Flächen, Landkarten und formale Definitionen.

Nachdem wir in dieser Reihe ziemlich lange Anwendungen der hyperbolischen Geometrie auf Flächen dargestellt haben, wollen wir jetzt auch noch die klassische Flächen-Topologie besprechen, insbesondere die topologische Klassifikation von Flächen.

“Klassifikation” meint: Klassifikation bis auf Homöomorphie –
zwei Flächen werden als gleich angesehen, wenn sie homöomorph sind, d.h. wenn es eine stetige Abbildung mit stetiger Umkehrabbildung zwischen den beiden Flächen gibt (TvF 9).

Wir waren ja stets davon ausgegangen, daß man jede zusammenhängende, kompakte, orientierbare Fläche durch Ankleben einer Anzahl von Henkeln an die Sphäre bekommt:

Wir hatten auch gesehen, daß diese verschiedenen Flächen F nicht homöomorph sind: das sieht man zum Beispiel durch Berechnen der Euler-Charakteristik χ(F), oder der Fundamentalgruppe π1F, oder des hyperbolischen Flächeninhalts area (F) (was im Prinzip das selbe ist wie die Euler-Charakteristik, nach Gauß-Bonnet TvF 71 ist für hyperbolische Flächen area(F)=-2πχ(F)).

Aber wie beweist man, daß es nur diese Flächen gibt und keine anderen?

Dafür braucht man natürlich zuerst einmal die formale Definition von “Fläche”.

Die formale Definition von “Fläche” (=”2-dimensionale Mannigfaltigkeit”) hatten wir in TvF 10 beschrieben. Im wesentlichen geht es darum, daß man Flächen durch ebene Landkarten überdecken kann.

i-93f93d9c7d37aa7fd33efe3a70c29535-Stereographic_projection.jpg

Das Bild zeigt eine Karte für die Einheits-Sphäre (mit Ausnahme des Nordpols).
Diese Abbildung heißt stereographische Projektion.
In Formeln: (x,y,z) —-> (x/(1-z),y/(1-z)).
Geometrisch: man projiziert vom Nordpol aus auf eine am Südpol angebrachte Ebene.
Jeder Punkt der Sphäre (mit Ausnahme des Nordpols) entspricht einem eindeutigen Punkt der Ebene. Die Abbildung ist stetig, ebenso wie die Umkehrabbildung von der Ebene auf die Sphäre. Es handelt sich also um einen Homöomorphismus.

Eine zweite Landkarte bekommt man für die Einheits-Sphäre (mit Ausnahme des Südpols) durch die Formel (x,y,z) —-> (x/(1+z),y/(1+z)), d.h. man projiziert vom Südpol aus auf eine am Nordpol angebrachte Ebene.

Diese beiden Landkarten überdecken bereits die gesamte Sphäre.

Dieses Beispiel motiviert vielleicht die allgemeine formelle Definition einer Fläche:

“Eine Fläche ist ein topologischer Raum, den man durch offene Teilmengen (“Karten”) überdecken kann, so daß jede dieser offenen Mengen homöomorph zu einer offenen Teilmenge der Ebene R2 ist.”

Um pathologische Beispiele zu vermeiden, interessiert sich meist nur für Flächen, die Hausdorffsch sind und das 2. Abzählbarkeitsaxiom erfüllen.
(Was für pathologische Beispiele würde man ohne diese Annahmen bekommen? Ohne das Hausdorff-Axiom gäbe es zum Beispiel noch Flächen, die durch Verkleben zweier Flächen entlang einer offenen Menge entstehen. Ohne das 2.Abzählbarkeitsaxiom hätte man zum Beispiel noch Flächen mit überabzählbar vielen Henkeln.)
Flächen, die nicht Hausdorffsch sind, spielen in manchen Zusammenhängen (z.B. Theorie der Blätterungen) durchaus eine Rolle. Wir werden in dieser Reihe aber der üblichen Konvention folgen und annehmen, daß alle Flächen die Hausdorff-bediingung und das 2.Abzählbarkeitsaxiom erfüllen.

Mit dieser Definition lautet die Formulierung des Klassifikationssatzes für Flächen (zu dessen Beweis wir in den nächsten Folgen noch etwas sagen werden) dann wie folgt:

“Jede zusammenhängende, kompakte, orientierbare Fläche ist entweder eine Sphäre oder die zusammenhängende Summe von g Tori.

