2020

    Danke, das zweite Plus ist jetzt ein Gleichheitszeichen.

  3. #3 Beobachter
    9. August 2020

    Völlig OT, sorry, Thilo:

    ScienceBlogs scheint zur Werbeplattform zu verkommen, seit man hier mit “Konradin-Wissensecke”-Beiträgen geradezu überflutet wird.

    Der Tabak-Artikel war m. E. schon furchtbar, weil er Wichtiges einfach weggelassen hat.

    Und jetzt wird Corona-Krisen-aktuell auch noch für Nahrungsergänzungsmittel (!) und “Gesundheits-Produkte” geworben – passend platziert zwischen/nahe den vielen Gesundheits-Check-Beiträgen von JK (die m. E. auch immer kabarettreifer im negativen Sinne werden).
    Bei diesen Konradin-Artikeln steht nicht mal der Autor (namentlich) dabei, Hinweise “zum Weiterlesen” auf wissenschaftlich seriöse Arbeiten gibt es auch oft keine, kommentieren kann/soll/darf man nicht.

    Was hat das alles mit “Wissenschaft” zu tun ?!
    Oder gar mit “Wissenschaftskommunikation” ?!

  4. #4 Thilo
    9. August 2020

    Berechtigte Fragen, die ich leider nicht beantworten kann. Verfaßt werden die Beiträge meines Wissens von der Firma seo2b, jedenfalls ist das meine letzte (ca. 4 Monate alte) Information.

  5. #5 Beobachter
    9. August 2020

    Nachtrag:

    Aus dem aktuellen Konradin-Artikel:

    ” … Nahrungsergänzungsmittel fürs Immunsystem

    Zusätzlich zur ausgewogenen Ernährung können Nahrungsergänzungsmittel helfen das Immunsystem zu stärken. … ”

    Hier wird im Text zu einer Versandapotheke verlinkt:
    https://www.sanicare.de/c/erkaeltung-immunsystem
    (Man sehe sich das “tolle” Produktangebot an!)

    Wenn sowas bzw. so eine Vorgehensweise von den Usern und vor allem den vermeintlich “kritisch Denkenden” und Wissenschafts-affinen, oberschlauen Stammkommentatoren (bei JK, die ansonsten heftigst über NEMs herziehen) anstandslos geschluckt wird, dann kann es mit deren Kritikfähigkeit und Wissenschaftsverständnis nicht weit her sein.
    Um es noch sehr zurückhaltend zu formulieren …

    Dass einem sowas und nun offenbar auch ständig bei ScienceBlogs (!) auf`s Auge gedrückt wird bzw. werden soll, ist schon ein starkes Stück.
    Ich kann nur hoffen, dass noch mehr Fragen und Beschwerden zur Sache kommen – und die User das nicht hinnehmen und ggf.die nötigen Konsequenzen ziehen.

    “Zum Weiterlesen”:

    https://www.seo2b.de/management.html

  6. #7 Beobachter
    9. August 2020

    @ Thilo, # 6:

    Ja, das weiß ich.
    Offenbar hat JKs Artikel zum Konradin-Tabak-Artikel dessen Verfasser in keiner Weise “beeindruckt” bzw. zu einer stellungnehmenden Äußerung veranlasst.
    Im Gegenteil: Man macht (noch) ungeniert(er) weiter.

    Und es ändert nichts an der Tatsache dieses neuerlichen Konradin-NEM/Pharma/Gesundheits-Artikels mit seinem/n frag- und kritikwürdigen Inhalt/Methoden.

    Es ist erstaunlich bis erschreckend, dass es bisher noch niemandem (sonst) aufgefallen ist oder auffallen will – das wäre umso schlimmer, weil man auf einem Auge blind wäre.
    Hält man die Klappe, weil man nicht “geschäftsschädigend” (Zitat, siehe Tabak-Thread) wirken/sein will?!
    Für wessen Geschäft?

    Oder ist das schon die neue “Normalität” in der Wissenschaft bzw. im Wissenschaftsbetrieb?!
    An die man sich womöglich gewöhnen soll?
    Warum beklagt man dann des öfteren den zunehmenden Vertrauensverlust bzgl. der/des Wissenschaft(sbetriebs)?!
    Wundert das irgendwen?!

  7. #8 rolak
    9. August 2020

    Neulich beim Fleischer:

    Besucher: In der Apoheke gegenüber gibt es die ‘Apotheken Umschau’, da ist fast nur Werbung drin!
    Fleischerin: Und was wollen Sie damit sagen?
    B: Die habe ich noch nie gelesen und die will ich auch nicht lesen!
    F: Und warum kommen Sie damit zu mir?
    B: Weil nebenan beim Gemüsehändler schon immer Brauen gehoben und gekichert wird, wenn ich hilfreich darauf hinweise. So nicht!

