Unser Leser Dr. Webbär hat sich ein neues mathematisches Spiel ausgedacht und bittet die geschätzte Leserschaft um ihre Meinungen.

Webbaer-Poker-Spielregeln

Zwei Spieler spielen mit einem aus drei Karten bestehenden Deck Poker.
Die Spieler erhalten als Kapital n Münzen, in der Folge Chips genannt, und spielen eine (lange) Serie von Spielen, in der Folge Hände genannt.
Ziel des Spiels ist es alle Chips des Gegners zu gewinnen.

Als Vorwette, in der Folge Ante genannt, zahlen beide Spieler jeweils einen Chip in ein Töpfchen, in der Folge Pot genannt.
Dann wird an beide Spieler jeweils eine Karte zufällig (nach „Mischen“) verteilt (von einem Kartengeber, der einer der beiden Spieler sein darf aber nicht sein muss).

Zur Wertigkeit der Karten :

1.) eine Karte, in der Folge Joker genannt, gewinnt immer
2.) eine Karte, in der Folge Loser genannt, verliert immer
3.) eine Karte, in der Folge Centre genannt, verliert gegen den Joker und gewinnt gegen den Loser

Nun kommt es zur einzigen Setzrunde, der erste Spieler ist aufgefordert einen Chip zu setzen, der dann in den Pot gelangt, oder diesen Chip nicht zu setzen, in der Folge checken genannt.
(Ein Spieler handelt also zuerst, wobei diese Möglichkeit in der Spielserie nach jeder Hand wechselt, also abwechselnd die Spieler in der Serie zuerst oder als zweite handeln.)

Der zweite Spieler kann, wenn ein Chip gesetzt worden ist, die Wette bezahlen, also einen zweiten Chip in den Pot legen, in der Folge callen genannt, oder dies nicht tun, in der Folge passen genannt.
Callt der zweite Spieler, werden die Karten verglichen und der Spieler mit der wertvolleren Karte erhält den Inhalt des Pots.
Passt der zweite Spieler, hat der erste Spieler, der gerade einen Chip gesetzt hat, den Pot ohne Kontrolle der Wertigkeit der Karten gewonnen.

Der erste Spieler kann also auch checken, statt einen Chip zu setzen. Checkt der erste Spieler, darf der zweite Spieler einen Chip setzen, der dann in den Pot gelangt, muss dies also nicht.
Checken beide Spieler, werden die Karten verglichen und der Spieler mit der wertvolleren Karte gewinnt den Inhalt des Pots.
Setzt der zweite Spieler einen Chip und der erste Spieler callt die Wette, werden die Karten verglichen und der Spieler mit der wertvolleren Karte gewinnt den Inhalt des Pots.
Setzt der zweite Spieler einen Chip und der erste Spieler passt die Wette, hat der zweite Spieler den Pot ohne Kontrolle der Wertigkeit der Karten gewonnen.

Ein Spieler gewinnt also je Hand einen oder zwei Chips oder verliert je Hand einen oder zwei Chips.

Erhöht werden Wetten in diesem primitiven und für die Demonstration gedachten Pokerspiel nicht.

Fragen

Diese extra-primitive Variante des Pokerspiels ist aber der Idee folgend vollwertig und für mathematische Theoretisierung sehr gut zu erreichen, die Strategie ist nicht umfänglich klar, vielleicht fällt jemandem etwas dazu ein.

Klar ist spielstrategisch nur, dass ein Spieler mit der Karte Centre nie setzen sollte.
Callen darf er mit dieser Karte aber – setzen darf überraschenderweise auch ein Spieler mit der Karte Loser, in der Hoffnung, dass der Gegner die Karte Centre hält und passt.

Auf der Hand liegende und hoffentlich spieltheoretisch beantwortbare Fragen :

1.) Muss der erste Spieler setzen, wenn er die Karte Joker erhält?
2.) Wie oft, relativ gesehen, muss der erste Spieler mit der Karte Loser setzen, also bluffen?
3.) Wie oft, relativ gesehen, muss der zweite Spieler mit der Karte Loser setzen, also bluffen, nachdem der erste Spieler gecheckt hat?
4.) Hat der Spieler, der zuerst handeln muss, einen Nach- oder Vorteil oder beides nicht?

Bildquelle: https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Wein_catpoker.jpg

Kommentare (298)

  1. #1 Taucher
    Basel
    24. Februar 2020

    Ich finde die Beschreibung der Regeln unklar. Insbesondere wer wann ‘checked’ oder ‘called’ ist unnötig kompliziert dargestellt. Ich bin allerdings auch kein Pokerspieler.

    Führen die o.a. Regeln zu dem folgenden Regelwerk?
    * Es gibt drei Typen von Karten (Joker,Center,Looser) einen Kartensatz mit genau einer Karte von jedem Typ.
    * Spieler A und B bekommen je eine der Karten verdeckt auf die Hand. Die verbleibende Karte bleibt verdeckt.
    * Beide Spieler starten mit edem identischen Guthaben von N Münzen.
    * Der Pot enthält den Betrag den noch keiner gewonnen hat. Zu Anfang ist der Pot leer (P=0).

    Jede Runde besteht aus diesen Zügen:
    * Beide Spieler müssen eine Münze in den Pot abgeben. Wenn einer keine Münzen hat, hat der Andere gewonnen. -> Ende
    * Ein Spieler darf eröffnen. Den nennen wir jetzt Spieler A. Die Rolle wird nach jeder Runde getauscht.

