Theorema Magnum MCMXXXVIII: der Sobolewsche Einbettungssatz

Die Laplace-Gleichung Δu=0 im R³ beschreibt in der Physik das elektrostatische Potential im ladungsfreien Raum. Die Lösungen dieser Gleichung (auf einem beliebigen Rⁿ) heißen harmonische Funktionen.
Die harmonischen Funktionen auf dem R² sind in der Funktionentheorie von Bedeutung, etwa beim Beweis des Riemannschen Abbildungssatzes. Die Real- und Imaginärteile komplex differenzierbarer Funktionen sind harmonisch und umgekehrt ist jede harmonische Funktion der Realteil einer komplex differenzierbaren Funktion.
Nun weiß man aus der Funktionentheorie, dass komplex differenzierbare Funktionen nicht nur einmal, sondern unendlich oft differenzierbar und sogar analytisch (d.h. mit ihrer Taylor-Reihe übereinstimmend) sein müssen. Daraus folgt, dass auch harmonische Funktionen auf dem R² analytisch sein müssen.
Allgemeiner läßt sich auch für harmonische Funktionen auf einem beliebigen Rⁿ Analytizität beweisen. Obwohl die Gleichung Δu=0 eine Differentialgleichung zweiter Ordnung ist und ihre Lösungen zunächst nur zweimal differenzierbar sein müßten, sind ihre Lösungen also stets analytisch.

Einen ähnlichen Effekt hat man bei Minimalflächen, wo ebenfalls bereits im 19. Jahrhundert bekannt war, dass sie stets analytisch sind, obwohl sie nur durch eine Differentialgleichung zweiter Ordnung beschrieben werden.

Das führt zu der Frage, für welche allgemeinen Klassen von Differentialgleichungen solche Regularitätssätze bewiesen werden können.

Man unterscheidet Differentialgleichungen von elliptischem, parabolischem und hyperbolischem Typ. Partielle Differentialgleichungen haben je nach Typ sehr unterschiedliche Eigenschaften. Die Laplace-Gleichung ist von elliptischem Typ wie auch allgemein Differentialgleichungen mit . In diesem Fall sind die Koeffizienten konstant, sie können aber auch beliebige Funktionen sein, wofür man dann analog einen Begriff von Elliptizität definiert. Die Laplace-Gleichung entspricht dem Fall, dass die Einheitsmatrix ist.
Motiviert durch die Laplace-Gleichung und die Minimalflächengleichung hatte Hilbert 1900 als neunzehntes seiner dreiundzwanzig Probleme die Vermutung aufgestellt, dass die Lösungen elliptischer partieller Differentialgleichungen (mit analytischen Koeffizienten) stets analytisch sein sollen.

Hilberts Problem wurde bereits 1903 von Sergei Bernstein (damals Doktorand in Göttingen, er promovierte dann 1904 an der Sorbonne und noch einmal 1913 in Charkow, weil ausländische Doktortitel dort nicht anerkannt wurden) gelöst unter der zusätzlichen Annahme, dass die dritten Ableitungen der Lösungen existieren und beschränkt sind.
Bernsteins Beweis nutzte Techniken für a-priori-Abschätzungen für Lösungen und ihre Ableitungen mittels Linearisierungen nichtlinearer Gleichungen in einer Umgebung der Lösung. Der Name “a-priori-Abschätzung” bezieht sich darauf, dass man a priori von Existenz und Glattheit der Lösung ausgeht um Abschätzungen für die zweiten und höheren Ableitungen von f in Abhängigkeit von Schranken für f und die ersten Ableitungen (sowie die Ableitungen der Koeffizienten) zu beweisen. Bernstein wandte seine Methoden dann auf die (quasilineare) Minimalflächengleichung an und bewies 1915, dass ein Funktionengraph im R³ nur dann eine Minimalfläche ist, wenn er eine Ebene, die Funktion also linear ist.

