Exponentielle Funktionen wachsen viel schneller als lineare. Und sind deshalb auch viel größer, jedenfalls wenn ihr Anfangswert groß genug war.

Beweisen kann man das leicht mittels vollständiger Induktion. Die Ungleichung n^{10}>10n beweist man zum Beispiel mit folgendem Induktionsbeweis:
Aus n^{10}>10n folgt n^9>10, erst recht (n+1)^9>10, also (n+1)^{10}>10(n+1), mithin der Induktionsschritt.

Nun funktioniert ein Induktionsbeweis bekanntlich nur dann, wenn der Induktionsanfang korrekt ist, und eine schnell wachsende Exponentialfunktion wird nur dann größer als eine langsam wachsende lineare wenn bereits der Anfangswert groß genug war. Im Beispiel ist zwar n^{10}>10n richtig für alle n\ge 2, aber natürlich nicht für n=1.

Ausgerechnet diesen einen Ausnahmefall erwischten aber, Murphys Gesetz folgend, die Macher des Hochglanzmagazins lebensart. Dumm gelaufen, mit jedem anderen n wäre die Ungleichung richtig gewesen. (Quelle: Mitteilungen der DMV)

einerpotenz

Kommentare (29)

  1. #1 odet
    7. April 2014

    MBA goes Math. Und lästert dann Abens beim Bier über die Deppen die mit harter Arbeit ein Mintfach studieren……

  2. #2 Quacki
    7. April 2014

    Mit der impliziten Annahme, dass n eine Ganzzahl ist :-p

  3. #3 Thilo
    7. April 2014

    Die Ungleichung stimmt auch für alle reellen Zahlen größer 2, nur braucht man dafür natürlich einen anderen Beweis.

    Man kann z.B. die Ableitung benutzen: die Ableitung von n^{10} ist 10*n^9 und das ist für n>2 größer als 5120, also insbesondere größer als die Ableitung von 10*n, welche 10 ist. Weil der “Induktionsanfang” für n=2 auch stimmt, folgt damit die Ungleichung für alle n>2.

  4. #4 Andreas H.
    7. April 2014

    Die Auswirkungen von Exponentialfunktionen entziehen sich leider unserer Alltagserfahrungen. Ein wirklich gutes Video, in dem einige Phänomene erklärt werden (englisch):

    https://www.youtube.com/watch?v=u5iFESMAU58

    Immer wieder sehenswert.

  5. #5 markus
    8. April 2014

    @Andreas H.
    Die Exponentialfunktionen als Beschreibung der Bevölkerungsentwicklung hingt ! die Wachstumsrate ist nicht konstant (und war es nie) http://en.wikipedia.org/wiki/File:World_population_growth_rate_1950%E2%80%932050.svg

  6. #6 Eheran
    8. April 2014

    Die Grafik ist ja witzig, wie man den Strich einfach gerade weitergeführt hat für nächsten 40 Jahre.
    Wer maßt sich derartige Prognosen an?
    Kommt mir vor wie Analysten die irgendwelche Ergebnisse auf 4 (oder mehr) signifikante Stellen genau vorhersagen wollen.

  7. #7 regow
    10. April 2014

    Mein Gnuplot zeigt mir, dass sich x**10 und x*10 bei ca. x gleich 1.27 schneiden und ab diesem Wert dann x**10 größer ist.

  8. #8 StefanL
    10. April 2014

    @regow
    x = \sqrt[9]{10}

  9. #9 regow
    11. April 2014

    Jo, aber eben nicht erst ab dem Wert 2.

  10. #10 Thilo
    11. April 2014

    Natürlich kann man man die Ungleichung auch einfach durch direktes Nachrechnen überprüfen. Die Pointe hier sollte sein, dass man ein funktionierenden Induktionsbeweis hat, aber eben auf den Induktionsanfang achten muß. Und daß gerade dieser falsche Induktionsanfang in der Lebensart-Werbung erwischt wurde.

  11. #11 Gast
    11. April 2014

    ich finde das Beispiel irgendwie [del]bl..[/del] nicht so optimal.
    Wie wäre es denn mit n = -2
    Es gibt ja schließlich auch negative natürliche Zahlen.

  12. #12 Gast
    11. April 2014

    11. April 2014

    ich finde das Beispiel irgendwie bl.. nicht so optimal.
    Wie wäre es denn mit n = -2
    Es gibt ja schließlich auch negative natürliche Zahlen.

  13. #13 hubert taber
    11. April 2014

    x^10 = 10^x
    x = 1,37128857427

    mfg. hubert taber

  14. #14 Thilo
    12. April 2014

    Bei mir ist die neunte Wurzel aus 10 ungefähr 1,2915….

  15. #15 StefanL
    12. April 2014

    @hubert taber
    Wir wollen doch nicht übertreiben \forall (x=y): x^y=y^x

    @Gast
    http://de.wikipedia.org/wiki/Nat%C3%BCrliche_Zahl

  16. #16 StefanL
    12. April 2014

    @Thilo
    Noch pointierter wäre da e.g. 2^n > n^2 mit dem Spruch: “Besser als die Quadratur des Kreises 2^3 > 3^2 ” .
    Das eigentlich Erschreckende bei diesem Ausschnitt eines Hochglanzmagazines ist doch die Koketterie mit der elementaren Unwissenheit über ein neutrales Element.

