In Émile Borels 1894 eingereichter Dissertation „Sur quelques points de la théorie des fonctions“ ging es eigentlich um eine Verallgemeinerung der Methode der analytischen Fortsetzung. Als Hilfsmittel bewies er dabei aber auch einen Satz, von dem er meinte, dass er „von unabhängigem Interesse“ sein dürfte: wenn man das abgeschlossene Intervall [a,b] durch offene Intervalle überdeckt, dann kann man endlich viele solcher Intervalle auswählen, die bereits ganz [a,b] überdeckt.

Borel bewies eigentlich einen etwas schwächeren Satz: Jede abzählbare Überdeckung eines abgeschlossenen Intervalls durch offene Mengen hat bereits eine endliche Teilüberdeckung. Die Abzählbarkeit ist hier aber nicht notwendig. Heute bezeichnet man als Satz von Heine-Borel meist folgende Verallgemeinerung: eine Teilmenge des Rn ist genau dann abgeschlossen und beschränkt, wenn jede Überdeckung durch offene Mengen bereits eine endliche Teilüberdeckung hat.

Das Bild oben zeigt eine offene Überdeckung einer abgeschlossenen und beschränkten Menge. Im Bild besteht diese offene Überdeckung bereits aus endlich vielen Mengen, die Folgerung des Satzes ist also trivialerweise erfüllt. Ein nichttriviales Beispiel, wie man den Satz typischerweise anwendet, besteht darin, dass man um jeden Punkt der Menge eine offene Kugel betrachtet. Das ist eine (unendliche) offene Überdeckung der Menge. Egal wie groß (oder klein) die Radien der Kugeln gewählt werden, der Satz besagt, dass man immer endlich viele Kugeln auswählen kann, die bereits die ganze Menge überdecken.

In einer Arbeit Sur la correspondance de Borel et le théorème de Dirichlet-Heine-Weierstrass-Borel-Schoenflies-Lebesgue ist Pierre Dugac der Geschichte des Satzes von Heine-Borel nachgegangen. Tatsächlich hatten sowohl Heine als auch Dirichlet und Weierstraß diesen Satz bereits verwendet. (Heine und auch schon Dirichlet hatten damit die gleichmäßige Stetigkeit stetiger Funktionen auf abgeschlossenen Intervallen bewiesen.)
Borel war aber der erste, der ihn formulierte und bewies (für abzählbare Überdeckungen).

Fast gleichzeitig mit Borel bewies Pierre Cousin in einer ebenfalls funktionentheoretischen Arbeit im Wesentlichen denselben Satz (für Teilmengen der Ebene und nicht notwendig abzählbare Überdeckungen).
Den heute üblichen Beweis (für Intervalle) fand Lebesgue 1904: er betrachtete zu einem mit offenen Intervallen überdeckten Intervall [a,b] die Menge der Punkte x, für die es keine endliche Menge an offenen Intervallen gibt, welche [a,x] bereits überdecken. Diese Menge hat eine größte untere Schranke x0. Dieser Punkt liegt aber in einem offenen Intervall, so dass man einen Widerspruch zur Maximalität von x0 bekommt.

Mengen, die die Schlußfolgerung des Überdeckungssatzes erfüllen, bezeichnet man heute als kompakte Mengen. Einige der elementaren (im Sinne von für die Mathematik lebensnotwendigen) Anwendungen von Kompaktheit hat Terence Tao in seinem Artikel Compactness and compactifications aufgeführt:

– stetige Funktionen sind beschränkt und nehmen ihr Maximum und Minimum an,

– alle Folgen haben Häufungspunkte,

— und ganz allgemein kann man lokale Kontrolle in globale Kontrolle verwandeln.