Die Gründe für die Bedeutung von a-priori-Abschätzungen wurden eigentlich erst mit den Arbeiten von Leray und Schauder verstanden: man kann Fixpunktsätze anwenden sobald man die richtigen a-priori-Abschätzungen hat.

Der 1930 bewiesene Fixpunktsatz von Schauder ist eine Verallgemeinerung des Brouwerschen Fixpunktsatzes auf unendlich-dimensionale Räume. Er besagt, dass für eine kompakte, konvexe Teilmenge C eines Banach-Raumes jeder stetige Operator T:C–>C einen Fixpunkt hat. Insbesondere kann man das auf kompakte Operatoren auf Banach-Räumen X anwenden, sobald das Bild C:=T(X) konvex ist.
Eine elementare Anwendung ist der Beweis des Satzes von Peano, dass eine gewöhnliche Differentialgleichung mit stetiger (nicht notwendig Lipschitz-stetiger) rechter Seite eine lokale Lösung hat. Man betrachtet den Operator und beweist, dass er stetig ist und kompaktes, konvexes Bild hat, es nach Schauder also einen Fixpunkt gibt. Dieser ist eine Lösung der Gleichung . (Bei Lipschitz-stetiger rechter Seite wäre T eine Kontraktion, der Fixpunkt nach Banachs Fixpunktsatz also eindeutig. Im allgemeinen kann es mehrere Lösungen geben.)
Ein interessanteres Beispiel: für eine geeignete Funktion f auf einem Gebiet Ω sucht man Lösungen von mit der Randbedingung u=0 auf ∂Ω. Dafür betrachtet man auf L²(Ω) den Operator T(u)=Δ^-1(f(u)). Franz Rellich hatte 1930 bewiesen, dass Folgen von Funktionen in L² eine konvergente Teilfolge besitzen, wenn es gleichmäßige Schranken für die Funktion und ihre ersten Ableitungen gibt. (In heutiger Sprache: die Einbettung W^1,2—>L² ist kompakt.) Daraus und aus der Poincaré-Ungleichung kann man im Beispiel beweisen, dass T ein kompakter Operator ist und die Voraussetzungen des Schauderschen Fixpunktsatzes erfüllt. Der Fixpunkt ist die gesuchte Lösung.
Auf ähnliche Weise bekommt man auch Lösungen hochgradig nichtlinearer Gleichungen. Ein einfaches Beispiel sei die Differentialgleichung , für die man eine im Unendlichen verschwindende Lösung sucht. Die kann man umschreiben mittels zu . Man kann L-1 explizit bestimmen und betrachtet es als Operator auf dem Banach-Raum C₀ (den im Unendlichen verschwindenden Funktionen). Man kann zeigen, dass er dort ein stetiger Operator mit kompaktem, konvexem Bild ist, auf den sich Schauders Fixpunkktsatz anwenden läßt. Damit bekommt man Existenz einer Lösung mit der gegebenen Randbedingung, was anders schwer zu beweisen wäre.

Schauder, damals Gymnasiallehrer in Lviv, hatte dank eines Stipendiums mit Lichtenbaum in Leipzig und mit Leray an der Sorbonne zusammenarbeiten können. Mit Leray definierte er 1933 einen Abbildungsgrad für Operatoren der Form Id+K:M—>Y mit K kompakt. Ihre Definition hängt von zunächst von einem Punkt y in Y ab und sie nahmen an, dass es keine Urbilder von Id+K für y auf dem Rand von M gäbe; nur unter dieser Bedingung ist der Abbildungsgrad deformationsinvariant. Diese Annahme sollte gerechtfertigt werden, indem sie mit a-priori-Abschätzungen erreichten, dass alle Bildpunkte in einer Kugel (und nicht auf dem Rand) liegen – dann kann man Fixpunktsätze anwenden.
Ist der Abbildungsgrad nicht Null, folgt aus der Deformationsinvarianz (letztlich also aus den a-priori-Abschätzungen) die Lösbarkeit für jede rechte Seite y. Damit bewiesen sie Existenzsätze für quasilineare Gleichungen 2. Ordnung in der Ebene.
Für lineare, gleichmäßig elliptische Gleichungen bewies Schauder a-priori-Abschätzungen in Abhängigkeit der Hölder-Normen der Koeffizienten. Eine Anwendung auf nichtlineare Gleichungen gelang erstmals 1938 Morrey.

