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Topological invariants can be used to quantify complexity in abstract paintings ist der Titel einer letzte Woche in “Knowledge-Based Sytems” erschienen Arbeit von E. de la Calleja und R. Zenit. Es geht um die Bilder von Jackson Pollock, deren Komplexität mit topologischen Invarianten erfaßt werden soll.

Konkret geht es um die Betti-Zahlen, also die Dimension der Homologiegruppen der Gemälde. Ein Satz von Andreas Zastrow besagt, dass für Teilmengen der Ebene nur die 0-te und 1-te Betti-Zahl von Null verschieden sein können. Die Autoren der Arbeit über Gemälde meinen nun, dass sich besonders komplexe Gemälde dadurch auszeichnen, dass 0-te und 1-te Bettizahl annähernd gleich seien. Anschaulich bedeutet dass, das im Gemälde viele Kreise und wenige nicht-geschlossene Kurven vorkommen. Ein Ergebnis ihrer Arbeit ist erwartungsgemäß, dass Pollocks Bilder in diesem Sinne komplex sind.

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Die selbe Hauptautorin (mit Cervantes und L. de la Calleja) hatten vor einem Jahr schon die Arbeit Order-fractal transition in abstract paintings veröffentlicht, in der es ebenfalls um die Gemälde von Jackson Pollock ging – damals aus dem Blickwinkel der fraktalen Geometrie: die Hausdorffdimension ist fast 2 (es handelt sich also um Fraktale) und in einigen der Gemälde finden sich auch selbstähnliche Strukturen.

Während die fraktale Dimension in Pollocks Bildern von Jahr zu Jahr zunahm, kommt die neue Arbeit jetzt zu dem Ergebnis, dass dies bei der topologischen Komplexität nicht der Fall war, diese also ihr Maximum noch in der Mitte von Pollocks Schaffensphase erreicht hatte und zwar zu der Zeit, als Pollock seine Technik perfektionierte.

IMG_0818

Mehr bei der AMS

Bilder von Wikimedia Commons: G. de Besanez, A. Mabbett, A. Mabbett

Kommentare (33)

  1. #1 Robert
    29. Juni 2017

    Es gibt viele Algorithmen, die Fraktale als Grenzwert haben. Mich würde interessieren, ob Pollock sie mit einem Computer vorher erprobt hat.
    Oder ist die fraktale Deutung seiner Grafik hinterher entstanden.

  2. #2 user unknown
    https://demystifikation.wordpress.com/2013/09/25/was-halten-sie-von-moderner-kunst/
    29. Juni 2017

    @Robert:

    Ich muss zugeben, dass mein Interesse an Fragen auch oft nur so groß ist, in den Raum zu fragen und mir die Antwort hinterherzutragen, statt eine eigene Recherche zu beginnen, deren Dauer im Voraus unbestimmt und deren Ergebnis ungewiss ist.

    Das führt dann leicht zu peinlichen Ergebnissen wie diesem:

    Wikipedia, Jackson Pollock, Satz 1:

    Paul Jackson Pollock (* 28. Januar 1912 in Cody, Wyoming; † 11. August 1956 in Springs-East Hampton, New York) war ein US-amerikanischer Maler des abstrakten Expressionismus der New York School.

    Wikipedia, Fraktal, Satz 1:

    Fraktal ist ein vom Mathematiker Benoît Mandelbrot 1975 geprägter Begriff (lateinisch fractus ‚gebrochen‘, von lateinisch frangere‚ (in Stücke zer-)‚brechen‘), der bestimmte natürliche oder künstliche Gebilde oder geometrische Muster bezeichnet.

    Weitere Fragen, etwa was dieses Wikipediadings ist und ob man Google essen kann? 😉

  3. #3 Robert
    29. Juni 2017

    user unknown,
    ……Fraktale,
    die Erklärung von Wikipedia ist für Leute, die schon wissen, was ein Fraktal ist. Da gebe ich Dir recht.

