Symmetrische Muster auf Sphären (aka Ostereier).

Nach dem es in den letzten beiden Wochen um euklidische Pflasterungen in der Alhambra und hyperbolische Pflasterungen in den Bildern M. C. Eschers ging, sind heute sphärische Pflasterungen dran. Eigentlich hatte ich passend zum Datum vorgehabt, sphärische Pflasterungen anhand von Mustern auf Ostereiern zu veranschaulichen. Leider läßt sich dieses Vorhaben so nicht umsetzen: ich habe im Netz keine wirklich schönen Bilder von Ostereiern mit interessanten Symmetrien gefunden. Alles, was man an Bildern mit symmetrischen Mustern findet, sind Beispiele von sogenannten zyklischen Symmetriegruppen (die man auch noch selbst ausmalen muß):

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Quelle: http://www.manu-baeren.de/wincolor/Ostern/

Die Symmetrien im Bild oben sind die Drehungen um die z-Achse um Vielfache von 45o. Die Symmetriegruppe hat 8 Elemente und ist isomorph zu Z/8Z, der Gruppe der Restklassen modulo 8. (Die Drehung um 45o entspricht der Restklasse 1, die Drehung um 90o der Restklasse 2 usw. , die Drehung um 8×45o=360o entspricht der Restklasse 8=0.)

Ebenso gibt es natürlich auch Muster, deren Symmetriegruppe durch die Drehung um einen anderen Winkel der Form 360o/n erzeugt wird. Deren Symmetriegruppe hat dann n Elemente und ist isomorph zu Z/nZ. (Solche Symmetriegruppen nennt man zyklische Gruppen: sie werden von einer Drehung zyklisch erzeugt.)

Eine Klassifikation aller möglichen symmetrischen Muster auf Sphären (genauer: ihrer Symmetriegruppen) findet man in diesem Wikipedia-Artikel.

Um noch ein paar Beispiele zu bringen (leider ohne passende Ostereier-Bilder):

jede Symmetriegruppe eines platonischen Körpers findet sich auch als Symmetriegruppe einer Pflasterung der Sphäre: man projiziere einfach den Körper auf seine Insphäre, die Seitenflächen ergeben dann das Muster:

Im Fall des Tetraeders gibt das eine Pflasterung der Sphäre durch 4 Dreiecke. Die Symmetriegruppe hat 24 Elemente. (Jede Permutation der Ecken des Tetraeders entspricht einer Symmetrie des Tetraeders, und damit auch einer Symmetrie der Pflasterung der Sphäre.)

Ich hatte letzte Woche erwähnt, daß es in der hyperbolischen Ebene sehr viele Möglichkeiten gibt, symmetrische Muster durch Spiegelungen eines einzelnen Dreiecks zu bekommen. Auf der Sphäre gibt es dafür viel weniger Möglichkeiten.
Die Innenwinkelsumme eines sphärischen Dreiecks ist ja größer als 180o.
Wenn man ein Muster ohne Überlappungen bekommen will, muß das Ausgangs-Dreieck als Innenwinkel Teiler von 180o haben, also 180o/k, 180o/l und 180o/m.
Damit hat man die Ungleichung 1/k+1/l+1/m>1, und für diese gibt es nur wenige Lösungen, nämlich (2,3,3), (2,3,4), (2,3,5) und (2,2,m) mit beliebigem m:


Quelle: Mathworld

Das links abgebildete Muster zur Dreiecksgruppe (2,3,3) ist eine Zerlegung des im vorhergehenden Bild gezeigten Tetraeder-Musters. (Jede Seitenfläche des Tetraeders ist noch mal in 6 Dreiecke zerlegt.) Die Dreiecksgruppe (2,3,3) ist einfach die Symmetriegruppe des Tetraeders und besteht also aus 24 Symmetrien.
Auch die Dreiecksgruppen (2,3,4) und (2,3,5) sind Symmetriegruppen von platonischen Körpern: (2,3,4) ist die Symmetriegruppe des Würfels oder des Oktaeders (beide haben dieselben Symmetrien), (2,3,5) ist die Symmetriegruppe des Ikosaeders oder Dodekaeders.

Alle Möglichkeiten für endliche Symmetriegruppen der Sphäre findet man hier.

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