  17. #17 hubert taber
    12. April 2014

    die oben erwähnte ungleichung
    n^10 > 10^n
    wird bei einem bestimmten wert zur gleichung.
    ich nenne diesen wert x.

    x^10 IST GLEICH 10^x
    und x = 1,37128857427

    ist der wert grösser als x, wird es zur ungleichung
    n^10 > 10^n

    ist der wert kleiner als x, wird es zur ungleichung
    n^10 < 10^n

    was sollte daran unverständlich sein ?
    es kommen aber doofe entgegnungen von selbsternannten mathe-gurus.

    mfg. hubert taber

  18. #18 rolak
    12. April 2014

    ^^Wahnsinn – sich mit einer Kugel in beide Füße schießen, was für eine Leistung. Preiswürdig.

  19. #19 Thilo
    12. April 2014

    Es geht um die Ungleichung 10^n>10n, nicht um die Ungleichung 10^n>n^10 (die natürlich auch ganz interessant wäre).

  20. #20 StefanL
    13. April 2014

    @hubert taber
    Wie schon angemerkt wurde, ist hier ursprünglich die Rede von x^y > y\cdot x …und in diesem Zusammenhang ist x=1,37128857427 “out of range”.
    Sicherlich ist x^y=y^x und so beispielsweise (\sqrt{3})^{3\sqrt{3}} = (3\sqrt{3})^{\sqrt{3}} oder eben auch die Lösung ( > 1 ) von \log{x}= \frac{x-1}{x} im Falle y=10 interessant. Wie kommen Sie auf den Lösungswert x=1,37128857427 ?

  21. #21 hubert taber
    13. April 2014

    @ Thilo :
    anstelle von 10n dichtete ich irrtümlich 10^n dazu.
    pardon.

    aber die von mir (irrtümlich) erklärte ungleichung
    n^10 > 10^n ist hieb und stichfest und jederzeit nachrechenbar.

    mfg. hubert taber

    p.s. : leider knurrte mein blindenhund nicht, als ich das ^ dazudichtete.

  22. #22 rolak
    13. April 2014

    hieb und stichfest und jederzeit nachrechenbar

    Na dann wollen wir mal, weiter oben erklärtest Du

    x^10 IST GLEICH 10^x
    und x = 1,37128857427

    ist der wert grösser als x, wird es zur ungleichung
    n^10 > 10^n

    Dann wähle ich ein x eindeuztig größer als 1.37.., nämlich x=10, setze ein und erhalte 10^10>10^10. Huch, schon widerlegt.

    Das war der andere Fuß, der erste war Deiner Meinung nach durch Blindheit verursacht – was für Hunde benötigst Du noch?

  23. #23 LasurCyan
    13. April 2014

    @rolak
    “…was für eine Leistung. ”
    Rechter grosser Onkel auf den kleinen Zeh links geschoben, dann in der Mitte anvisiert, und abgedrückt…

  24. #24 rolak
    13. April 2014

    anvisiert

    Netter Versuch, LasurCyan, doch er verschiebt nur die zu erfüllende Höchstschwierigkeit vom Treffen getrennter Ziele zum Balancieren fürs gesicherte Treffen.

    Der bekannte Spruch ‘Schieß die Wand an’ entstand ja nicht von ungefähr…

  25. #25 regow
    13. April 2014

    @Thilo bei #19
    OK mit 10^n>10n, gilt vielleicht für n größergleich 2.

    Aber ganz oben steht n^10>10n, für alle n größergleich 2 – und das stimmt halt auch für kleinere n.

  26. #26 LasurCyan
    13. April 2014

    @rolak
    My dear, mein *nice try* bezog sich ja eben auf sein “Balancieren” …naja, redet man mal durch die Blume…

  27. #27 hubert taber
    13. April 2014

    @ rolak :
    diese eine ausnahme 10^10 bestätigt nur die regel.

    und lasur spricht nicht durch die blume, sondern wirr.

  28. #28 rolak
    13. April 2014

    ausnahme .. bestätigt nur die regel

    Dieses Mathematikverständnis erklärt elegant die wirren Buchstabensuppen, auf die HT an- und ausdauernd verlinkt: Lauter Ausnahmen, die die Grundregel bestätigen, daß er ein Genie ist.

  29. #29 hubert taber
    13. April 2014

    über 10 “kippt” diese ungleichung nochmals.
    leider habe ich solche potenzen vorher nicht nachgerechnet.

    und auf
    http://science.orf.at/stories/1687300
    beschrieb ich einen versuch, den jeder nachvollziehen kann.
    und am ergebnis dieses experiments ist tatsächlich nicht zu rütteln.

    auch wenn es manchen nicht in den kram passt.

    mfg. hubert taber