    Fraktal ist vereinfacht gesagt eine mathematische Gleichung, die wenn man sie ausdruckt eine schöne Form ergibt.
    Aber im Gegensatz zur normalen Geometrie sind diese Formen endlos und wiederholen sich.
    Meine Frage ging in die Richtung, ob Pollock diese Formen mit dem Computer gemacht hat, oder ob ein Kunstkritiker sie als Fraktal bezeichnet, weil sie so aussehen. Ich tendiere zur zweiten Meinung.
    Thilo sollte mal etwas dazu sagen.

  4. #4 Thilo
    29. Juni 2017

    Pollock hat diese Formen sicher nicht mit dem Rechner gefunden, weil das zu seiner Zeit noch gar nicht machbar gewesen sein dürfte.

  5. #5 Robert
    29. Juni 2017

    Thilo,
    Dann könnte man ja sagen, Pollock war seiner Zeit voraus. Schade , dass er so früh gestorben ist.

    Meine persönliche Meinung: Fraktale sind auf den ersten Blick phantastisch. Dann werden sie schnell langweilig, vielleicht, weil sie selbstähnlich sind.

    • #6 user unknown
      https://demystifikation.wordpress.com/2017/06/29/spannung-auf-den-letzten-metern/
      29. Juni 2017

      Wenn Fraktale 1975 erstmalig beschrieben wurden, und Pollock 56 gestorben ist, ich weiß nicht, welche Frage dann noch offen sein soll.

  6. #7 Robert
    29. Juni 2017

    user unknown,
    Mandelbrot und Gaston Julia haben schon viel früher die Fraktale entdeckt, was soll diese scharfsinnige Bemerkung?
    Hast du schon einmal ein Buch über Konversation gelesen?

  7. #8 Clefrotion
    29. Juni 2017

    Robert,
    meines Wissens nach sind Fraktale nicht notwendigerweise selbstähnlich. Und selbstähnliche Objekte sind nicht notwendigerweise fraktal. Ein Quadrat ist beispielsweise perfekt selbstähnlich, jedoch sicher nicht fraktal.

  8. #9 tomtoo
    29. Juni 2017

    @Clefrotion

    Wenn @Robert mal sein Meinung gefasst hatt, ist es volkommen Wurst was @Thilo so schreibt. ; )

    http://scienceblogs.de/mathlog/2017/02/26/fraktale-sind-nicht-selbstaehnlich/

  9. #10 user unknown
    https://demystifikation.wordpress.com/2017/06/22/postfreezenwitz/
    29. Juni 2017

    @Robobert

    Mandelbrot und Gaston Julia haben schon viel früher die Fraktale entdeckt

    Soso.

    Fraktal ist ein vom Mathematiker Benoît Mandelbrot 1975 geprägter Begriff

    Sprichst Du von einem anderen Mandelbrot, oder was willst Du sagen?

    @ciefrotion:

    Ein Quadrat ist beispielsweise perfekt selbstähnlich, jedoch sicher nicht fraktal.

    Inwiefern soll ein Quadrat selbstähnlich sein?

  10. #11 Clefrotion
    29. Juni 2017

    @user unknown
    Objekte wie die Julia-Menge oder der Cantor-Staub waren lange vor 1975 bekannt.

    Ich weiß nicht, was genau Robert mit dem Hinweis auf Mandelbrot meint. Aber Mandelbrot hat seine Arbeiten in der fraktalen Geometrie sicher nicht mit der Definition des Begriffs “Fraktal” begonnen.

    Inwiefern soll ein Quadrat selbstähnlich sein?

    In genau derselben Art in der ein Sierpinski-Dreieck selbstähnlich ist. Das Objekt besteht aus mehreren um einen gewissen Faktor verkleinerten Kopien seiner selbst.

    • #12 user unknown
      https://demystifikation.wordpress.com/2015/06/21/mengenlehre/
      29. Juni 2017

      Dass ein Quadrat aus mehreren, um einen gewissen Faktor verkleinerten Kopien seiner selbst besteht, ist mir noch nicht aufgefallen.

      Gibt es eine grafische Darstellung dieses Fakts?

  11. #13 Clefrotion
    29. Juni 2017

    @user unknown
    Hä? Man skaliere ein Quadrat um den Faktor 1/2 (die lineare Ausdehnung betreffend). Vier Kopien des so verkleinerten Quadrats füllen exakt die Fläche des ursprünglichen Quadrats aus.

