Besonders minimalistisch geht es im Dezemberblatt des KIAS-Wandkalenders zu: die einfachsten Knoten, die einfachste projektive Ebene, die einfachste topologische Formel. Und noch allerlei Überraschendes aus Elementargeometrie, elementarer Zahlentheorie und dem Rechnen mit divergenten Reihen.
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Im Dezember ist alles besonders einfach: die 2 zeigt den einfachsten und ältesten topologischen Lehrsatz: die Berechnung der Euler-Charakteristik der 2-dimensionalen Sphäre; die 3 zeigt den (nach dem Unknoten) einfachsten Knoten: die Kleeblattschlinge, und die 8 den einfachsten hyperbolischen Knoten: den Achterknoten; die 7 schließlich zeigt die einfachste projektive Ebene: die Fano-Ebene.

Die 9 zeigt die neun besonderen Punkte auf dem Feuerbachkreis und die 11 eine der elf Möglichkeiten, ein Würfelnetz in der Ebene auszulegen.

Bei der 12 (Bild unten) geht es darum, weshalb die paradoxe Gleichung
1+2+3+4+5+\ldots = -\frac{1}{12}
Sinn macht – darüber hatten wir im Januar mal was geschrieben. (Übrigens der meistgelesene Mathlog-Artikel bisher in diesem Jahr.) Ein anderes Beispiel einer divergenten Reihe steht bei der 4: 1 − 2 + 3 − 4 + ⋯

Keith-Zahlen werden auch als “repfigit numbers” (für “repetitive Fibonacci-like digit“) bezeichnet, 14 ist die kleinste von ihnen.

Auf elliptischen Kurven kann man eine “Addition” definieren, was in der Kryptographie äußerst nützlich ist. (Siehe Kryptographie X.) Manche rationalen Punkte haben dann endliche Ordnung, d.h. durch wiederholtes Addieren desselben Punktes bekommt man am Ende wieder das neutrale Element (den Punkt im Unendlichen). Solche Punkte endlicher Ordnung bezeichnet man als Torsionspunkte und erstaunlicherweise kann die Ordnung eines rationalen Punktes nie größer als 16 sein. (Nachtrag, siehe Kommentare: die Ordnung eines rationalen Punktes kann sogar nie größer als 12 sein. Die maximale Ordnung der Gruppe aller Torsionselemente ist 16.)

Dass man jede Zahl als Summe von 19 vierten Potenzen n=x_1^4+x_2^4+\ldots+x_{19}^4 zerlegen kann, ist ein Spezialfall des Waringschen Problems, bewiesen wurde es erst 1986 von Ramachandran Balasubramanian.

Ziemlich überraschend finde ich, dass jede Primzahl – wenn man sie im Dezimalsystem aufschreibt — eine der folgenden 26 minimalen Primzahlen als “Teilstring” enthält: 2, 3, 5, 7, 11, 19, 41, 61, 89, 409, 449, 499, 881, 991, 6469, 6949, 9001, 9049, 9649, 9949, 60649, 666649, 946669, 60000049, 66000049, 66600049. Das wurde wohl erst 2001 von Jeffrey Shallit herausgefunden.

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Die bisherigen Blätter:
November
Oktober
September
August
Juli und an dessen Ende die Links zu März-Juni.

Kommentare (5)

  1. #1 Frank Wappler
    https://www.google.de/#q=%22gram+matrix+analysis%22
    2. Dezember 2014

    Thilo schrieb (Dezember 2, 2014):
    > KIAS-Kalender Dezember 2014 […]

    Die im Feld 29 gezeigten Zahlen spielen offenbar darauf an, dass sich die Zahl 29 auch als \sqrt{ 12^2 + 16^2 + 21^2 } schreiben lässt.

    Allerdings ist der dort außerdem gezeigten Figur wohl nur zu entnehmen, dass von vier Punkten (A, B, C, D), für die drei von fünf Seitenverhältnissen als

    \frac{BC}{AB} = \frac{16}{12}, \quad \frac{CD}{BC} = \frac{21}{16} und \frac{DA}{CD} = \frac{29}{21} gegeben sind,

    keine drei zueinander gerade liegen.

  2. #2 volki
    2. Dezember 2014

    @Thilo

    Zu 16) Die höchste Ordnung die ein rationaler Punkt auf einer elliptischenn Kurve haben kann ist 16. Allerdings ist die größte Torsionsgruppe einer elliptischen Kurve über Q isomorph zu Z_2 x Z_8.

    Siehe hierzu auch:
    http://planetmath.org/mazurstheoremontorsionofellipticcurves

  3. #3 volki
    2. Dezember 2014

    Hätte den Kommentar besser lesen sollen vor dem Abschicken. Der erste Satz hätte heissen sollen:

    Die höchste Ordnung die ein rationaler Punkt auf einer elliptischenn Kurve haben kann ist nicht 16 sondern nur 12.

  4. #4 Thilo
    2. Dezember 2014

    Hab’s im Artikel ergänzt.

  5. […] anderen Blätter: Dezember November Oktober September August Juli und an dessen Ende die Links zu […]