    Mögliche Zustände:
    P = 2 oder ein Gewinner

    Erster Zug:
    * A sieht sich seine Karte verdeckt an und kann eine Münze in den Pot geben (A1) oder nicht (A0).
    * A teilt die Entscheidung B offen mit.

    Mögliche Zustände:
    * P=2, A0 “A checked”
    * P=3, A1 “A called”

    Zweiter Zug:
    * B nimmt die Entscheidung von A zur Kenntnis.
    * B sieht sich seine Karte verdeckt an und kann eine Münze in den Pot geben (B1) oder nicht (B0).

    Mögliche Zustände:
    * P=2, A0, B0 “A check, B check”
    * P=3, A0, B1 “A check, B call”
    * P=3, A1, B0 “A call, B check”
    * P=4, A1, B1 “A call, B call”

    Ermittlung des Gewinners der Runde:
    * Hat sich nur ein Spieler für call entschieden bekommt er immer den Pot.
    * Haben sich beide Spieler für die gleiche Aktion entschieden wird der Gewinner durch Vergleich der Karten bestimmt.

    Vergleich der Karten:
    * Da es nur je ein Exemplar jedes Kartentyps gibt können nur verschiedene Karten aufeinander treffen.
    * Joker gewinnt gegen alle anderen, Center gegen Looser, Looser gewinnt nie im Vergleich.

    Der Gewinner der Runde bekommt den Pot.

    MfG,

    Taucher

  2. #2 Matthias
    24. Februar 2020

    Nach meinem Verständnis kommt im Falle “A check, B call” nochmal A an die Reihe und kann check oder call machen. (Nach calls sind es eher folds, weil man dann rausfliegt, aber der Begriff ist hier eigentlich egal.) Für Deine Rundengewinnermittlung gelten dann die letzten beiden Aktionen.

    Matthias

  3. #3 Karl-Heinz
    24. Februar 2020

    @Taucher

    Mir kommt vor, bei dir fehlt der Zustand “passen”. Beim Passen endet das Spiel und der gegenüber hat gewonnen.

    Kann natürlich auch sein, dass meine Überlegung jetzt vollkommener Blödsinn ist.
    https://www.dropbox.com/s/qlworzsmb359mcp/20200223_175856.jpg?dl=0

  4. #4 Karl-Heinz
    24. Februar 2020

    @Matthias

    oh, danke Matthias und Taucher 🙂
    Hatte schon Angst, dass sich niemand mit dem Rätsel beschäftigt. 😉

  5. #5 Karl-Heinz
    24. Februar 2020

    1.) Muss der erste Spieler setzen, wenn er die Karte Joker erhält?

    Lösung zu 1: Der Erwartungswert der Chips ist in beiden Fällen 1+ p.
    p ist die Wahrscheinlichkeit mit der Spieler 2 setzt. Spieler 2 ist, so vermute ich eher bereit zu setzen, wenn Spieler 1 zu Beginn nicht setzt.
    Mein Tipp: Wenn Spieler 1 einen Joker bekommt, dann soll er zu Beginn nicht setzen also checken. 😉

  6. #6 Karl-Heinz
    24. Februar 2020

    2.) Wie oft, relativ gesehen, muss der erste Spieler mit der Karte Loser setzen, also bluffen?
    3.) Wie oft, relativ gesehen, muss der zweite Spieler mit der Karte Loser setzen, also bluffen, nachdem der erste Spieler gecheckt hat

    Worauf bezieht sich das “relativ gesehen”? Ist damit die gesamte Anzahl von Setzen/nicht Setzen gemeint bis das Ergebnis feststeht?

  7. #7 Karl-Heinz
    24. Februar 2020

    @Thilo

    Vielleicht sollte man Webbaer benachrichtigen, dass sein mathematisches Spiel veröffentlicht wurde. Hätte eigentlich schon erwartet , dass Webbaer mit kommentiert. 😉

  8. #8 Taucher
    Basel
    25. Februar 2020

    Zu #3 @Karl-Heinz
    Danke für die Idee. Das ist eine der Stellen an denen mit die Beschreibung nicht klar genug ist.

    Mögliche Zustände am Ende von Zug 2 (von B):
    * P=2, A0, B0 “A check, B check”
    * P=3, A0, B1 “A check, B call” <= Ist das ist der Zustand auf den Du Dich in #3 beziehst?
    * P=3, A1, B0 “A call, B check”
    * P=4, A1, B1 “A call, B call”

    Nach meinem Verständnis kommt im Falle “A check, B call” nochmal A an
    die Reihe und kann check oder call machen.
    D.h.
    Für Dich gibt es also nach dem zweiten Zug (B) noch einen optionalen dritten.
    Dann kann A eine Münze in den Pot legen und seine Entscheidung auf "call".

    Mögliche Zustände am Ende des optionalen Zug 3 (nur durch A):
    * P=2, A0, B0 “A check, B check”
    * P=3, A0, B1,A0 “A check, B call, A check” <= A checked (Gesamtzustand bleibt)
    * P=4, A0, B1,A1 “A check, B call, A call” <= A called (Gesamtzustand geändert)
    * P=3, A1, B0 “A call, B check”
    * P=4, A1, B1 “A call, B call”

    Zu #5:
    Wenn A seine Entscheidung für "check" ändern darf dann ist ein Antäuschen durch A sinvoll.

    @Webbaer
    Ohne klärende Worte trifften wir dann doch etwas zu sehr rum.