    Oder als Formel

    [0,1]^2 = [0,1/2]^2 ∪ ([0,1/2] × [1/2,1]) ∪ ([1/2,1] × [0,1/2]) ∪ [1/2, 1]^2

    wobei die vier Mengen auf der rechten Seite alle durch Translation ineinander überführt werden können, durch Skalierung in [0, 1]^2 transformierbar sind, und ihr paarweiser Schnitt jeweils Maß Null hat.

    • #14 user unknown
      https://demystifikation.wordpress.com/2015/06/25/quadratur-des-kreises/
      30. Juni 2017

      Ein Quadrat ist aber nicht 4 Quadraten ähnlich, wenn Du den Rand zeichnest. Ein normales, gleichseitiges Dreieck ist ja auch kein Sierpinskidreieck.

      Wenn ich in ein Quadrat näher reinzoome tauchen keine weiteren Quadrate auf. Teile ich es in 2 Dreiecke erst recht nicht. Geteilt ist es kein Quadrat mehr und ungeilt taucht nichts auf, dass einem Quadrat ähnlich wäre.

  12. #15 Robert
    30. Juni 2017

    clefrotion,
    ….Selbstähnlichkeit bei den Fraktalen meint, dass du nur einen Punkt innerhalb des Fraktals herauszoomen kannst und du das gleiche Fraktal noch einmal erhältst.

    Also beenden wir diese Art von Diskussion, ich habe schon um 1985 Fraktale programmiert und ausgedruckt.
    Wenn man einen Begriff für etwas findet, dann bedeutet das nicht, dass es den Sachverhalt vorher noch nicht gegeben hat.
    user unknown,
    keine Haaspaltereien, ich habe auch keine Lust genau nachzulesen, wer wann was gesagt hat.
    Gaston Julia hat schon vor dem 2. Weltkrieg die Grundlagen für die später so genannten Fraktale geschaffen.

  13. #16 Clefrotion
    30. Juni 2017

    @Robert,
    Naja, einen Punkt kann man so viel zoomen wie man will, der bleibt immer ein Punkt. Folglich wäre ein Punkt die einzige selbstähnliche Menge. Das ist also keine sinnvolle Definition. Besser ist z.B: “Eine Menge (in irgend einem R^n) ist dann selbstähnlich, wenn sie eine echte Teilmenge hat, die durch Skalierung, Translation, und Rotation in die Ausgangsmenge überführt werden kann.”

    In diesem Sinne sind manche Fraktale selbstähnlich (Cantor-Staub, Koch-Kurve, Menger-Schwamm, Sierpinski-Dreieck, …), andere jedoch offensichtlich nicht. Schon die Kochsche Schneeflocke ist in diesem Sinn nicht selbstähnlich. Hingegen sind in diesem Sinn auch einige nicht fraktale Mengen selbstähnlich, etwa das schon erwähnte Quadrat.

    Es gibt allgemeinere Definitionen von Selbstähnlichkeit, gemäß denen dann auch andere Fraktale wie die bekannten Julia-Mengen oder die Mandelbrot-Menge selbstähnlich sind. Strecken, Quadrate, Würfel, … sind aber auch dann immer noch selbstähnlich.

  14. #17 Clefrotion
    30. Juni 2017

    @user unknown:
    Ich sprach nicht vom Rand eines Quadrats, sondern von dessen Innerem (mit oder ohne Rand).

    • #18 user unknown
      https://demystifikation.wordpress.com/2016/03/31/sprachpolizei/
      30. Juni 2017

      Ich bin nicht im Geometriebusiness und habe seit dem Abi wenig mit Geometrie zu tun gehabt, daher meine vielleicht naive Auffassung: Wenn ich in ein Quadrat hineinzoome finde ich darin keine weiteren Quadrate. Wenn ich die Grenze zw. Quadrat und Nichtquadrat heranzoome finde ich da auch nichts Quadratähnliches. Ja – ich kann ein Quadrat in 4 Quadrate aufteilen oder in 9 oder 16 usw. – aber von sich aus ist das Quadrat nicht aufgeteilt in geometrische Teilfiguren.
      Und wenn mir das willkürlich überlassen wird, dann kann ich das Quadrat auch in 2 Dreiecke aufteilen oder in 4 oder … – daher halte ich die Aussage ein Quadrat sei selbstähnlich für nicht einsichtig. Ist dann ein Zylinder auch selbstähnlich, weil ich ihn in mehrere Teilzylinder zerschneiden könnte?