(Tori ist der Plural von Torus. Das erste Bild ganz oben zeigt neben der Sphäre die Fälle g=1, g=2, g=3.
Die zusammenhängende Summe zweier Flächen bildet man wie im Bild unten durch Heraussschneiden je einer Scheibe und Verklebung am entstandenen eindimensionalen Rand. Die zusammenhängende Summe zweier Tori ist also eine Brezel, die zusammenhängende Summe aus Torus und Brezel ist eine Fläche mit 3 Henkeln, die zusammenhängende Summe von g Tori ist eine Fläche mit g Henkeln.)

i-68705c8dedd001eca4d540edce9d4e02-200px-Connected_sum.svg.png


Teil 1, Teil 2, Teil 3, Teil 4, Teil 5, Teil 6, Teil 7 , Teil 8, Teil 9 , Teil 10 ,Teil 11, Teil 12, Teil 13, Teil 14, Teil 15, Teil 16, Teil 17, Teil 18, Teil 19, Teil 20, Teil 21, Teil 22, Teil 23, Teil 24, Teil 25, Teil 26, Teil 27, Teil 28, Teil 29, Teil 30, Teil 31, Teil 32, Teil 33, Teil 34, Teil 35, Teil 36, Teil 37, Teil 38, Teil 39, Teil 40, Teil 41, Teil 42, Teil 43, Teil 44, Teil 45, Teil 46, Teil 47, Teil 48, Teil 49, Teil 50, Teil 51, Teil 52, Teil 53, Teil 54, Teil 55, Teil 56, Teil 57, Teil 58, Teil 59, Teil 60, Teil 61, Teil 62, Teil 63, Teil 64, Teil 65, Teil 66, Teil 67, Teil 68, Teil 69, Teil 70, Teil 71, Teil 72, Teil 73, Teil 74, Teil 75, Teil 76, Teil 77, Teil 78, Teil 79, Teil 80, Teil 81, Teil 82, Teil 83, Teil 84, Teil 85, Teil 86, Teil 87, Teil 88, Teil 89, Teil 90, Teil 91, Teil 92, Teil 93, Teil 94, Teil 95, Teil 96, Teil 97, Teil 98, Teil 99, Teil 100, Teil 101, Teil 102, Teil 103, Teil 104, Teil 105, Teil 106, Teil 107, Teil 108, Teil 109, Teil 110, Teil 111, Teil 112, Teil 113, Teil 114, Teil 115, Teil 116, Teil 117, Teil 118, Teil 119, Teil 120, Teil 121, Teil 122, Teil 123, Teil 124, Teil 125, Teil 126, Teil 127, Teil 128, Teil 129, Teil 130, Teil 131, Teil 132, Teil 133, Teil 134, Teil 135, Teil 136, Teil 137, Teil 138, Teil 139, Teil 140, Teil 141, Teil 142, Teil 143, Teil 144, Teil 145, Teil 146, Teil 147, Teil 148, Teil 149, Teil 150, Teil 151, Teil 152, Teil 153, Teil 154, Teil 155, Teil 156, Teil 157, Teil 158

Kommentare (17)

  1. #1 Frank Wappler
    25. März 2011

    Thilo Kuessner schrieb (18.03.11 · 22:44 Uhr):

    > allgemeine formelle Definition einer Fläche:
    > “Eine Fläche ist ein [[topologischer Raum]], den man durch offene Teilmengen (“Karten”) überdecken kann, so daß jede dieser offenen Mengen homöomorph zu einer offenen Teilmenge der [[Ebene (Mathematik)|Ebene R^2]] ist.”

    > homöomorph […], d.h. wenn es eine stetige Abbildung mit stetiger Umkehrabbildung zwischen den beiden Flächen gibt (TvF 9)

    sowie im angegebenen http://www.scienceblogs.de/mathlog/2008/04/topologie-von-flachen-ix.php

    . […] dass f stetig ist, wenn Urbilder offener Mengen (siehe Teil 8) offen sind.

    Nun kommt das Wort “offen” aber in
    http://de.wikipedia.org/wiki/Ebene_(Mathematik)
    gar nicht vor;
    und auch
    http://www.scienceblogs.de/mathlog/2008/04/topologie-von-flachen-viii.php
    enthält offenbar keine expliziten Angaben dazu, welche Teilmengen einer “Ebene R^2” so genannt werden sollen (so dass ggf. Homöomorphie bzgl. eines mit expliziter Topologie gegebenen topologischen Raumes überprüfbar wäre).

    Sind mit “offenen Teilmengen der Ebene R^2” eventuell all ihre “open (metric) 2-balls” im Sinne von
    http://en.wikipedia.org/wiki/Ball_(mathematics) gemeint, als auch Vereinigungen (beliebig vieler) dieser “open balls” sowie Durchschnitte von endlich (oder abzählbar?) vielen solcher Vereinigungen von “open balls”?

    Falls so …

    > Um pathologische Beispiele zu vermeiden, interessiert sich meist nur für Flächen, die Hausdorffsch sind und das 2. [[Abzählbarkeitsaxiom]] erfüllen.

    … dann hätte ich bitte mal ‘ne Anschluss-Frage, die einerseits damit zusammenhängt, dass entsprechend http://de.wikipedia.org/wiki/Abz%C3%A4hlbarkeitsaxiom

    [… in] einem topologischen Raum, der das zweite Abzählbarkeitsaxiom erfüllt, […] jede offene Menge O als (höchstens abzählbare) Vereinigung von Mengen aus der Basis B dargestellt werden [kann …]

    und andererseits damit, dass so weit ich weiß z.B. für die [[Euklidische Ebene]] sich i.A. bestimmte Paare von “open 2-balls” finden lassen, die genau einen gemeinsamen Randpunkt (außerhalb dieser beiden “open 2-balls”) haben.