  9. #9 Rob
    25. Februar 2020

    “Klar ist spielstrategisch nur, dass ein Spieler mit der Karte Centre nie setzen sollte.”
    Warum denn das ? Passed der zweite Spieler, dann hat man psychologisch gewonnen. Die Karten werden nicht aufgedeckt.
    Darauf kommt es doch beim Bluffen an, den Gegner psycholgisch in die Defensive treiben.

  10. #10 Karl-Heinz
    25. Februar 2020

    @Rob

    Nun ja. Nehmen wir an, du hast die Karte “Centre”, dann hat dein Gegenspieler zu 50 Prozent Wahrscheinlichkeit die Karte “Joker” oder zu 50 Prozent Wahrscheinlichkeit die Karte “Loser”. Wenn er die Joker-Karte hat, dann hast du schon verloren. Hat er die Loser-Karte, so wird er, wenn er nicht ganz dämlich ist, nichts mehr setzen. Etwas klarer wird dies, wenn man es durchrechnet. 😉

  11. #11 Karl-Heinz
    25. Februar 2020

    @Rob

    Wenn du die Karte “Centre” hast und du setzt, dann sind 3 Chips im Pot. Von dir stammen 2 Chips. Hat dein Gegner die Joker-Karte, dann hast du verloren, was mit einer Wahrscheinlichkeit von 50% eintreten wird. Hat dein Gegner aber die Loser-Karte, so wird dein Gegner nichts mehr setzen. In diesem Fall hast du gewonnen, was ebenfalls mit einer Wahrscheinlichkeit von 50% eintreten wird.
    Dein Erwartungswert von Chips ist also 50% vom Pot abzüglich der 2 Chips Einsatz.
    Das macht 0,5 * (3 Chips) – 2 Chips = 1,5-2 = -0,5 Chips. Also langfristig eindeutig ein Verlustgeschäft. 🙂

  12. #12 Karl-Heinz
    25. Februar 2020

    Man beachte diese unsinnige Fragestellung

    2.) Wie oft, relativ gesehen, muss der erste Spieler mit der Karte Loser setzen, also bluffen?

    Wenn man schon mit der Karte “Centre” nicht setzen sollte, dann sollte man mit der Karte Loser schon gar nicht setzen. 😉

  13. #13 Rob
    26. Februar 2020

    Karl-Heinz,
    zum bluff gehört, dass dich der Gegner nicht einschätzen (berechnen) kann. Wenn er passed, dann werden die Karten nicht aufgedeckt und er weiß nicht, was du gehabt hast. Wenn du beim bluffen entdeckt wirst, er also den Joker hat, dann hält er dich für leichstsinnig oder dumm. Das willst du doch erreichen.
    Wenn du also setzst, dann weiß er nicht genau , ob du den Joker hast oder ob du nur bluffst, wenn er center hat. Nur so kannst du mit Loser über center gewinnen.

  14. #14 Karl-Heinz
    26. Februar 2020

    @Rob
    Das mag für echtes Pokern gelten. Hier aber macht der Zufall dir einen Strich durch dein Gefühl. Warum rechnest du nicht nach?

  15. #15 Karl-Heinz
    26. Februar 2020

    @Rob

    Nehmen wir an, du bist Spieler 1 und hast die Karte Loser gezogen. In diesem Fall gibt es nur eine Folge, die für dich trotz deiner Karte Loser, zum Gewinn führt. Du setzt und Spieler 2 passt. Aber Achtung! Spieler 2 wird nicht passen, wenn er die Karte Joker besitzt. Sagen wir Spieler 2 passt, wenn er im Besitz der Karte Center ist, was für dich die einzige und günstigste Möglichkeit ist, um an den Pot zu kommen. Die Wahrscheinlichkeit, dass Spieler 2 im Besitz der Karte Center ist, wenn du im Besitz der Karte Loser bist, ist genau 50%.
    Dein Gewinn ist also 50% vom Pot abzüglich Einsatz. Das wäre dann 0,5*3 – 2 = -0.5 Chips.
    Im Schnitt verlierst du 0,5 Chips, wenn du mit der Karte Loser oder wie vorhin schon gezeigt mit der Karte Center als Spieler 1 bluffst. Ich würde mich freuen, wenn du meine Argumente widerlegen könntest. 😉

  16. #16 Karl-Heinz
    26. Februar 2020

    @Rob

    Beim echten Poker funktioniert das Bluffen natürlich und es wird ausgibt davon Gebrauch gemacht. Beim Webbaer-Poker sind die Spielregeln so einfach gestrickt, dass das Bluffen nur bei bestimmten Situationen funktioniert. Zum Beispiel du hast als Spieler 1 die Karte Joker gezogen und möchtest deinen Gewinn maximieren, indem du nicht setzt sondern checkst.

  17. #17 Karl-Heinz
    26. Februar 2020

    Nachtrag zu #16: … indem du zu Beginn nicht setzt, sondern checkst.

  18. #18 Rob
    26. Februar 2020

    Karl-Heinz,
    wenn du den Joker hast und zu Beginn checkst, dann willst du wissen, ob dein Gegner blufft.

    Wenn keiner blufft und nur bei Joker setzt, dann stehen die Chancen zu gewinnen 50 : 50 .