    So liest sich (abgesehen von den epischen Textvolumina und eingepflegten Unverschämtheiten) Beobachters Lamento, hier hereingepresst, obwohl es weitaus bessere Zielgebiete gibt. Und warum hier? Weil es B gerade danach war; weil sich Andere diese Tiraden verwehren.

  8. #9 Thilo
    9. August 2020

    Nun ja, das Problem ist halt schon, dass in der Wissensecke eine Diskussion nicht möglich ist und das offensichtlich so gewollt wird. Insofern hinkt der Vergleich mit der Apotheke.

  9. #10 rolak
    9. August 2020

    hinkt

    Ja selbstverständlich hinkt der Vergleich, Thilo, weil eine 1:1-Übersetzung kaum möglich ist, mir auf die Schnelle auch kein anderer Laden mit ausgelegter DauerWerbeBroschüre einfiel. Allerdings kann auch in der Apotheke jedwede Diskussion über ausliegende Werbung und Quacksalbereien verwehrt werden (insbesondere vor zusätzlichem Publikum) bis hin zum Hausverbot und besucherseits der Kontakt zum übergeordneten Apothekenverband angeraten sein. Die hiesige Apotheke wurde von vorneherein als “kein Blog im traditionellen Sinn, und gewiss kein Wissenschaftsblog im Sinn von ScienceBlogs.de” und ‘kommentarlos’ ausgewiesen und eine der übergeordneten AnlaufStellen (neben der Redaktion) ist eben von mir verlinkt worden. So kurze Strecken gehen auch hinkend.
    Die Artikel müssen nicht gelesen werden, sie müssen darüber hinaus nicht einmal des nichtBlogs eigenen Ansprüchen genügen. Gegen unerwünschte WerbeEinblendungen kann leser*seits mit entsprechenden Blockern vorgegangen werden, unerwünschte Kommentare und Artikel können auch ignoriert werden.

  10. #11 Beobachter
    9. August 2020

    @ rolak:

    Dein Vergleich hinkt nicht nur, er ist schlicht und einfach dumm und lenkt vom Sachverhalt ab.
    Außerdem sagt dein Kommentar inhaltlich nicht das Geringste zur Sache – die auch KEIN “technisches Problem” ist.

    Offenbar steht es mit deinem/eurem sog. “Wissenschaftsverständnis” noch schlimmer als ich gedacht hatte.
    Und ihr schluckt so ziemlich alles, wenn es nur von der vermeintlich “richtigen Seite”, aus den eigenen Reihen, kommt.
    “Die Bösen”, die zu Kritisierenden, sind immer nur “die anderen”, und wenn euch gar nichts mehr einfällt, sind immer noch die Homöopathen als Lieblingsfeinde da, auf die man sich jederzeit in eingespielter Manier und zur eigenen Freizeit-Belustigung stürzen kann.

    Nun denn, ich wünsche euch weiterhin ein schönes, geselliges Beisammensein … !
    Aber lasst es unter einem anderen Etikett laufen.

  11. #12 Beobachter
    9. August 2020

    @ rolak:

    Immerhin, einer aus eurer Gruppe hat`s nun doch bemerkt:

    https://scienceblogs.de/gesundheits-check/2020/08/09/coronakrise-die-wahre-wahrheit-gibt-es-nur-bei-alternativen-fachleuten/#comment-99369

    # 6:

    ” … In der beliebten Kategorie “Halbwahr muss reichen” greift der Konradin Content Manager nebenan schon wieder voll ins Klo (“Immunsystem stärken”).
    … ”

    Schön gesagt 🙂 – besonders: “Halbwahr muss reichen” !

    Auch bei ScienceBlogs und dort in der “Wissens-Ecke” ?!

  12. #13 Thilo
    9. August 2020

    Schaun wir mal ob als nächstes ein Beitrag über Homöopathika kommt. Dann wachen vielleicht ein paar mehr Leute auf.

  13. #14 Beobachter
    10. August 2020

    @ Thilo, # 13:

    Man befindet sich derzeit im Tiefschlaf bzw. will einfach nicht sehen/zur Kenntnis nehmen und sich auch nicht darüber äußern/beschweren, was in der Konradin-“Wissens-Ecke” ganz offensichtlich passiert und schiefläuft.
    Und macht somit den gleichen Fehler, den man der “Gegenseite”, “den anderen”, ständig vorwirft.
    Man selber ist keinen Deut besser … – und das mit wissenschaftlichem Anspruch und Etikett !