  2. #2 Thilo
    25. März 2011

    Üblicherweise definiert man offene Mengen im R^n so: http://de.wikipedia.org/wiki/Offene_Menge#Definition

    Das ist tatsächlich äquivalent dazu, daß offene Mengen die Vereinigung von (beliebig vielen) offenen Kreisflächen (bzgl. der euklidischen Metrik) sind.

    Die Anschluß-Frage verstehe ich nicht.

  3. #3 Frank Wappler
    26. März 2011

    Thilo schrieb (25.03.11 · 14:00 Uhr):

    > Üblicherweise definiert man offene Mengen im R^n so: http://de.wikipedia.org/wiki/Offene_Menge#Definition
    Das ist tatsächlich äquivalent dazu, daß offene Mengen die Vereinigung von (beliebig vielen) offenen Kreisflächen (bzgl. der euklidischen Metrik) sind.

    (Sicher auch einschließlich gewisser Durchschnitte solcher Mengen; was im Folgenden allerdings wohl nicht vordergründig wichtig ist.)

    Na prima — dann kann man ja wohl jeden Kreis, der (vollständig) in einer (Euklidischen) Ebene liegt, als topologisch definiertes Objekt betrachten: nämlich jeweils als “Rand” einer bestimmten offenen Menge dieser Ebene (d.h. der entsprechenden so umrandeten offenen Kreisscheibe).

    > Die Anschluß-Frage verstehe ich nicht.

    Ich hatte ja noch gar keine konkrete Frage gestellt, sondern nur skizziert, was dabei eine Rolle spielen soll. Deshalb nun möglichst knapp und konkret:

    Gegeben eine Menge { p_ } von Punkten einer Euklidischen Ebene, so dass
    diese Menge { p_ } einen bestimmten (vollständigen) Kreis in dieser Ebene darstellt, der eine bestimmte offene Menge dieser Ebene umrandet,
    kann man dazu eine Menge { K_ } von Kreisen angeben, so dass
    – jeder einzelne Punkt pa ein Element genau eines bestimmten Kreises Ka ist,
    – jeder einzelne Kreis Kb genau einen bestimmten Punkt pb als Element enthält, und
    – je zwei dieser Kreise kein gemeinsames Element haben (weder Punkte aus { p_ }, noch irgendwelche anderen Punkte der Ebene)
    ?

    Anschaulicher:
    Kann man einen gegebenen Kreis mit (hinreichend kleineren) Kreisen vollständig berühren (“von innen” und/oder “von außen”), so dass sich keine dieser hinzugefügten Kreise schneiden oder berühren?

    Lässt sich diese Frage positiv (z.B. durch Angabe einer Konstruktion der Menge { K_ }) beantworten?
    (Falls so, dann wären Ebenen offenbar zwangsläufig “pathologisch” bzgl. des o.g. “zweiten Abzählbarkeitsaxioms“.)

    Oder kann diese Frage negativ beantwortet werden (durch Aufzeigen eines Widerspruches), ohne dazu (mehr oder weniger ausdrücklich) das zweite Abzählbarkeitsaxiom einzusetzen?
    (Dadurch würde dieses sicherlich als Axiom plausibel gemacht.)

    Oder kann diese Frage nur unter ausdrücklichem Einsatz des zweiten Abzählbarkeitsaxioms beantwortet werden (und dann wohl zwangsläufig negativ)? …

  4. #4 JLN
    26. März 2011

    Um zu zeigen dass ein Raum zweit-abzählbar ist reicht es zu zeigen dass seine topologische Basis abzählbar ist.

    Nun können wir aber eine solche Basis angeben. Für R^n beispielsweise sind die offenen Bälle mit Mittelpunkt (p1,…pn) und Radius r, mit p1,…,pn und r allen in den rationalen Zahlen eine solche Basis. Ich nenne diese Bälle ab jetzt rationale offene Bälle.

    Wir müssen aber zeigen dass diese Sammlung offener rationaler Bälle tatsächlich eine topologische Basis ist, wir also aus Vereinigungen solcher Mengen jede beliebige offene Menge produzieren können. Es reicht dafür, jeden offenen Ball als Vereinigung von rationalen offenen Bällen schreiben zu können.

    Der erste Schritt besteht darin zu zeigen dass wir Bälle mit jedem beliebigen Radius als Vereinigung von rationalen offenen Bällen schreiben können. Das ist der Fall, da für jede reelle Zahl t eine monoton wachsende Folge rationaler Zahlen existiert, die gegen t konvergiert.

    Für irrationale Mittelpunkte der Bälle geht man ähnlich vor. Beispielsweise kann man die Vereinigung aller offenen Bälle mit rationalem Mittelpunkt nehmen, deren Mittelpunkt im gewünschten offenen Ball liegt und deren Radius kleiner ist als die Distanz vom Rand des gewünschten irrationalen offenen Balls zum Mittelpunkt des rationalen offenen Balls. Die resultierende Vereinigung ist eine offene Menge (da Vereinigung von offenen Bällen), und jeder Punkt im gewünschten offenen Ball ist Element mindestens eines rationalen offenen Balls.