    So musst du anfänglich spielen, damit dich dein Gegner für “berechenbar” hält.
    Dann gehst du auf Risiko und setzt bei Loser. Der Gegner hat dann nur zu 1/3 Joker. Du setzt weiter, weil dein Gegner denkt , du hast Joker. Und er verliert seinen Einsatz. Wenn er called und der Schwindel fliegt auf, dann hast du auch gewonnen (psychologisch) , weil er dich für einen Gauner hält. Dann spielst du wieder eine zeitlang ehrlich um keine Verluste zu haben. usw.

  19. #19 Karl-Heinz
    26. Februar 2020

    @Rob

    wenn du den Joker hast und zu Beginn checkst, dann willst du wissen, ob dein Gegner blufft.

    Wenn keiner blufft und nur bei Joker setzt, dann stehen die Chancen zu gewinnen 50 : 50 .

    Nö … nicht ganz.
    Wenn ich als Spieler 1 den Joker habe, dann gewinne ich immer. Das Ziel ist es den Gewinn zu maximieren. Pot minus eingesetzte Chips soll maximiert werden. Das geht aber nur dann, wenn ich Spieler 2 zum Setzen verleite. Zusätzlich erhalte ich als Nebenprodukt die Information, ob Spieler 2 bei Center gewillt ist zu setzt. 😉

  20. #20 Rob
    26. Februar 2020

    Karl-Heinz,
    wenn du als Spieler 1 den joker hast und checkst, dann verlierst du keinen chip.
    Wie du richtig erkannt hast, man muss den Gegner dazu verleiten zu setzen, riskant zu spielen, auch dann, wenn er nur Center hat.
    Das geht nur, wenn du eine zeitlang passed und den Gegner in Sicherheit wiegst.
    Infolge muss man nur das Verhältnis von Passen und Callen umkehren.
    Ich denke, ohne eine Computersimulation kommen wir nicht aus. Wer Zeeit und Lust hat, der sollte einen kurzen Algoritmus schreiben, bei dem der Computer gegen sich selbst spielt. Das Spielergebnis kann man als Gerade zeichnen lassen, wobei ein Gewinn einen Koordinatenpunkt +y ausmacht, ein Verlust – y . Das wäre interessant zu wissen, ob das Ergebnis nach etwa 100 Spielen unentschieden ist, also y = 0

  21. #21 Dr. Webbaer
    26. Februar 2020

    Howdy!

    Ja, danke Thilo für die Veröffentlichung.
    Dr. Webbaer ist erst heute auf diese aufmerksam (gemacht) worden und wird sich in den nächsten Tagen ein wenig im Re-Feedback bemühen, vorher will er für das Feedback danken und noch ein paar Anmerkungen machen :

    A) Am besten bildet der das Spiel Betrachtende eine Tabelle mit den Spaltenbeschriftungen „Spieler 1 setzt (und Spieler 2 reagiert“, „Spieler 1 setzt nicht und Spieler 2 ebenfalls nicht“ und „Spieler 1 setzt nicht, dann aber Spieler 2 (und Spieler 1 reagiert) und den Zeilenbeschriftungen „Joker vs Centre“, „Joker vs Loser“, „Centre vs Joker“, „Centre vs Loser“, „Loser vs Joker“ und „Loser vs Centre“, legt so 18 Tabellenfelder an und befüllt diese mit dem Erwartungswert für den gemeinten Fall und der Wahrscheinlichkeit mit der der gemeinte Fall vorkommt.
    Ziel : Die Erwartungswerte mit den Wahrscheinlichkeiten verknüpfen, um so zu einem Gesamterwartungswert für Spieler 1 (und somit auch für Spieler 2) zu kommen, selbstverständlich für beiderseitig optimales Spiel.

    B) Damit die Tabelle befüllt werden kann, sind spielstragegische Fragen zu klären, bspw. die Frage, ob der Spieler mit der Karte „Centre“ je setzen darf oder wie oft ein Spieler mit dem „Loser“ setzen muss, um optimal zu spielen – ja, es muss in dieser Pokerminiatur, die umfassend beforscht und verstanden werden kann, erstmals liegt eine umfänglich verständliche Pokervariante vor, genau deshalb ist sie entwickelt worden, “geblufft” werden -, wobei Konzepte aufscheinen, wie sie auch in anderen Pokervarianten (zumindest für den „Winning Player“) relevant sind.

    C) Dem Schreiber dieser Zeilen geht es um die mathematische Beweisführung, die er als Nicht-Mathematiker leider nicht auf gewohntem mathematisch-fachlichen Niveau selbst beibringen kann.

    Mit freundlichen Grüßen
    Dr. Webbaer

  22. #22 Dr. Webbaer
    26. Februar 2020

    Jaja, sicher, Spieler 1 kann setzen, muss es nicht, dann reagiert Spieler 2, passt oder zahlt, Spieler 2 kann setzen, wenn Spieler 1 nicht gesetzt hat, woraufhin Spieler 1 reagiert und passt oder zahlt, Spieler 2 muss aber auch nicht setzen.

    Es gibt also genau eine Setzrunde und Erhöhungen, “Raises” sind nicht erlaubt.

    Gesetzt werden kann nur ein Chip, im Pot befinden sich nach der Vorwette, die pokertechnisch Blind Bet genannt wird, 2 Chips, um die sich dann sozusagen gestritten wird, indem ein Spieler einen Chip setzt, der vom Gegner bezahlt wird, wenn er “sehen” möchte, dann werden die Karten in ihrem Wert verglichen, ansonsten hat der Spieler, der nicht zahlt, verloren ohne dass die Karten verglichen werden.
    Auch ist es möglich, dass keiner der beiden Spieler setzt woraufhin die Karten in ihrem Wert verglichen werden und der Gewinner des Pots so bestimmt wird.