      Womöglich hat die Mathematik aber eine Definition der Selbstähnlichkeit entwickelt, unter die ein Quadrat fällt. Ich lasse mich da ungern, aber letztlich doch, belehren. Da ich aber fachfremd bin könnte es leicht passieren, das meine Geduld vorher erlahmt.

  15. #19 Robert
    30. Juni 2017

    Clefrotion,
    ….Punkt,
    das war irreführend formuliert, es geht ja um die Grenzwerte einer Funktion, der Punkt repräsentiert diesen Grenzwert.
    user unknown,
    bei der Selbstähnlichkeit kommt es nur auf die Skalierung an. In diesem Sinne hast du Recht.
    Da ist das kleine Quadrat selbstähnlich zum größeren.
    Ob das in der Mathematik so definiert ist, weiß ich nicht.

  16. #20 tomtoo
    1. Juli 2017

    Ich als Mathe Dumpfbacke hab mal gelesen das zur Definition eines Fraktals nicht Differenziebare Randbedingungen gehören. Was immer das auch bedeutet?
    Ist ein Quadrat Differenzierbar an den Ecken ?

  17. #21 Thilo
    1. Juli 2017

    Unter einem Fraktal versteht man üblicherweise eine Punktmenge, deren Hausdorffdimension größer ist als ihre topologische Dimension. Das kann bspw. für differenzierbare Kurven (oder auch für nur fast überall differenzierbare Kurven) nicht der Fall sein.

    Das Quadrat ist nicht differenzierbar in den Ecken, aber das sind nur 4 einzelne Punkte – es ist fast überall differenzierbar. Die Hausdorffdimension ist genauso wie de topooogische Dimension gleich 2 bzw. für die Randkirve gleich 1.

  18. #22 rolak
    1. Juli 2017

    Randkirve

    Ränder haben Paten, wenn sie abgeschnitten werden, Thilo? Man lernt nie aus…

    Das so richtig Tolle an Clefrotions Definition der Selbstähnlichkeit: Selbstbezüglichkeit. ~’Eine Fläche ist selbstähnlich, wenn eine Verkleinerung von ihr abgesehen von der Größe genauso aussieht wie das Original.’

  19. #23 Clefrotion
    1. Juli 2017

    Anscheinend ist der lange Kommentar, den ich gestern gepostet hatte, irgendwie verloren gegangen (vielleicht wegen zu vielen Links im Spam-Filter gelandet?). Ich versuche es einfach nochmal, dieses Mal ohne Links:

    @user unknown:
    Selbstverständlich hängt das von der Definition des Begriffs “selbstähnlich” ab. Ich habe oben in Kommentar #16 eine sehr einfache mögliche Definition gegeben. Nach dieser Definition sind manche (aber nicht alle) Fraktale selbstähnlich, ebenso manche nicht-fraktale Mengen wie etwa das Quadrat.

    Man könnte diese Definition noch verschärfen, etwa um die Bedingung, dass die Menge in mehrere Teilmengen disjunkt zerlegbar sein muss (vielleicht bis auf vernachlässigbare Teile), und diese jeweils ähnlich zur Gesamtmenge sein müssen. Auch diese Bedingung wird vom Quadrat erfüllt, nicht hingegen vom Zylinder.

    Andererseits könnte man die Definition “abschwächen”. Z.B. könnte man fordern, dass die Menge in mehrere Teilmengen zerfällt (bis auf vernachlässigbare Teile) und diese ähnlich sind zu Teilen der Gesamtmenge (mit Skalierungsfaktor ungleich 1 um den Trivialfall auszuschließen). Damit wäre dann auch die Kochsche Schneeflocke selbstähnlich. Und das Quadrat wäre immer noch selbstähnlich.