    Anders gesagt – Die Forderung, dass zwei Kreise in {K_} keinen gemeinsamen Punkt haben, ist unnötig für den Beweis der Zweitabzählbarkeit.

  5. #5 Frank Wappler
    26. März 2011

    JLN schrieb (26.03.11 · 00:58 Uhr):

    > […] zeigen dass diese Sammlung offener rationaler Bälle tatsächlich eine topologische Basis ist
    > […] also aus Vereinigungen solcher Mengen jede beliebige offene Menge produzieren

    Die im Artikel angegebene und schon oben zitierte Referenz
    http://de.wikipedia.org/wiki/Abz%C3%A4hlbarkeitsaxiom
    setzt dazu noch eine Bemerkung in Klammern:

    In einem topologischen Raum, der das zweite Abzählbarkeitsaxiom erfüllt, kann jede offene Menge O als (höchstens abzählbare) Vereinigung von Mengen aus der Basis B dargestellt werden. [Hervorhebung FW]

    Ist die hervorgehobene Bemerkung überhaupt richtig, und wesentlich? …

    Und im Zusammenhang mit meiner obigen Frage:
    Ist es überhaupt richtig (bzw. folgerichtig), dass ein Kreis (als Rand eines offenen 2-Balls, also als topologisch zu fassendes Objekt), also die Menge { p_ } in meiner Frage, mehr als abzählbar viele Elemente hat;
    bzw. dass die hypothetische Menge { K_ } von “daran gehefteten” Kreisen ggf. ebenfalls mehr als abzählbar viele Elemente hätte?

    > Für irrationale Mittelpunkte […] die Vereinigung aller offenen Bälle mit rationalem Mittelpunkt nehmen, deren Mittelpunkt im gewünschten offenen Ball liegt und deren Radius kleiner ist als die Distanz vom Rand des gewünschten irrationalen offenen Balls zum Mittelpunkt des rationalen offenen Balls. Die resultierende Vereinigung ist eine offene Menge (da Vereinigung von offenen Bällen)

    … ja, ganz sicher …

    > und jeder Punkt im gewünschten offenen Ball ist Element mindestens eines rationalen offenen Balls.

    … in dieser Schlussfolgerung fühle ich mich nicht ganz so sicher; vielleicht gibt es dafür ja einen exakten, aus ganz sicheren Schritten zusammengesetzten Beweis:

    > Der erste Schritt [… dass] für jede reelle Zahl t eine monoton wachsende Folge rationaler Zahlen existiert, die gegen t konvergiert.

    … ja, sicher; das entspricht wohl auch der Vorstellung/Definition einer
    reellen Zahl t” als einem bestimmten (“nach oben offenen”) [[Dedekindschen Schnitt]] der rationalen Zahlen.

    > Die Forderung, dass zwei Kreise in {K_} keinen gemeinsamen Punkt haben, ist unnötig für den Beweis der Zweitabzählbarkeit.

    Na gut; ergibt sich daraus eine Antwort auf meine Frage, ob solch eine Menge { K_ } von Kreisen entsprechend der obigen Vorgaben überhaupt existiert?

  6. #6 Thilo
    26. März 2011

    Ist die hervorgehobene Bemerkung überhaupt richtig, und wesentlich?

    Jede offene Menge ist eine Vereinigung von (beliebig vielen) Basismengen. Das 2.Abzählbarkeitsaxiom fordert, daß sogar jede offene Menge eine Vereinigung von nur abzählbar vielen Basismengen ist.
    Das ist also eine zusätzliche Bedingung, die nicht für jeden topologischen Raum erfüllt ist. Sie stimmt aber für den euklidischen Raum, wie JLN oben angedeutet hat.

  7. #7 Frank Wappler
    26. März 2011

    Thilo schrieb (26.03.11 · 12:44 Uhr):

    > Das 2.Abzählbarkeitsaxiom fordert, daß sogar jede offene Menge eine Vereinigung von nur abzählbar vielen Basismengen ist. Das ist also eine zusätzliche Bedingung […] für den euklidischen Raum

    Ergibt sich damit eine Antwort auf meine konkrete Frage (26.03.11 · 00:23 Uhr)?

    Gibt es nun eine Menge { K_ } mit den oben geforderten Eigenschaften in der Euklidischen Ebene R^2, oder nicht?

    Und sind die (der konkreten Frage zugrundeliegenden) Überlegungen richtig, dass

    (a) ein Kreis (im topologischen Sinne, also als Rand eines “offenen 2-Balls”) mehr als abzählbar viele verschiedene Elemente hat?,
    und dass

    (b) Paare von Kreisen in der Euklidischen Ebene R^2 zu finden sind, die jeweils genau ein Element gemeinsam haben?

  8. #8 JLN
    26. März 2011

    Es gibt keine solche Menge, zumindest nicht im Inneren des Kreises.