    Ein Spieler gewinnt einen oder zwei Chips, die der andere Spieler verliert.

    Dr. Webbaer ist kein ausgebildetes Spieleentwickler und hat die Spielregeln “mal einfach so niedergeschrieben”, er hätte wohl etwas strukturierter vortragen können, fürwahr.

  23. #23 Dr. Webbaer
    26. Februar 2020

    OK, dass der Spieler mit dem “Centre” nicht setzen darf, weil er nur gecallt wird, wenn er verliert, nämlich dann, wenn der andere den “Joker” hält, scheint nun klar zu sein.

    Wie oft muss aber (in Prozent) geblufft werden, indem ein Spieler mit dem “Loser” setzt?

    Hinweis :
    Der Spieler mit dem “Joker”, der setzen muss, auch hier hilft eine Fallunterscheidung, das Ziel besteht darin den Spieler mit dem “Centre” zum callen zu bringen, darf nicht immer nur ausschließlich mit dem “Joker” setzen, denn ansonsten wird sein “Joker” vom Spieler mit dem “Centre” nicht ausgezahlt.
    Die Spieler belauern sich ja im gegenseitigen Spielverhalten.

    Wird verstanden wie oft geblufft werden muss, im spieltheoretische optimalen Sinne, kann der Erwartungswert für Spieler 1 und Spieler 2 ermittelt werden.

    Wie verhält es sich in den ersten Spielen der Serie, wenn beide Spieler noch über keine oder nur +ber sehr kleine Proben des gegnerischen Spielverhaltens verfügen?

  24. #24 Dr. Webbaer
    26. Februar 2020

    @ Kommentatorenfreund Karl-Heinz und hierzu :

    Wenn ich als Spieler 1 den Joker habe, dann gewinne ich immer. Das Ziel ist es den Gewinn zu maximieren. Pot minus eingesetzte Chips soll maximiert werden. Das geht aber nur dann, wenn ich Spieler 2 zum Setzen verleite.

    Alles richtig, bis auf den letzten Satz.

    MFG – WB

  25. #25 Rob
    26. Februar 2020

    Karl-Heinz zu #15

    betrifft die wahrscheinlichkeit en eine bestimmte Karte zu haben.
    Du bist spieler 1 und deckst deine Karte nicht auf. Du weißt nicht was du hast.
    Die Wahrscheinlichkeit Loser zu haben beträgt 1/3.
    Die Wahrscheinlickeit deines Mitspielers Joker oder Center zu haben beträgt 2/3. Das ist korrekt. Die Wahrscheinlichkeit Joker zu haben beträgt auch nur 1/3.
    Wenn der Gegner also nicht blufft, dann ist dein Einsatz nach der Wahrscheinlichkeit weg, wenn der Gegner schon bei Center called.
    Darum sollte man sich seine Karte ansehen, weil, dann die Wahrscheinlichkeit von 1/3 auf 1/2 steigt, wenn du center hast.
    Also, deine Spielstrategie ist richtig.

  26. #26 Dr. Webbaer
    26. Februar 2020

    Nach meinem Verständnis kommt im Falle “A check, B call” nochmal A an
    die Reihe und kann check oder call machen.

    Nein, wenn beide Spieler checken, ist die Setzrunde beendet, die Höhe der Karten wird verglichen und der Gewinner der Vorbette, der Ante, bestimmt.
    ‘Callen’ heißt in Pokerterminologie “eine Wette (oder Bet) bezahlen”, wenn gecheckt worden ist vom Gegner, kann nicht gecallt werden.

  27. #27 Karl-Heinz
    26. Februar 2020

    @Rob

    Darum sollte man sich seine Karte ansehen …

    Ich habe es so verstanden, dass man die eigene Karte immer ansieht. Habe ich etwas missverstanden?

  28. #28 Dr. Webbaer
    26. Februar 2020

    Du bist spieler 1 und deckst deine Karte nicht auf. Du weißt nicht was du hast.

    Die Spieler gucken sich die jeweils erhaltenen Karten, die der Gegner nicht sehen kann, an, dies ist erlaubt und auch notwendig, um spieltheoretisch optimal spielen zu können.
    Stand das nicht zumindest implizit in den Spielregeln?

    Oder soll Dr. Webbaer gleich die Lösung, die Wahrscheinlichkeit mit der ein Spieler mit dem “Loser” setzen, also bluffen muss, beibringen?

    Der Webbaer ist morgen wieder verfügbar, bis denne!

  29. #29 Rob
    26. Februar 2020

    Karl-Heinz ,
    Poker ist zu 90 % bluff. Wenn du deine eigene Karte nicht ansiehst, dann erhöhst du die Spannung. Und wenn du dann noch setzst und der Gegner passed, dann hast du ihm den Schneid abgekauft.

    Dr. Webbaer,
    wenn sie die Lösung angeben, dann weiß sie auch der Gegner. Das wäre suboptimal.
    Nach meiner Meinung sollte man seine Spielstrategie während des Spieles mehrfach ändern.