Neben der Theorie der Minimalflächen, wo Radó und Douglas 1930 erstmals allgemeine Existenzsätze bewiesen, blieb die Leray-Schauder-Theorie noch für lange Zeit die einzige entwickelte Theorie für partielle Differentialgleichungen.

Ein weiteres der Hilbertschen Probleme hatte nach der Existenz von Lösungen von Randwertproblemen gefragt. Klassisches Beispiel ist das Dirichlet-Problem Δu=0 auf D² mit vorgegebenen Randwerten f. Die Lösung dieses Problem ist äquivalent dazu, das Integral unter den Funktionen mit vorgegebenen Randwerten zu minimieren. Es ist zunächst nicht klar, dass eine solche minimierende Funktion existiert. Man hat aber den Ansatz, eine Folge u_k zu betrachten, für die I(u_k) gegen das (wegen der Positivität des Integrals existierende) Infimum inf_uI(u) konvergiert und man kann versuchen, mit einem Kompaktheitsargument die Konvergenz zu beweisen. Eugenio Elia Levi – damals einer der hoffnungsvollsten italienischen Mathematiker, dann aber im ersten Krieg gefallen – hatte 1907 gezeigt, dass die minimierende Folge in der Vervollständigung des Funktionenraums konvergiert, also gegen eine verallgemeinerte Funktion. (Bernstein hatte mit seinen Methoden 1913 auch dieses Hilbert-Problem für eine größere Klasse von elliptischen Randwertproblemen gelöst.)

Als großer Durchbruch und ihrer Zeit lange voraus galt die 1934 in Acta Mathematica veröffentlichte Arbeit „Sur le mouvement d’un liquide visqueux emplissant l’espace“. Jean Leray fand dort schwache Lösungen für die Navier-Stokes-Gleichungen, die die Strömung von linear-viskosen Flüssigkeiten oder Gasen beschreiben. Angeblich soll er durch die Beobachtung von Strudeln und Wirbeln der Seine an den Pfeilern des Pont Neuf zur Suche nach nichtglatten Lösungen der die Strömung linear-viskoser Flüssigkeiten beschreibenden Navier-Stokes-Gleichungen für die Geschwindigkeit u und den Druck p inkompressibler Flüssigkeiten motiviert worden sein. Bis dahin hatte man Lösungen nur für spezielle Geometrien (oder kleine Zeitintervallen) gefunden, aber keine globalen Lösungen auf dem R³. Klassische Techniken wie das (bei der Poisson-Gleichung Δu=f oder der Wärmeleitungsgleichung nützliche) Maximumprinzip greifen hier nicht, beispielsweise wird in engen Röhren das Maximum von u in der Verengung und nicht auf dem Rand angenommen.
Eine schwache Lösung der Navier-Stokes-Gleichungen ist eine L²-Funktion, deren schwache Ableitung (im Sinne der später von Schwartz definierten Distributionen) wieder L² ist und die die schwache Version der Gleichungen erfüllt, also

für alle -Funktionen mit kompaktem Träger und verschwindender Divergenz. (Für differenzierbare f läßt sich diese schwächere Gleichung mittels partieller Integration aus der anderen herleiten.) Aus dieser Gleichung folgt die Energiegleichung und daraus wiederum, dass die Summanden auf der linken Seite (die kinetische Energie und die Dissipationsenergie) für alle Zeiten beschränkt bleiben. Die Energiegleichung wurde zum entscheidenden Argument für die Konstruktion globaler schwacher Lösungen.
Leray dachte sich diese schwachen Lösungen als Fortsetzung der glatten Lösung über die Singularitäten hinaus und bezeichnete sie als “turbulente Lösungen”: ihre Singularitäten sollten die Turbulenz beschreiben.