Ein Beispiel für letzteres Phänomen ist natürlich die gleichmäßige Stetigkeit stetiger Funktionen auf kompakten Mengen, bei deren Beweis sich das Konzept ursprünglich bei Dirichlet und Heine auf natürliche Weise ergeben hatte. Ein anderes typisches Beispiel ist, dass auf kompakten Mannigfaltigkeiten M die Lösungen einer gewöhnlichen Differentialgleichung für alle Zeiten existieren: nach den bekannten (lokalen) Existenz- und Eindeutigkeitssätzen hat man zu jedem Punkt x eine Umgebung Ux und ein kleines Zeitintervall (-εxx), auf dem eine eindeutige Lösung existiert. Die Ux bilden eine offene Überdeckung, also gibt es endlich viele, die M bereits überdecken. Zu den endlich vielen zu dieser Teilüberdeckung gehörenden εx gibt es ein positives Minimum, also eine positive Zahl, bis zu der die Lösung der Differentialgleichung überall existiert, woraus leicht die Existenz der Lösung für alle Zeiten folgt.

Kommentare (10)

  1. #1 Nichtsendenichts
    3. Oktober 2019

    Es ist ein offenes Geheimnis, dass unser Physik-Raum kein kompakter Mathe-Raum ist.
    Einstein interpretierte aus dogmatischen Gründen Gravitation nicht als quantisierbares, Unstetigkeitsstellen überdeckendes Führungs-Feld, welches aus einem zerissenen unstetigen Mathe-Raum einen schönen kompakten Matheraum macht, in dem Erhaltungssätze funktionieren bzw. das nicht schlammige Noether-Theorem “beweisbar” ist.

    DOGMA: Dunkle Materie-Teilchen sind keine Quanten eines kompaktifizierenden Umleitungs-Feldes!

    Zu Ehren von (poorly informed) Asperger Autistin Greta Thunberg, Tochter von Malena Ernman, schenke ich ihr Sätze, die sie “nicht aussprechen” sollte, schenke ich ihr NICHTS:
    How dare you to purify filthy math!
    How dare you to purify physics!

  2. #2 Thilo
    3. Oktober 2019

    Mit einem Durchmesser von 93 Millionen Lichtjahren ist das beobachtbare Universum durchaus ein beschränkter (und abgeschlossener), also kompakter Raum.

  3. #3 Fluffy
    3. Oktober 2019

    Raum und Raum ist weder dasselbe noch das Gleiche.

  4. #4 Karl-Heinz
    4. Oktober 2019

    @Thilo

    Milliarden anstatt Millionen Lichtjahren 😉

  5. #5 Thilo
    4. Oktober 2019

    Natürlich, sorry.

  6. #6 rolak
    4. Oktober 2019

    Millionen, Milliarden, das stört doch keinen großen Geist.
    Eh alles zu weit für einen NachmittagsSpaziergang…

  7. #7 Quanteder
    Zu Hause . . . ..
    4. Oktober 2019

    . . . .. habe gerade meinen NachmittagsSpaziergang sausen lassen 🙂

  8. #8 Braunschweiger (DE)
    5. Oktober 2019

    Ist da jemand depressiv? (Nein, es geht nicht um den Haupttext.)
    “NichtsEndeNichts” klingt irgendwie so, als sollten wir den Arzt rufen…

    Erinnert mich irgendwie an PNP-Schnitzel der früheren Mensa, die bei den E-Technikern trotz allem sehr beliebt waren: Panade-Nichts-Panade. Das kann man offenbar auch auf die Hirnstrukturen einiger Menschen übertragen.

    Um es mit dem Überdeckungssatz zu sagen: manchmal benötigt eine vollständige und korrekte Überdeckung trotz Löcher nur ein einziges Element…

  9. #9 rolak
    5. Oktober 2019

    irgendwie

    Nee, das ist nur mangelnde Interpunktion, Braunschweiger, und zwar bei einer Einzelanweisung aus einem Kompendium für eine Variante des Chinesischen Zimmers:

    ‘Nicht’? → sende ‘nichts’!

  10. #10 Braunschweiger (DE)
    7. Oktober 2019

    @rolak:
    Ah okay, einverstanden. Alles eine Frage der Interpretation (und -punktion, klar).