    Es gibt überabzählbar viele Punkte auf dem Kreis. Also suchen wir überabzählbar viele offene Bälle im Inneren des Kreises die sich nicht schneiden und deren Abschluss mit dem Kreis geschnitten jeweils ein Punkt ist. Aber das Volumen dieser überabzählbar vielen Bälle zusammen ist kleiner als pi*r^2, und jeder Ball hat Volumen>0. Aber die überabzählbare Summe endlicher grössen ist unendlich, also hat das Volumen aller Bälle zusammen Volumen>pi*r^2.

    Für den Beweis der zweit-Abzählbarkeit ist Annahme b) unnötig – wir suchen offene Bälle, nicht geschlossene. Das heisst, der Rand der Bälle gehört nicht zu den Bällen selbst, und die Vereinigung all dieser Bälle wäre nicht der ganze Einheitsball. Der Schnitt zweier offener Bälle ist entweder leer oder enthält unendlich viele Punkte. In nur einem Punkt können sich offene Mengen aber nicht schneiden.

  9. #9 Frank Wappler
    27. März 2011

    JLN schrieb (26.03.11 · 16:03 Uhr):

    > Es gibt überabzählbar viele Punkte auf dem Kreis. Also suchen wir überabzählbar viele offene Bälle im Inneren des Kreises

    In der konkreten Fragestellung (26.03.11 · 00:23 Uhr) wurde “Inneres” und “Äußeres” eines Kreises jedenfalls nicht unterschieden; und ich würde mich auch im Nachhinein nicht festlegen wollen, dass die Elemente der geforderten (hypothetischen) Kreismenge { K_ } den vorgegeben Kreis { p_ } nur innen (oder auch nur außen) berühren sollten, also dass auch alle (jeweils einem Element Kj entsprechenden) offenen 2-Bälle ausschließlich zum “Inneren des Kreises” gehören müssten.
    Aber wir können diesen Spezialfall hier gern mal verfolgen …

    > Also suchen wir überabzählbar viele offene Bälle im Inneren des Kreises die sich nicht schneiden und deren Abschluss mit dem Kreis geschnitten jeweils ein Punkt ist.

    Für diesen Spezialfall, ja.
    Konkret könnten wir betrachten, dass der vorgegebene Kreis { p_ } den Radius r haben soll. (Die Vorgabe dieses Kreises beruhte ja von vornherein auf metrischen Vorgaben.), wobei selbstverständlich r > 0.

    > jeder Ball hat Volumen>0.

    Gewiss. (Für 2-Bälle heißt das entsprechende Volumen konkreter “Fläche”.)
    Aber: es besteht z.B. keine Forderung, dass es eine bestimmte rationale Zahl s > 0 geben müsste, so dass jeder zu betrachtende Ball eine Fläche > s hätte.

    > Aber das Volumen dieser überabzählbar vielen Bälle […] zusammen Volumen>pi*r^2.

    Dieser Folgerung kann ich mich (noch) nicht anschließen. (Ich hoffe dabei natürlich auch, dass ich die gemeinte Folgerung überhaupt verstanden und sinn-entsprechend zitiert habe …)

    Ich meine sogar, dass ich dazu ein Gegenbeispiel konstruieren kann:

    In einen gegebenen Kreis { p_ } mit Radius r > 0 kann man doch sicherlich zwei weitere (kleinere) Kreise Ka und Kb so “einbeschreiben”, dass sich jedes Paar dieser drei Kreise in je einem Punkt berührt. Schön wär’s, davon ein Bild zu haben … z.B. die drei Kreise (ohne kontrastierende Farbfüllungen) in
    http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/TwoCirclesInThirdSangaku.shtml

    Der gegebenen große, äußere Kreis { p_ } wird dadurch in zwei (nicht unbedingt metrisch gleiche) Kreibögen geteilt.
    (Das kann man sicherlich mit besser abgesicherten Einzelschritten beweisen…)

    Auf jeden dieser beiden Kreisbögen kann man nun sicherlich (mindestens) je einen weiteren Kreis “legen” …
    Schön wär’s, davon ein Bild zu haben …
    z.B. die Kreise O2 und O2′ in
    http://www.cut-the-knot.org/pythagoras/TwinsSangaku.shtml
    bezüglich der beiden äußeren Kreisbögen zwischen (bzw. ohne) Punkte(n) A und B.

    Der gegebene Kreis { p_ } ist dadurch “mittlerweile” in vier (nicht unbedingt metrisch gleiche) Kreibögen geteilt.

    Und so unaufhörlich weiter.
    Stichwort (sofern das zutrifft): [[infinite complete binary tree]].

    Sind anhand dieser gesamten Konstruktion (deren endlicher Anfang gerade explizit beschrieben wurde) nicht doch überabzählbar viele offene Bälle im Inneren des Kreises identifiziert, die sich nicht schneiden und von denen (trotzdem) jeder eine bestimmte von Null verschiedene Fläche hat?

    p.s.
    Naheliegend zu fragen:
    wie passt ggf. dieses Gegenbeispiel zum “zweiten Abzählbarkeitsaxiom“?