  30. #30 Karl-Heinz
    26. Februar 2020

    @Rob

    Bist du der Bote? 😉

  31. #31 Dr. Webbaer
    26. Februar 2020

    @ Kommentatorenfreund Robert (“Rob”) :

    Es geht darum die spieltheoretisch optimale Strategie zu finden, die vom Gegner, der sie möglicherweise gefunden hat, kennt und selbst anwendet, nicht ausgenutzt werden kann.
    Es stellt sich dann ein Gleichgewicht ein, das nach Nash benannt, der hat es zuerst theoretisiert, so kurz nach dem 2. Weltkrieg, worden ist.
    So dass beide Spieler ihrer Erwartung gerecht werden, in der Folge wird Dr. Webbaer zeigen, dass Spieler 1, derjenige Spieler, der zuerst betten / setzen darf, ein wenig in Nachteil ist und wie groß dieser Nachteil ist.
    Dr. Webbaer wird ferner einige Theorien von David Sklansky, dem ersten und größten Pokertheoretiker, ein wenig zur Hand gehen und einige seiner Theorien zu beweisen (! – dies geschah bisher nicht) suchen, weil er dies nicht auf angemessenem fachlich-mathematischen Niveau kann, wird er dies schriftlich und erklärerisch tun, seine eigenen Notationen nutzend. – Und Mathematikern, die mal drüber schauen und fachlich angemessen zu formalisieren in der Lage sind lauschen wollen.

    MFG – WB (der jetzt doch seine eigentlich anliegende Projektarbeit ein wenig zurückgestellt hat, Konsequenz ist bekanntlich keine Tugend)

  32. #32 Dr. Webbaer
    26. Februar 2020

    @ Kommentatorenfreund Karl-Heinz

    Ja, der isses! – Der “Bote” ist bekánntlich Inspiration für alle.

    MFG – WB

  33. #33 Dr. Webbaer
    26. Februar 2020

    *
    Dr. Webbaer wird ferner [] David Sklansky, dem ersten und größten Pokertheoretiker, ein wenig zur Hand gehen

  34. #34 JoselB
    27. Februar 2020

    Insgesamt gibt es 30 mögliche Rundenendstände, wovon einige aber in der Praxis kaum auftreten werden. Für beide Rollen, die ein Spieler einnehmen kann, gibt es 6 unterschiedliche Spielstände in denen er Entscheidungen treffen muss und die er selbst unterscheiden kann (die gegnerische Karte kann er nicht einsehen). Diese Sind für den ersten Spieler A:
    – A-1 = Joker auf der Hand
    – A-2 = Center auf der Hand
    – A-3 = Loser auf der Hand
    – A-4 = Joker auf der Hand, selbst gecheckt, Gegenspieler gecallt
    – A-5 = Center auf der Hand, selbst gecheckt, Gegenspieler gecallt
    – A-6 = Loser auf der Hand, selbst gecheckt, Gegenspieler gecallt
    Für den zweiten Spieler B sind dies:
    – B-1 = Joker auf der Hand, Gegenspieler gecallt
    – B-2 = Center auf der Hand, Gegenspieler gecallt
    – B-3 = Loser auf der Hand, Gegenspieler gecallt
    – B-4 = Joker auf der Hand, Gegenspieler gecheckt
    – B-5 = Center auf der Hand, Gegenspieler gecheckt
    – B-6 = Loser auf der Hand, Gegenspieler gecheckt
    Nimmt man für jede dieser Situationen einen Wahrscheinlich an, dass der entsprechende Spieler in dieser Situation callt (z.B. “a2 = p_{A-2}(Spieler A callt)”, also die Wahrscheinlichkeit das Spieler A in der Situation A-2 callt), so kann man für jede Situation einen Erwartungswert bestimmen.

    Manche der Variablen kann man fest setzen, weil sie sonst zu Verhalten wie mit Joker passen, trotz Loser mit Call antworten und mit Joker als zweiter Checken führen, was
    – Den eigenen Gewinn unabhängig von den anderen Variablen verringert (bzw im Best-Case gleich hält)
    – Beim trotz Joker auf Hand passen vom Gegenspieler höchstens bei statistischem Auswerten entdeckt werden kann und daher seine Strategie wohl nicht beeinflusst
    – Der eigene Verlust nur schwer durch unvorsichtiges Spielen des Gegners wieder wett gemacht werden kann.
    Also: a4=1, a6=0, b1=1, b3=0, b4=1.

    In allen nicht trivialen Fällen hängt der Erwartungswert von den Wahrscheinlichkeiten für die Handlung des Gegners ab. Ich habe noch nicht alle durchgerechnet, aber mir scheint so, dass es keine optimale Strategie gibt, sofern der Gegner nicht einen eindeutigen Bias aufweist. Ich würde erwarten, dass eine gegen sich selbst trainierte KI ein relativ chaotisches Spiel spielt, in dem der Zufall bestimmt.

  35. #35 Dr. Webbaer
    27. Februar 2020

    Es gibt 18 grundsätzlich zu unterscheidende Spielmöglichkeiten, es bedeutet, dies soll an dieser Stelle verraten werden, dass ein Spieler dem Joker seinem Spiel ergänzend jedes dritte Mal auch den Loser meinend setzen, bluffen sollte (und nie mit dem Centre setzen sollte).
    Was also für Spieler 1 und für Spieler 2 gleichermaßen gilt, morgen gibt es Spielzusammenfassung bzw. analytischen Abschluss.

    MFG – WB

  36. #36 Extra primitiv
    27. Februar 2020

    Extra primitives Poker kenne ich anders.

    Zwei Personen, zwei Kästen Bier, reichlich zu Kiffen und Monster-Pep.