    Die exakte Definition die in der fraktalen Geometrie verwendet wird ist mir nicht bekannt; das ist nicht mein Fachgebiet. Und leider hat bislang kein anderer Kommentator hier eine sinnvolle Definition geliefert.

    Die Definition aus der englischsprachigen Wikipedia (im Artikel “Self-similarity”) ist soweit ich das sehe eine Verallgemeinerung meiner verschärften Definition und das Quadrat erfüllt sie. Auch in der deutschen Wikipedia (im Artikel “Selbstähnlichkeit”, wo die Definition sehr unscharf gehalten ist) heißt es, dass ein Punkt oder eine Gerade selbstähnlich seien. Und diese sind offensichtlich ebenfalls keine Fraktale. Und in dem Video aus dem Artikel den tomtoo in Kommentar #9 verlinkt hat wird eine Definition von Selbstähnlichkeit verwendet (ab 3:09), die Strecken, Quadrate, und Würfel erfüllen (auch wenn keine explizite Definition genannt wird).

    Wenn Du also eine Definition von “selbstähnlich” hast, die das Quadrat nicht erfüllt, aber beispielsweise der Sierpinski-Teppich (um ein Fraktal zu nennen, das einem Quadrat sehr “ähnlich” ist), dann würde ich diese gerne hören.

    @Robert:
    Naja, eigentlich geht es um Mengen, bzw. genauer um “Mengen mit Struktur”. Also z.B. um topologische oder metrische Räume. Dass diese manchmal durch einen iterativen Prozess definiert werden können (“Grenzwert” ist nicht unbedingt das richtige Wort), spielt meiner Meinung nach hier keine große Rolle. Man könnte schließlich auch eine nicht-iterative Definition wählen. Also sollte die Definition der Eigenschaft “Selbstähnlichkeit” nicht davon abhängen.

  20. #24 Thilo
    2. Juli 2017

    Kommentare mit mehreren Iinks bleiben meist im Spamfilterhängen. In ruhigeren Zeiten schaue ich den Spamfilter vor dem Löschen nochmal durch,aber aktuell habe ich Spamwellen mit mehreren Hundert Spamkommentaren am Tag, da geht das nicht mehr.

  21. #25 user unknown
    https://demystifikation.wordpress.com/2017/07/02/apustelgeschichte/
    3. Juli 2017

    @Clefrotion

    Selbstverständlich hängt das von der Definition des Begriffs “selbstähnlich” ab. Ich habe oben in Kommentar #16 eine sehr einfache mögliche Definition gegeben. Nach dieser Definition sind manche (aber nicht alle) Fraktale selbstähnlich, ebenso manche nicht-fraktale Mengen wie etwa das Quadrat.

    Also für mich, als Nichtmathematiker, ist es nicht leicht. Dass ein Quadrat eine Menge sein soll überfordert mich schon, aber ich sehe ein, dass ich dann als Nichtfachmann offenbar keine Ahnung habe.

    Ich würde ja noch folgendes einsehen: Wenn ich nur eine Ecke eines Quadrats sehe, sagen wir ein Quadrat, das rechtwinklig und parallel zu den Achsen des Achsenkreuzes liegt, dass ich dann nicht sagen kann, wie groß das Quadrat ist, und ich kann näher und näher heranzoomen, und es wird immer gleich aussehen, eine Ecke halt.

    Aber wenn ich zwei Ecken sehe, und hineinzoome, wird eine Ecke mindestens aus dem Fokus herauswandern und keine ähnliche Struktur verkleinert wieder auftauchen, so weit ich auch zoome. Gut – diese Betrachtungsweise ist offenbar falsch, habe ich gelernt. So ist Ähnlichkeit nicht gemeint.

  22. #26 erik||e oder wie auch immer . . . ..
    3. Juli 2017

    . . . .. die Frage ist doch: Was war zuerst, die Mathematik oder die praktische, künstlerische Anwendung (von Mathematik)? . . . .. oh . . . .. die Frage hat sich selbst beantwortet . . . ..