  10. #10 JLN
    28. März 2011

    Wegen aussen und innen: es wird auch aussen keine solche Sammlung von Kreisen geben wegen der zweit-Abzählbarkeit. Aber für den inneren Spezialfall ist es einfacher einen solchen Widerspruch ohne Hinzunahme der zwei-Abzählbarkeit zu verwenden.

    Zum beschränkten Volumen aller Bälle zusammen:

    Da zwei offene Bälle, deren Ränder (also Kreise) sich berühren und die beide den Kreis in unterschiedlichen Punkten berühren, disjunkt sind (will heissen, keine Elemente teilen. Würden sie Elemente teilen, läge der eine Ball im anderen. Damit dieser Ball dann den Kreis berühren kann, muss er ihn an derselben Stelle berühren wie der andere Ball, da er sonst ausserhalb läge). Also suchen wir die disjunkte Vereinigung von offenen Bällen die im Inneren der Kreisscheibe liegen. Diese disjunkte Vereinigung ist eine Teilmenge der Kreisscheibe. Das Volumen einer Teilmenge ist aber kleiner oder gleich des Volumens der ganzen Menge. Also ist das Volumen der disjunkten Vereinigung dieser Bälle kleiner oder gleich pi*r^2. Das widerspricht aber das Annahme überabzählbar vieler Bälle mit Radius>0, da deren disjunkte Vereinigung unendliches Volumen hätte.

    Die vorgeschlagene Methode führt nur zu abzählbar unendlich vielen Kreisen. Es ist eine induktive Vorschrift, das heisst, sie konstruiert aus n gegebenen Kreisen n+1 neue. Aber vollständige Induktion führt im Grenzübergang nur zu abzählbaren Resultaten.

  11. #11 Frank Wappler
    29. März 2011

    JLN schrieb (28.03.11 · 16:41 Uhr):

    > Aber für den inneren Spezialfall ist es einfacher einen solchen Widerspruch ohne Hinzunahme der zwei-Abzählbarkeit zu verwenden.

    Es scheint jedenfalls interessant auszuloten, wie weit man “ohne Hinzunahme” argumentieren kann — egal wie axiomatisch man das ansonsten Hinzuzunehmende finden mag, oder nicht.

    > Also suchen wir die disjunkte Vereinigung von offenen Bällen die im Inneren der Kreisscheibe liegen. Diese disjunkte Vereinigung ist eine Teilmenge der Kreisscheibe.

    Richtig.

    > Die vorgeschlagene Methode führt nur zu abzählbar unendlich vielen Kreisen. Es ist eine induktive Vorschrift, das heisst, sie konstruiert aus n gegebenen Kreisen n+1 neue. Aber vollständige Induktion führt im Grenzübergang nur zu abzählbaren Resultaten.

    Wenn das von mir oben dargestellte (Gegen-)Beispiel nun aber gar nicht vordergründig die Knoten des Binärbaumes meinte, sondern dessen Pfade “wo man im Grenzübergang hinkäme”? …

    Jedenfalls hatte ich “Und so unaufhörlich weiter.” geschrieben; und — richtig — das soll meinen, die vollendete (hypothetische) Konstruktion im Grenzübergang zu betrachten.

    Nun finde ich es ja durchaus plausibel, dass bei Betrachtung im Grenzübergang der Radien zumindest einiger einbeschriebener Kreise zu Null konvergieren sollten. Dieser Einwand trifft jedoch sicher auch von ganz offensichtlich abzählbar unendlich vielen Kreisen zu … (s.u.)

    > Das Volumen einer Teilmenge ist aber kleiner oder gleich des Volumens der ganzen Menge.

    Einerseits ist “Volumen” (oder auch insbesondere: “Fläche”) zwar sicher kein ganz einfacher und intuitiver Begriff; zumal in Argumentationen zum Thema “Topologie”.

    Andererseits stand am Anfang der Diskussion aber die Festlegung der Betrachtungen auf R^2 mit “euklidischer Metrik“;
    also wohl insbesondere so, dass die Cayley-Menger-Determinate für je vier Elemente Null ist —
    dann kann man ja gewiss auch Cayley-Menger-Determinaten für je drei Elemente auswerten. Also …

    > ist das Volumen der disjunkten Vereinigung dieser Bälle kleiner oder gleich pi*r^2.

    … sei’s drum.

    > Das widerspricht aber das Annahme überabzählbar vieler Bälle mit Radius>0, da deren disjunkte Vereinigung unendliches Volumen hätte.

    Und warum sollte das nicht “schon einfach” der Annahme von schlicht (abzählbar) unendlich vielen Bälle mit Radius > 0 widersprechen??

    Eine (weitere) ausdrücklich abzählbare Konstruktion besteht doch darin,
    in einen vorgegebenen Kreis von r = 1
    einen Kreis von r = 1/2 berührend einzubeschreiben,
    daran (den zuvor einbeschriebenen Kreis sowie den großen vorgegebenen Kreis in verschiedenen Punkten berührend, also disjunkt zum Inneren des zuvor einbeschriebenen Kreises) einen Kreis von r = 1/4 einzubeschreiben,
    daran (den zuvor einbeschriebenen Kreis sowie den großen vorgegebenen Kreis in verschiedenen Punkten berührend, also disjunkt zum Inneren der zuvor einbeschriebenen Kreise) einen Kreis von r = 1/8 einzubeschreiben,
    und so unaufhörlich weiter.

