Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine geschlossene Kurve auf einer Brezelfläche die Fläche in zwei getrennte Komponenten zerlegt? (So wie im Bild oben die mittlere Kurve, während die anderen beiden Kurven die Fläche nicht zerlegen.)

Maryam Mirzakhani, Fields-Medaillistin 2014, hatte diese Wahrscheinlichkeit seinerzeit als Nebenprodukt ihrer Berechnung des Volumens des Modulraums hyperbolischer Metriken mit 1/7 berechnet. Allgemein hatte sie gezeigt, dass man einen in ihren Berechnungen vorkommenden Quotienten \frac{c(\gamma)}{b_{g,n}} interpretieren kann als die Wahrscheinlichkeit des topologischen Typs einer Multikurve, nämlich als Dichte des entsprechenden Orbits der Abbildungsklassengruppe in der Menge aller einfachen geschlossenen Multikurven.

In einer Ende August auf dem ArXiv erschienenen Arbeit haben
Vincent Delecroix, Elise Goujard, Peter Zograf und Anton Zorich einen neuen Ansatz für Mirzakanis Berechnungen gefunden. In ihrem Ansatz zerlegt sich der Modulraum hyperbolischer Metriken in Teile, die zu den verschiedenen (topologischen Typen von) Multikurven auf der Fläche assoziiert sind und deren einzelner Beitrag zum Volumen gerade proportional zu den genannten Wahrscheinlichkeiten ist. (Zu einer Multikurve hat man nach Kontsevich einen stabilen Graphen und zu diesem ein Polynom, dessen Koeffizienten Schnittzahlen im Modulraum sind. Eine zu diesem Polynom assoziierte Zetafunktion berechnet dann den „Anteil der Multikurve“ zum Volumen des Modulraums. Das Bild unten zeigt die Berechnungen für die Fläche vom Geschlecht 2.)

Insbesondere fanden sie bei ihrer Arbeit einen Rechenfehler in Mirzakhanis Arbeit. Es stellt sich heraus, dass die Wahrscheinlichkeit für eine geschlossene Kurve, die Brezelfläche in zwei Komponenten zu zerlegen, nicht 1/7, sondern 1/49 ist. (In der obigen Berechnung verhalten sich die ersten beiden Beiträge zum Volumen des Modulraums wie 1:48.) Dieses Ergebnis wird durch eine heute auf dem ArXiv erschienene Berechnung der ersten 2,404,171 Multikurven von Mark Bell experimentell bestätigt.

Kommentare (9)

  1. #1 schorsch
    21. Oktober 2019

    Off topic:

    Wär das nicht mal ein schönes Thema für das Mathlog: https://www.edweek.org/ew/articles/2019/10/11/seattle-schools-lead-controversial-push-to-rehumanize.html – mathematisch induzierter Rassenhass, und wie man dagegen ankämpft?

    SCNR

  2. #2 Rancozmob
    Живу в СПБ
    22. Oktober 2019

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  3. #3 Braunschweiger (DE)
    22. Oktober 2019

    Ach herrje, Nr. #2 ist bloß eine ausführliche Werbung. Es lohnt kaum, sie durch den Übersetzer zu jagen, aber dessen Ausgabe beginnt mit:
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    Also bloß Spam, nichts als russischer Schinken…

  4. #4 Chemıker
    23. Oktober 2019

    Ist die Fragestellung nicht undefiniert, wenn man nicht ge­nau spe­zi­fi­ziert, was mit „zu­fäl­lig ge­wähl­te Kurve“ ge­meint ist? Ich er­in­ne­re mich, daß ich mal ein eine Auf­ga­be gesehen zu haben, die lautete

    Gegeben sei ein Kreis mit Radius r. Wie groß ist die Wahr­schein­lich­keit, daß eine zu­fäl­lig ge­wähl­te Gerade, die den Kreis schneidet, eine Seh­ne mit einer Län­ge ≥ √3⋅r produziert?