    . . . .. den Baumeistern von katholischen Kathedralen im Mittelalter ging es nicht anders . . . .. neues Wissen kam aus der praktischen Anwendung . . . ..

    . . . .. in den Kommentaren muss man sich im “Definitionen bauen” beweisen . . . .. irgendwie danach streben “Genauigkeit” und “Schönheit” auf einen Punkt zu bringen . . . ..

    . . . .. ein Wettbewerb zwischen Laien und Profis, zwischen praktischen Anwendern und abstrakten Theoretikern . . . .. Schönheit liegt im Auge des Betrachters/in . . . .. Wer misst die Genauigkeit? . . . ..

  23. #27 Robert
    3. Juli 2017

    Erik,
    ….Mathematik und ihre Anwendung,
    das kannst du nicht trennen. Der Sinn der Mathematik liegt in ihrer Anwendung.
    Allerdings kommt ihr auch eine ästhetische Dimension zu. Man kann sich an Zahlenreihen erfreuen, man kann sich an den Gesetzmäßigkeiten erfreuen. Wie anders ist es zu erklären, dass sich Menschen stundenlang mit Zahlen beschäftigen und darin Befriedigung sehen.
    Vielleicht spielt auch Eitelkeit eine Rolle, wer ist klüger, die Mathematik oder ich? (bildhaft gesprochen)

  24. #28 erik||e oder wie auch immer . . . ..
    3. Juli 2017

    @Robert
    Ich betrachte folgende Kausalkette: es muss eine “sinnhafte Mathematik” im Künstler/Baumeister/injedemMenschen existieren, welche die Hand des Pinsels/Hammers führt, um in Form des Kunstwerkes sichtbar zu werden. Diese Form des praktischen Anwenders von “sinnhafter Mathematik” inspiriert den abstrakt denkenden Mathematiker: er findet seine abstrakten Formen bestätigt: die abstrakte Theorie entspringt dem Denken des Mathematikers, welche wohl auch auf dessen “sinnhafte Mathematik” zurückzuführen ist.

    . . . .. die Mathematiker/in sind wohl auch eine Art von Künstler/innen . . . .. sie führt eine “sinnliche Hand”, welche dann die tatsächliche Hand zu wundervollen Beweisen von Theoremen und vielen anderen geometrischen Formen zu Papier oder Bildschirm führt . . . ..

    Ich trenne Mathematik und Anwendung, um diese wieder in einer Kausalkette zusammen zu führen. Es zeigt sich, das sich keine Kausalkette darstellt, sondern ein Kausalkubus sich zeigt. Künstler/Mathematiker/Mensch bewegen sich in einem Kubus von “sinnhafter Mathematik” aus welchen ihre Krativität schöpft. Sie tun dies getrennt voneinander und entdecken Momente, wo sie ihre Kreativität im Anderen bestätigt sehen . . . ..
    . . . .. ich persönlich sage zum Kausalkubus: Tensorfeld , , , ,, ein Tensorfeld aus dem ich “Nuggets schürfe” . . . .. andere müssen in der Erde buddeln, um Nuggets zu schürfen . . . .. oder machen eine “Gas Monkey Garage/Bar” auf oder ähnliches . . . .. alles Mathematik gesponsert vom Kausalkubus . . . ..

  25. #29 Clefrotion
    4. Juli 2017

    @user unknown:

    Dass ein Quadrat eine Menge sein soll überfordert mich schon…

    Tut mir leid, das verstehe ich nicht. Was soll ein Quadrat denn sonst sein, wenn es keine Menge (von Punkten) ist? Kein Wunder dass wir aneinander vorbeireden, wenn wir schon auf so fundamentaler Ebene unterschiedliche Begriffe verwenden.

    Gut – diese Betrachtungsweise ist offenbar falsch, habe ich gelernt.

    Ein so allgemeines “richtig” oder “falsch” gibt es selten. Es kommt immer auf die Begriffe/Definitionen an. Und welche Definitionen man wählt, wird üblicherweise davon abhängen, welche “nützlich” sind. Wie gesagt wäre ich schon daran interessiert, alternative Definitionen zu hören. Es schien mir am offensichtlichsten und einfachsten, ein Objekt selbstähnlich zu nennen, wenn es in mehrere Teile zerlegt werden kann, wobei diese Teile jeweils zum ganzen Objekt ähnlich sind.