    (Und offenbar konvergieren die Radien dieser Kreise in Betrachtung des Grenzübergangs zu Null.)

    Wäre denn diese weitere vollendete (hypothetische) Konstruktion überhaupt mit den obigen Betrachtungen zum “Volumen” vereinbar?

    Falls nicht, dann ist die “Volumen“-Argumentation insgesamt fragwürdig.
    Und falls doch: worin besteht der argumentative Unterschied zum Fall mit “überabzählbar vielen Bällen” (also insbesondere abgesehen vom bloßen Auftauchen der Silbe “über“)?

  12. #12 JLN
    29. März 2011

    Die Cayley-Menger-Determinante gäbe in diesem Fall aber das Volumen von Dreiecken.
    Da wir uns aber im Euklidischen Raum befinden, ist das Volumen (bzw. die Fläche) über die Metrik definiert. Das heisst, das Volumen und die Topologie haben hier dieselbe Begründung.

    Grundsätzlich gilt (auch intuitiv), dass das Volumen einer Teilmenge nicht grösser sein darf als das Volumen der ganzen Menge.

    Abzählbare Summen können konvergieren, wie es Ihre ja auch tut. Das Volumen der von Ihnen vorgeschlagenen Kreise zusammen ergibt SUM_n>0[pi*(r_n)^2]=pi/2*SUM_n>(-1)[(1/2^n)^2]=pi/2*SUM_n>(-1)[(1/4^n)]=2/3*pi über die geometrische Summenformel. Bei überabzählbaren Mengen aber geht diese Konvergenzmöglichkeit verloren.

  13. #13 Frank Wappler
    30. März 2011

    JLN schrieb (29.03.11 · 09:18 Uhr):

    > Das Volumen der [in (29.03.11 · 02:27 Uhr)] vorgeschlagenen Kreise zusammen ergibt SUM_n>0[pi*(r_n)^2]=pi/2*SUM_n>(-1)[(1/2^n)^2]=pi/2*SUM_n>(-1)[(1/4^n)]=2/3*pi über die geometrische Summenformel.

    Na gut — ich fände es zwar (etwas) schöner, folgendermaßen zu rechnen: …

    Sum_{ n > 0 }_[ Pi (r_n)^2 ] =(eingesetzt)=
    Sum_{ n > 0 }_[ Pi 1/(2^n)^2 ] =(Indexwechsel)=
    Sum_{ n > (-1) }_[ Pi 1/(2^(n + 1))^2 ] =(Potenzrechnen)=
    Sum_{ n > (-1) }_[ Pi 1/(2^2)^(n + 1) ] =(Ausklammern und Zusammenfassen)=
    Pi/4 Sum_{ n > (-1) }_[ 1/4^n ] =(geometrische Summenformel)=
    Pi/4 1 / (1 – 1/4) =(Bruchrechnen)=
    Pi/4 4/3 =(Kürzen)=
    Pi/3

    … aber das ist ja mehr oder weniger Formsache.

    Was ich dabei auch interessant und im Folgenden von Bedeutung fände, aber (im Moment) nicht so leicht auszurechnen weiß, ist die Bogenlänge (entlang des vorgegebenen äußeren Kreises { p_ } von Radius 1), “über die” bzw. “entlang der” die oben vorgeschlagene und gerade nochmal berechnete Kreisfolge diesen vorgegebenen äußeren Kreises { p_ } berührt;
    vom ersten einbeschriebenen Kreis mit Radius 1/2 bis zur Konvergenz in Betrachtung des Grenzübergangs. (Kann man insbesondere anhand der metrischen Begründung sicher auch “Häufungspunkt auf dem Außenkreis” nennen.)

    Die damit verbundene weitere Überlegung:
    Kann man mehrere solche ähnliche abzählbar unendliche und konvergierende Folgen von Kreisen (von denen jeder den Außenkreis in genau einem Punkt berührt, un die sich gegenseitig in höchstens einem Punkt berühren), und ggf. mit geeignet “skalierten” Radien r_n, für bestimmte Konstruktionen (“Basteleien” :) einsetzen?

    Konkret, ausgehend wieder vom Außenkreis { p_ } von Radius 1, und darin einbeschrieben ein Kreis Ka von Radius ra = 1/2, der den Außenkreis in pa berührt:
    kann man (mindestens) eine bestimmte Kreisfolge { Kb_ }, beruhend auf einer geeigneten konvergierenden Folge von Werten rb_n, so “in die Spalte zwischen Außenkreis { p_ } und Kreis Ka legen”, dass
    – der Häufungspunkt der Kreisfolge { Kb_ } auf dem Außenkreis genau der Punkt pa ist, und
    – die Innereien von Kreis Ka und von jedem Mitglied der Kreisfolge { Kb_ } disjunkt sind?