    Fast 30 Stunden heads-up und ständig Paste aufgeschmiert.
    Mega unnötig.

  37. #37 Dr. Webbaer
    27. Februar 2020

    Es ist so, dass bei beiderseitig optimalem Spiel, beide Spieler mit “Joker” immer und mit dem “Loser” jedes dritte Mal, streng genommen ein ganz wenig häufiger, was an dieser Stele aber vernachlässigt wird, setzen müssen, Spieler 2 mit dem “Joker” nachdem Spieler 1 gecheckt hat, und der Spieler mit dem “Centre” jeweils callen muss, was für Spieler 1 zu dieser Erfolgserwartung führt :
    1.) mit dem “Joker” : + 1 1/2 Chips
    2.) mit dem “Centre” : – 1/3 Chips
    3.) mit dem “Loser” : – 1 1/3 Chips
    …was sich zu einer Erfolgserwartung von – 1/6 Chips für Spieler 1 und je Hand mittelt.

    Vielleicht ist es ein wenig überraschend, dass Spieler 1 in schlechterer Position ist, dies deckt sich aber mit David Sklanskys Theorien, sein fundamentales Theorem of Poker
    -> https://en.wikipedia.org/wiki/Fundamental_theorem_of_poker
    …wäre bei dieser probalibilistischen Spielweise der Spieler leider falsch btw. nicht nutzbar.

  38. #38 Dr. Webbaer
    27. Februar 2020

    *
    [beziehungsweise] nicht nutzbar

  39. #39 Karl-Heinz
    27. Februar 2020

    @Dr. Webbaer

    Nachdem der Erfolgserwartung von Spieler 1 gleich – 1/6 Chips ist müsste der Erfolgserwartung von Spieler 2 gleich +1/6 Chips sein.
    Sehe ich das so richtig?

  40. #40 Dr. Webbaer
    27. Februar 2020

    Jenau, Kommentatorenfreund Karl-Heinz, klar, dies ist anti-intuitiv und auch die für beide Spieler bei spieltheoretisch optimalem Spiel [1] angewiesene probabilistische Spielweise ist dies ebenfalls.
    Genau deshalb hat Dr. W so das Pokerspiel zu minimieren gesucht, weil sich in dieser Variante beweisen lässt.

    [1]
    Mit dem “Loser” gelegentlich (jedes dritte Mal), etwas häufiger, um es korrekt zu formulieren, kann aber vernachlässigt werden) betten, obwohl zwingend verloren wird, dient diese Spielweise dazu, dass der an anderer Stelle sich in der eigenen Hand befindende “Joker” vom Gegner, wenn er den “Centre” hält, auszubezahlen ist.
    Es gilt für die Spieler unbedingt zu vermeiden, dass ein sich in der Hand befindlicher eigener “Joker” nicht zur Auszahlung durch den Gegner gelangt.

  41. #41 Karl-Heinz
    27. Februar 2020

    @Dr. Webbaer

    Es ist so, dass bei beiderseitig optimalem Spiel, beide Spieler mit “Joker” immer …, setzen müssen.

    Das verstehe ich nicht ganz. Rein intuitiv würde ich als Spieler 1, wenn ich den Joker hätte, zunächst mal checken, in der Hoffnung, dass Spieler 2 callt. Was ich natürlich auf keinen Fall im Besitz eines Jokers machen würde, ist passen. Checken und Passen sind doch nicht dasselbe und lassen sich unterscheiden. Habe ich da irgendwo einen Gedankenfehler?

  42. #42 Dr. Webbaer
    27. Februar 2020

    Sie betten mit dem “Joker” in der Hoffnung, dass der “Centre” auf der anderen Seite Sie auszahlt.
    Hat der Gegner den “Loser”, muss er – spieltheoretisch korrekt – mit einer Wahrscheinlichkeit von 1/3 betten, bluffen, also in diesem Fall zwei Chips verlieren – wenn Sie diese Wahrscheinlichkeiten verknüpfen, Kommentatorenfreund Karl-Heinz, kommen Sie zu dem Schluss, dass es für Spieler 1 profitabler ist mit dem “Joker” zu betten.
    Spieler 2 muss ohnehin mit dem “Joker” betten.

    ‘Checken’ bedeutet nicht zu setzen und ‘Folden’ oder ‘Passen’ bedeutet die gegnerische Bet nicht zu bezahlen (also nicht zu : “callen”) und insofern den Pot aufzugeben, weil es nicht mehr zum Vergleich der Wertigkeiten der Karten kommt.


    Schwierig, Poker ist in einigen Ländern Gesellschaftsspiel, in anderen wird es teils gar als Glücksspiel verstanden, statt als sog. Skill-Game.
    Vielleicht hätte Dr. Webbaer zum Pokerspiel vorab einen Initialvortrag halten sollen.

    MFG – WB

  43. #43 Karl-Heinz
    27. Februar 2020

    @Dr. Webbaer

    Was verstehst du genau unter betten. Sorry wenn ich deswegen nachfrage.

  44. #44 Karl-Heinz
    27. Februar 2020

    @Dr. Webbaer

    Ok, Bet = Einsatz

  45. #45 Dr. Webbaer
    27. Februar 2020

    “Betten” = “Setzen”, “Checken” = “Schieben”, “Callen = Bezahlen / Sehen wollen”.

  46. #46 Karl-Heinz
    27. Februar 2020

    @Dr. Webbaer

    Sie betten mit dem “Joker” in der Hoffnung, dass der “Centre” auf der anderen Seite Sie auszahlt.