    Dabei ist √3⋅r genau die Seitenlänge eines gleich­sei­ti­gen Dreiecks, daß dem Kreis ein­ge­schrie­ben wer­den kann. Mit drei schein­bar völ­lig harm­losen De­fi­ni­tio­nen für „zu­fäl­lig“ kriegt man als Ant­wor­ten ½, ⅓ und ¼. Man muß schon ge­nau sa­gen, aus wel­cher Ver­tei­lung die Ge­ra­den kommen.

  5. #5 Thilo
    23. Oktober 2019

    Klar, nur sind die genauen Definitionen technisch. Man wählt auf der Fläche eine hyperbolische Metrik (es gibt verschiedene, aber davon hängt das Ergebnis nachher nicht ab) und zählt dann für eine feste Zahl L die Anzahl der geschlossenen Geodäten der Länge L und wieviele davon die Fläche zerlegen. Beide Anzahlen sind endlich, man kann also ihren Quotienten bestimmen. Mirzakhani beweist, dass für L gegen Unendlich der Quotient gegen 49 geht. (Dieses Ergebnis hängt nicht von der gewählten hyperbolischen Metrik ab. Es gäbe aber sicher andere sinnvoll aussehende Definitionen der Wahrsxheinlichkeit, mit denen man möglicherweise etwas andere bekäme.)

  6. #6 Engywuck
    24. Oktober 2019

    ähhh… seit wann ist eine Objekt mit zwei Löchern eine Brezel? War nicht – der Legende nach – der Ursprung der Brezel, dass der Bäcker einen Kuchen backen sollte, durch den die Sonne dreimal scheint?

    Abgesehen davon gibt es bei den meisten Brezeln – jedenfalls hierzulande – gar keine Möglichkeit, einen geraden Schnitt (und damit eine “einfache” Kurve auf der Oberfläche) so zu setzen, dass die Brezel in zwei Teile zerfällt. Aber wir reden hier ja von topologischen Brezeln, die beliebig verformbar sind (quasi noch ungebacken)

    Wobei… da bei ihrer Entstehung in den Teig nie Löcher gemacht werden sondern “nur” die dünnen Enden umeinandergewickelt und auf den Mittelteil gelegt – ist das dann nicht gar topologisch gar eine Kugel? 🙂

  7. #7 Thilo
    24. Oktober 2019

    Diese Kritik gab es hier schon einige Male. Im englischen Sprachraum ist (mindestens unter Mathematikern, sonst weiß ich es nicht) „pretzel“ die Bezeichnung für eine Fläche mit zwei Löchern. In Bayern sieht man das anders, wie ich hier schon mehrmals erfahren habe.

  8. #8 rolak
    24. Oktober 2019

    topologisch gar eine Kugel?

    Mitnichten, Engywuck, denn da beim Backen zusammenwächst, was zusammen gehört, verbleiben zwar Sollbruchstellen, doch keine Trennungen. Oder anders: Man macht zwar keine Löcher in den Teig, aber platziert den Teig um die Löcher herum.

    Im englischen Sprachraum

    Na, das sieht bei ENpedia aber ganz anders aus, Thilo, da scheint ‘3’ eher die untere Grenze zu sein…

    Aber dies Raunen gabs bereits vor Jahrzehnten in der Schule, als die mathematische Semantik von ‘Brezel’ offenbart wurde. Doch es gibt auch Abweichler :•)

  9. #9 Engywuck
    25. Oktober 2019

    Mag ja sein, dass die englischsprachigen Mathematiker das so sehen (http://mathworld.wolfram.com/PretzelTransformation.html), aber wenn man’s schon übersetzt… wie sehen das die *deutschen* Mathematiker?
    (Ich hätte was mit zwei Löchern ja z.B. als Brillengestell bezeichnet)

    Wobei man aus dem Bild ganz links oben bei wolfram ableiten kann, woher das mit den zwei Löchern kommen könnte: wenn man annimmt, dass die Ärmchen sich nur umschlingen, aber nicht miteinander verwachsen – die Enden der Ärmchen das aber tun.
    Dennoch seltsam.

    Eventuell sollten Mathematiker einfach aufhören, pseudo-verständliche Namen zu nutzen? 🙂