Schwache Lösungen waren schon früher betrachtet worden, das Konzept des Funktionals ging auf Hadamard zurück. Sergei Sobolew war dann aber der erste, der in seinen Arbeiten über hyperbolische Differentialgleichungen dieses Konzept ausarbeitete und systematisch anwandte.

Aus der Hölder-Ungleichung folgt, dass für 1/p+1/q=1 der Raum der L^q-Funktionen das Dual des Raums der L^p-Funktionen ist, wobei die Dualität durch Integration des in L¹ liegenden Produktes realisiert wird. Man betrachte nun nur Funktionen mit kompaktem Träger, die also im Unendlichen verschwinden. (Für solche Funktionen folgt aus Differenzierbarkeit automatisch die L^q-Bedingung.) Wenn die Funktionen f aus L^p und g aus L^q differenzierbar wären, hätte man durch partielle Integration die Identität . Daraus ergibt sich dann die Idee, auch für nicht-differenzierbare L^p-Funktionen f ihre Ableitung durch diese Identität zu definieren, wobei man g nun alle differenzierbaren Funktionen mit kompaktem Träger (die dann ja automatisch L^q sind) durchlaufen läßt. Für eine Differentialgleichung sucht man dann nur nach schwachen Lösungen, also nach L^p-Funktionen, die in diesem Sinne differenzierbar sind und die in diesem Sinne (also im Dualraum von L^q) die Differentialgleichung lösen.

Die Crux dieses Ansatzes ist, dass man auf diese Weise häufig nicht nur schwache, sondern auch “echte” Lösungen der Differentialgleichung bekommt. Sobolew bewies nämlich mittels Normabschätzungen einen Einbettungssatz: sobald (für die Dimension d des zugrundeliegenden Raumes) die Ungleichung k-d/p > m gilt, hat man eine stetige Einbettung des Raums W^k,p der k-fach differenzierbaren L^p-Funktionen (mit der naheliegenden Norm, in der er dann die Vervollständigung des Raums der unendlich oft differenzierbaren Funktionen ist) in den Raum der C^m-Funktionen. Mit anderen Worten: jede im obigen Sinne k-fach differenzierbare L^p-Funktion ist eine C^m-Funktion, also m-mal “echt” differenzierbar.

Um eine Differentialgleichung m-ter Ordnung mit m-fach differenzierbaren Funktionen zu lösen, mußte man also nur k groß genug wählen – so dass k-d/p>m – und dann die entsprechende Differentialgleichung für k-fach differenzierbare L^p-Funktionen lösen. Der neue Ansatz demzufolge: finde schwache Lösungen einer Differentialgleichung und beweise anschließend ihre Regularität. Weiter hat man nach dem Satz von Rellich-Kondrachov für passende p,q kompakte Einbettungen von W^1,p in L^q (der klassische Fall bei Rellich war p=q=2), was nützlich sein kann, um mit dem Schauderschen Fixpunktsatz Lösungen von Differentialgleichungen zu bekommen.

Wenn man beispielsweise nach (zweimal differenzierbaren) Lösungen von Δu=0 sucht, dann verschwindet einerseits das Integral von grad(u).grad(φ), was aber immer noch u einmal differenzerbar voraussetzt, und aber auch das Integral von u.Δφ, was für jede L²-Funktion u Sinn macht. Ein zu dieser Zeit von Hermann Weyl bewiesenes Lemma für die Gleichung Δu=0 zeigt, dass selbst diese schwächstmögliche Formulierung noch klassische Lösungen liefert.
(Später fand man heraus, dass man für elliptische Operatoren D oft eine Ungleichung der Form beweisen kann. Für Lösungen von Df=0 hat man also aus der Endlichkeit der W^2,k-Norm automatisch auch die Endlichkeit der W^2,k+1-Norm. Die L²-Lösungen gehören also zu allen W^2,k (man spricht von “bootstrapping”, sich selbst an den Schuhen hochziehen) und mit dem Sobolewschen Einbettungssatz bekommt man die C^∞-Eigenschaft der Lösungen elliptischer Gleichungen. Das wurde aber erst in den 50er Jahren von Lars Gårding bewiesen.)