    Danke, dass es hier möglich war, den Sachverhalt anzusprechen und zu benennen.

    Es geht um`s Geschäft, das Profitieren in der Krise, und “Kollateralschäden” sind eingeplant:

    “Zum Weiterlesen”:

    https://www.seo2b.de/seo-chancen-in-der-corona-krise.html

    unter “Fazit”:

    ” … Die Wirtschaft war vor der Corona-Krise so stark wie seit langem nicht mehr. Sobald die Menschen wieder zurück an ihre Arbeitsplätze kommen, explodiert die Wirtschaft wieder nach oben. Daran haben wir keinen Zweifel. Selbstverständlich wird es einiges an Kollateralschaden geben. Doch im Gesamten wird die Krise auch zur Stärkung der eigenen Position beitragen.

    Wenn die aktuellen Potentiale genutzt werden.”

  14. #15 Fluffy
    10. August 2020

    @#8
    &#128077
    Im Sumpf schlägt der Stein keine Wellen

  15. #16 Fluffy
    10. August 2020

    @#8
    👍
    Im Sumpf schlägt der Stein keine Wellen

  16. #18 Beobachter
    10. August 2020

    @ Thilo, # 17:

    Bei JK will/kann/darf ich nicht mehr kommentieren – aus diversen Gründen, die hier nichts zur Sache tun.
    Deshalb hier weiter …

    NEMs sind i. d. R. völlig überflüssig, wenn man sich vernünftig, gesund und abwechslungsreich ernährt:

    Z. B.:
    https://www.klartext-nahrungsergaenzung.de/wissen/projekt-klartext-nem/besser-als-pillen-essen-sie-gesund-und-bunt-29248

    Mit NEMS wird großes Schindluder getrieben, z. T. sind NEM-Präparate gesundheitsschädlich (wie z. B. hochdosierte Detox-Algenpräparate zur “Entgiftung”) – besonders in der “Alternativmedizin” und auch im Wellness- und Lifestyle-Bereich, zur Selbstoptimierung und zur “Prävention” (wie “Stärkung des Immunsystem”).
    Man soll/will sich mit teuren Präparaten “etwas Gutes tun” – besonders zu Corona-Krisenzeiten:

    Z. B.:
    https://www.klartext-nahrungsergaenzung.de/wissen/projekt-klartext-nem/verbraucherwarnungen-21536

    Auch im reichen Deutschland gibt es große Personengruppen, die arm sind und die es sich deshalb kaum leisten können, sich gesund und abwechslungsreich zu ernähren und bei denen Mangelernährung zu befürchten ist (gerade in der Corona-Krise und gestiegenen Lebensmittelpreisen):

    Z. B.:
    https://taz.de/Foodwatch-warnt-vor-Mangelernaehrung/!5682284/

    Diesen Bevölkerungsgruppen würde z. B. ein höherer Hartz-IV-Regelsatz, der eine gesunde Ernährung ermöglicht und so das Immunsystem stärkt, mit Sicherheit mehr nützen/helfen als fragwürdige “wissenschaftliche” Werbe-Artikel für Nahrungsergänzungsmittel… !

  17. #19 Beobachter
    10. August 2020

    @ JK:

    Für mich (und auch für hoffentlich viele andere Leute mit wachem Verstand) ist “die Marke ScjenceBlogs (schon) beschädigt” – die Gründe sind bekannt und offensichtlich.

  18. #20 Thilo
    10. August 2020

    Das Problem ist nur, dass dieser Artikel (und die Kommentare) nur von Leuten gelesen werden, die sich für partielle Differentialgleichungen interessieren. Mich stören die Kommentare nicht, aber JK und andere potentielle Interessenten werden hier nicht mitlesen. Falls Du bei Gesundheits-Check nicht kommentieren willst, wären Geograffitico oder bei Medizinthemen auch Plazeboalarm mögliche Alternativen, wo wahrscheinlich mehr Interessierte mitdiskutieren werden.

  19. #21 Beobachter
    10. August 2020

    @ Thilo:

    Erfahrungsgemäß spricht es sich bei den “meinungsstarken Stamm(tisch)kommentatoren” sehr schnell herum, wenn ich in einem SB-Blog (auch hier) kommentiere und ist ebenso schnell da, um mich “zurechtzuweisen” bzw. möglichst abzuwürgen.