    Insbesondere:
    wäre das mit einer Folge von Radienwerten
    rb_n := k 1/2^n
    realisierbar, für eine bestimmte rationale Zahl k > 0;
    oder wären dazu deutlich andere Radienfolgen erforderlich, z.B.
    rb_n := k 1/n^n;
    oder wären derartige “Basteleien mit Kreisfolgen” überhaupt nicht machbar?

    > Bei überabzählbaren Mengen aber geht diese Konvergenzmöglichkeit verloren.

    Diese Bemerkung alleine finde ich nicht in aller Allgemeinheit überzeugend; daher die Überlegungen zu möglichen “Basteleien mit Kreisfolgen” …

    p.s.
    > Die Cayley-Menger-Determinante gäbe in diesem Fall aber das Volumen von Dreiecken.

    Richtig.

    > Da wir uns aber im Euklidischen Raum befinden, ist das Volumen (bzw. die Fläche) über die Metrik definiert. Das heisst, das Volumen und die Topologie haben hier dieselbe Begründung.

    Und was soll “Begründung von Volumen über die Metrik” bzw. “Begründung von Euklidizität einer Metrik” heißen, wenn nicht genau wie oben genannt:
    – die Berechnungen (und geeignete Summierung) von Cayley-Menger-Determinanten für je drei Elemente bzw.
    – die Forderung, dass jede Cayley-Menger-Determinante für je vier Elemente Null wäre??

    p.p.s.
    (Hab ich oben echt mehrfach “Determinate” statt “Determinante” geschrieben?!? Na ja — mehr oder weniger Formsache … &)

  14. #14 JLN
    30. März 2011

    Zur Unendlichkeit überabzählbarer Summen positiver Zahlen gibt es den folgenden Beweis:

    Sei I eine Indexmenge, c_i>0 für alle i in I.

    Definiere s_0:={i in I:c_i>=1}
    und für n>0, s_n:={i in I: 1/n>c_i>=1/(n+1)}.

    Offensichtlich gilt dass I die Vereinigung aller s_n ist (s_0 eingeschlossen). Damit die Summe über alle c_i konvergiert, darf aber jedes s_n nur endlich viele Elemente haben, andernfalls wäre schon SUM_(i in s_n)[c_i] unendlich, und damit auch die Summe über alle c_i. Also ist I die abzählbare Vereinigung endlicher Mengen – also selbst abzählbar.

    Da die offenen Dreiecke ebenfalls eine Basis der Topologie des euklidischen Raumes bilden, ist das Volumen des Kreises definiert als das Infimum (über alle Überdeckungen des Kreises durch Dreiecke) der Summe der Volumina der überdeckenden Dreiecke. Alternativ kann man auch das Integral zur Flächenberechnung hernehmen – sphärische Koordinaten sind da sehr gut geeignet.

  15. #15 Thilo
    30. März 2011

    @ JLN:
    Meinen Respekt, daß Du Dich durch diese ellenlangen Kommentare durcharbeitest :-)

    Die überabzählbaren Summen hatten wir hier übrigens auch schon mal: http://www.scienceblogs.de/mathlog/2010/01/unendliche-reihen-von-wodka.php

  16. #16 Frank Wappler
    31. März 2011

    JLN schrieb (30.03.11 · 11:53 Uhr):

    > Sei I eine Indexmenge […]


    (Indexmenge? Das hatten “wir” doch schon mal … in
    http://www.scienceblogs.de/mathlog/2011/01/10-jahre-wikipedia.php
    Frank Wappler schrieb (27.01.11 · 03:41 Uhr):
    > > Im Ansatz, (11), sind die Elemente der Menge { \zeta } nur (ausreichend viele verschiedene) _Namen_; )

    > […] c_i>0 für alle i in I.

    > Definiere s_0:={i in I:c_i>=1}
    und für n>0, s_n:={i in I: 1/n>c_i>=1/(n+1)}.

    > Offensichtlich gilt dass I die Vereinigung aller s_n ist (s_0 eingeschlossen).

    Tja — kann man darauf antworten:
    “This is the beginning of a wonderfully watertight proof.”
    ?

    Oder sollte man eher Skrupel haben, dass sich die eine Bedingung,
    c_i >= 0“,
    mit der anderen,
    1/n > c_i […] ,
    überhaupt verträgt,
    bei der Betrachtung (des Grenzüberganges) “aller s_n
    ?

    Beats me …

    p.s.
    Keine Sorge, JLN, vor zu viel unverdientem Respekt bzw. vor zu viel Ehre:
    Dass meine ellenlangen Kommentare durchgearbeitet worden wären, haben sich die Antworten darauf alleine nicht wirklich anmerken lassen …

  17. #17 Frank Wappler
    31. März 2011

    Frank Wappler schrieb (31.03.11 · 04:37 Uhr):
    > Oder sollte man eher Skrupel haben, dass sich die eine Bedingung,
    > “c_i >= 0”, […]

    Pardon — sollte, zitiert aus (30.03.11 · 11:53 Uhr), die
    “Bedingung c_i > 0”
    sein.