  26. #30 rolak
    5. Juli 2017

    Das ist ja auch der einzig wahre Weg in der WissenschaftsDisziplin, die Definitionen vorgibt, tatsächlich Beweise umfaßt und sich Mathe nennt, ne, Clefrotion? Schlicht die Begriffe nach eigenem Gusto mit neuen Inhalten und Bedeutungen füllen – ist sogar schon vertont worden.

    Sie reden wirr. Reset to Zero? Oder ist das schon das Ergebnis von einem?

  27. #31 Robert
    5. Juli 2017

    Erik,
    ……Kausalkubus,
    das ist eine schöne Metapher mit der du Wissenschaft und Kunst vereinst.

  28. #32 user unknown
    https://demystifikation.wordpress.com/2017/07/04/demokratie-und-ueberstunden/
    5. Juli 2017

    > Was soll ein Quadrat denn sonst sein, wenn es keine Menge (von Punkten) ist?

    Ich habe noch nie so darüber nachgedacht, dass es eine Menge von Punkten ist, was ja auch unhandlich ist, weil diese Menge unendlich ist. Bislang habe ich Quadrate nur als geometrische Figur, als 2-dimensionale Form betrachtet.

    Ich habe gedacht, der Umriss müsse sich in kleinerem Maßstab wiederholen, wenn man von einer fraktalen Figur spricht, aber eine wissenschaftstaugliche Definition habe nicht anzubieten.

  29. #33 Clefrotion
    8. Juli 2017

    @rolak:
    Sie scheinen ein etwas merkwürdiges Verständnis von der Mathematik zu haben.

    Ein Begriff wie “selbstähnlich” bedeutet in der Mathematik zunächst einmal gar nichts, bevor man ihn nicht definiert hat. Natürlich sollte eine solche Definition versuchen, das was man anschaulich mit “selbstähnlich” meint in irgendeiner Art zu fassen. Aber abgesehen davon ist man in der Tat frei, seine Definitionen “nach eigenem Gusto” zu wählen. Und das tun Mathematiker auch tagtäglich (selbstverständlich meist nicht für so “große” Begriffe wie “selbstähnlich”).

    Die so gewonnenen Erkenntnisse sind dann natürlich nicht notwendigerweise auf andere Kontexte übertragbar in denen andere Definitionen gewählt wurden. Wenn man mit Nicht-Standard-Definitionen arbeitet, ist das daher stets deutlich zu machen.

    Und ja, selbstverständlich gibt es algebraische Strukturen in denen Pippi recht hat (also solche in denen 2 * 3 = 4 oder (2 * 3) + 3 = 9 wahr ist).

    Wenn Sie das wirr finden, sind Sie möglicherweise falsch in der Mathematik.

    Wie ich bereits weiter oben schrieb, führt auch die Definition aus der englischsprachigen Wikipedia (die vermutlich deutlich näher an der in der Fachwelt verwendeten Definition ist als meine) zum selben Ergebnis, also dass Quadrate selbstähnlich sind. Nur werden dort so schöne Begriffe wie “nicht-surjektive Homöomorphismen” verwendet. Dass eine solche Definition vielleicht nicht optimal ist für ein Forum das nicht nur von Fachleuten besucht wird, ist hoffentlich unstrittig.

    Meine Hoffnung war, eine möglichst einfach verständliche und anschauliche Definition zu geben, anhand derer man erkennen kann, dass es sinnvoll sein kann, Quadrate “selbstähnlich” zu nennen. Anscheinend ist mir das nicht gelungen.

    @user unknown:
    Mit Mengen lässt sich sehr viel einfacher arbeiten als mit (IMHO) eher nebulösen Konzepten wie “geometrischen Figuren” oder “2-dimensionalen Formen”. Dass man es mit unendlichen Mengen zu tun hat, macht hier zum Glück keine Schwierigkeiten.

    Naja, “Umriss” ist halt auch wieder so ein schwieriger Begriff bei dem man sich erst einmal überlegen müsste, wie genau man den definiert.