    In diesem Fall scheint man sich entschlossen zu haben, den “Wissensecke”-NEM-Werbeartikel-Anlass möglichst zu übergehen und Diskussionen darüber möglichst zu vermeiden.

    Man scheint es tatsächlich schlucken zu wollen –
    selbst nach dem “vergesslichen” “Wissensecke”-Tabak-Artikel.
    Das lässt tief blicken …. !

    Mit tut es nur leid um eventuelle neue, vielleicht etwas unbedarfte Leser, die wirklich wissenschaftlich interessiert sind, sich (hier) bei seriösen Quellen informieren wollen und solche Artikel für bare Münze bzw. ernst nehmen, weil sie ja bei ScienceBlogs, unter “Wissensecke” stehen … !

  20. #22 Beobachter
    11. August 2020

    Anmerkung:

    Besonders in Corona-Zeiten:
    Das Geschäft mit Nahrungsergänzungsmittel boomt:

    https://www.handelsblatt.com/unternehmen/handel-konsumgueter/corona-pandemie-wie-nahrungsergaenzungsmittel-in-zeiten-von-corona-boomen/25724262.html

    ” … Ob es nun um Spurenelemente, Vitamine, pflanzliche Heilmittel oder Präparate für orthomolekulare Ernährung geht: Es stört die Kunden offenbar nicht, dass der Nutzen mancher Mittel zumindest umstritten ist. Und so hat das Bundeslandwirtschaftsministerium bereits vor irreführenden Versprechungen gewarnt, dass Nahrungsergänzungsmittel einer Infektion mit dem Coronavirus vorbeugen sollen. … “

  21. #23 Beobachter
    11. August 2020

    Sorry, Thilo … – nur kurz:

    Heute folgt in der “Wissensecke” ein völlig kritikloses, ausgewähltes Loblied auf unsere industrielle Entwicklung und unseren technologischen Fortschritt, auch in Zukunft – in eingängigster Sprache.
    Der Link zur Gefährdung von Arbeitsplätzen führt in`s Leere.
    “Kollateralschäden” wie z. B. Umweltverschmutzung/-zerstörung, exzessive Ressourcenausbeutung, Klimawandel, Kolonialismus werden “vergessen”.
    Ökonomische und gesellschaftliche Strukturen/Bedingtheiten/Wandlungen gab/gibt es offenbar keine, Profiteure und Verlierer gab/gibt es auch keine.

    Wieder kein Autor, nichts (“Wissenschaftliches”) “zum Weiterlesen”.

    Es ist m. E. nur noch peinlich (auch für die wenigen guten, noch aktiven SB-Blogger) –
    und weder SCIENCE noch BLOGS … !

  22. #24 Thilo
    11. August 2020

    Das sind natürlich Meinungen, die man vertreten darf, auch wenn ich nicht weiß, worin der Sinn liegt, solche Artikel ohne Autorenangabe zu veröffentlichen.

  23. #25 Thilo
    11. August 2020

    Der nicht mehr funktionierende Link zu https://www.bcg.com/Images/27Nov_Report_Arbeitswelt4.0_tcm108-178261.pdf#page=6 ist mir auch aufgefallen. Anscheinend ist der Artikel schon vor einiger Zeit geschrieben worden (als der Link noch funktionierte) und wurde erst jetzt online gestellt.

  24. #26 Beobachter
    12. August 2020

    @ Thilo, # 24:

    Ja, natürlich darf man solche Meinungen vertreten –
    und der Sinn der Veröffentlichung solcher Artikel wird wohl darin liegen, ganz allgemein Industrie-, Wirtschafts- und Technologie-Unternehmen in (ausschließlich) bestem Lichte und als Segen für die gesamte Menschheit dastehen zu lassen (wg.”Fortschritt, Wirtschaftswachstum, Innovation” usw.).

    Nur sollte man diese Konradin-Verlags- oder Firma seo2b- Meinung nicht als “Wissen”/”Wissenschaft” bezeichnen bzw. darunter laufen lassen.

    Wenn ich anno dazumal in der Oberstufe jemals einen solchen Aufsatz zum besagten Thema “Entwicklung der Industrie – Vergangenheit, Gegenwart und Zukunft” abgeliefert hätte, hätte ich ihn mit einer miesen Note und Anmerkungen wie:
    Thema nur im Ansatz und einseitig erfasst –
    fehlender gesellschaftlicher und sozialer Bezug –
    sprachlich etwas flach –
    von meinem Deutsch-Lehrer zurückbekommen.
    Und zwar völlig zu Recht.
    🙂