Mit Sobolews Ansatz bekam man im Prinzip beliebig gute Differenzierbarkeitsresultate, aber keine Analytizität. Hilberts ursprüngliches Problem über Analytizität der Lösungen elliptischer partieller Differentialgleichungen war im Laufe der Jahre in verschiedener Hinsicht verallgemeinert worden. Einen gewissen Höhepunkt erreichten diese Verallgemeinerungen dann mit der Arbeit von Morrey, der einen allgemeinen Regularitätssatz für quasi-lineare elliptische partielle Differentialgleichungen bewies. Dabei führte er ähnliche Funktionenräume wie Sobolew ein.

Sobolews Arbeiten brachten ihm in der Sowjetunion große Anerkennung. Nachdem er schon mit 27 Jahren die Abteilung für Differentialgleichungen am Steklow-Institut geleitet hatte, wurde er mit 31 Jahren Vollmitglied der Akademie und blieb dort viele Jahre das jüngste Mitglied. Nach Kriegsausbruch wurde er dann bis zum Kriegsende Direktor des Instituts und war in dieser Zeit in das Atombombenprojekt eingebunden. Als einer der ersten sah er die Bedeutung des Wissenschaftlichen Rechnens und der Kybernetik voraus. Dabei formulierte er deren Probleme aber stets im Rahmen der theoretischen Mathematik: “Die numerische Mathematik ohne Banach-Räume zu begreifen ist ebenso unmöglich wie sie ohne Rechenmaschinen zu begreifen.” In der Grundlagenforschung war er aber während des Krieges und in den Jahren danach nicht aktiv, seine Arbeiten blieben im Westen unbekannt.

In den 40er Jahren arbeitete Laurent Schwartz in Frankreich die Theorie der “Distributionen” (verallgemeinerten Funktionen) aus, nicht wissend, dass diese bereits in der Sowjetunion von Sobolew entwickelt worden war. Seine Theorie – die wie bei Sobolew verallgemeinerte Funktionen als Elemente im Dualraum der “Testfunktionen” (unendlich oft differenzierbarer Funktionen mit kompaktem Träger) ansah – betonte im Stil Bourbakis sehr viel mehr die strukturellen Aspekte und systematisierte damit auch andere frühere Ansätze. Physiker beispielsweise hatten häufig mit einer Dirac-Funktion gerechnet, die in einem Punkt x₀ unendlich groß und sonst überall Null ist. Er formalisierte das als verallgemeinerte Funktion δ, die jeder Testfunktion f den Wert f(x₀) zuordnet. Das wurde dann nützlich für die Konstruktion von Fundamentallösungen zu partiellen Differentialgleichungen.
Leser seiner Arbeit waren beeindruckt, wie harmonisch der gesamte Kalkül zusammenpaßte. Beispielsweise konnte er für eine Teilmenge seiner Distributionen eine Transformation definieren, die im klassische Fall der Zerlegung einer Funktion in die Koeffizienten trigonometrischer Polynome entsprach, und unter der die (analog zur Faltung von Funktionen definierte) Faltung von Distributionen gerade der Multiplikation von Funktionen entsprach. Eine der zahlreichen Anwendungen (neben der Lösbarkeit von Differentialgleichungen) war etwa, dass sich Hadamards Begriff des endlichen Anteils eines divergenten Integrals jetzt sehr viel natürlicher formulieren ließ.

Bild: https://www.math.nsc.ru/conference/sobolev/100/english/Sobolev_SL_2.jpg