    Ich verstehe. Spieler 2 würde merken, wenn ich als Spieler 1 mit dem Joker immer checken bzw. schieben würde.

  47. #47 Karl-Heinz
    27. Februar 2020

    @Dr. Webbaer

    Jetzt wo fast alle Unklarheiten beseitigt sind, werde ich mir das Ganze am Abend genauer ansehen. Muss leider arbeiten.

    Schönen Tag noch 🙂

  48. #48 Dr. Webbaer
    27. Februar 2020

    Ein (!) Spieler würde merken, wenn er ausschließlich mit dem “Centre” den “Joker” ausbezahlt – und sich in der Folge den Call sparen.
    Der Spieler mit dem “Joker” muss betten, um seiner Erwartung gerecht zu werden, diese Bet muss er ergänzen indem er jedes dritte Mal auch mit dem “Loser” bettet.

  49. #49 Jolly
    29. Februar 2020

    @Dr. Webbaer

    “Erfolgserwartung
    1.) mit dem “Joker” : + 1 1/2 Chips” (#37)

    “Der Spieler mit dem “Joker” muss betten” (#48)

    Wenn der 1. Spieler mit ‘Joker’ immer setzt, dann kann er auf eine Gewinnerwartung von 1 1/2 Chips nur dann kommen, wenn der 2. Spieler mit ‘Center’ immer mitgehen würde (da er bei ‘Loser’ nie mitgehen würde).

    Davon würde ich dem 2. Spieler abraten.

    Gruß Joker (alias Jolly)

  50. #50 Dr. Webbaer
    29. Februar 2020

    Jaja, Kommentatorenfreund ‘Joker’, Sie sind sozusagen Dr. Webbaers letzte Hoffnung.
    Es stand ja da, dass ein Spieler mit dem “Loser” jedes dritte Mal betten muss, um den “Joker” in eigener Hand ausbezahlt zu bekommen.
    Der Grund liegt darin, dass der Spieler mit dem “Centre” callen kann und soll, wenn er weiß, dass der Gegner jedes vierte Mal auch den “Loser” in der Hand hat und sein Setzverhalten balanciert, das Fachwort an dieser Stelle,

    Bei der Benamung der Karte, die immer gewinnt, hat Dr. Webbaer an Sie gedacht.

    Mit freundlichen Grüßen
    Dr. Webbaer (der schon recht stolz ist auf seine Entwicklung dieser Poker-Miniatur, die erstmalig erlaubt bestimmte bekannte Konzepte des Pokerspiels zu beweisen)

  51. #51 Jolly
    29. Februar 2020

    Offtopic

    Warum steht bei meinem letzten Kommentar 29. Februar 2020? Meines Wissens ist noch der 28.2. – und das auch noch recht lang! Steht die Blog-Uhr noch in Seoul – oder wird der Schalttag dieses Jahr vorgezogen?

  52. #52 Jolly
    29. Februar 2020

    “Der Grund liegt darin, dass der Spieler mit dem “Centre” callen kann und soll, wenn er weiß, dass der Gegner jedes vierte Mal auch den “Loser” in der Hand hat und sein Setzverhalten balanciert”

    Schon klar, aber der 2. Spieler wird bei optimaler Spielweise sicher nicht jedes mal mit dem ‘Centre’ callen, auch er wird balancieren, oder?

  53. #53 Dr. Webbaer
    29. Februar 2020

    Nein, der Caller mit dem “Centre” balanciert nicht, er hat zu callen, wenn der Erwartungswert mit seinem “Centre” gleich oder höher als 25 % ist, es gibt ja eine Vorwette von jeweils einem Chip je Spieler.
    Er verfügt über Erfahrungswerte, er darf sich Spielereignisse notieren, er hat ein Gedächtnis.
    Der Gegner wiederum muss mit dem “Loser” jedes dritte Mal betten (ganz streng genommen ein ganz klein wenig häufiger), damit im genannten Sinne mit einem positiven Erwartungswert vom “Centre” gecallt werden kann.

    MFG – WB

  54. #54 Dr. Webbaer
    29. Februar 2020

    Bonuskommentar hierzu :

    Warum steht bei meinem letzten Kommentar 29. Februar 2020?

    Dr. W wäre für ein derartiges multimandantenfähiges Publikationssystem nicht verantwortlich.
    Die Dullheit anderer bedeutet immer auch eigene Chance.

  55. #55 Jolly
    29. Februar 2020

    A sei der erste Spieler, B der zweite.

    er [B mit ‘Centre’] hat zu callen

    Wenn A mit ‘Joker’ immer setzt und mit ‘Loser’ in einem drittel der Fälle, dann ist es egal, wie B mit ‘Centre’ sich verhält (p = Wahrscheinlichkeit das B callt;).

    p * [( -2 * 3/4) + (2 * 1/4) ] + (1-p) * -1 =

    P * [-1] + (1-p) * -1 = -1

    B kann also auch immer passen.

    Er [B] verfügt über Erfahrungswerte, er darf sich Spielereignisse notieren, er hat ein Gedächtnis.

    Nun wird aber auch A Zettel, Stift und Gehirn zur Hand haben.

    Wenn B immer passt, sobald A setzt, dann könnte A häufiger bluffen.
    Wenn B immer callt (ist das nicht denglisch?), sobald A setzt, dann könnte A seine Strategie dahingehend anpassen, seltener zu bluffen.

    Das sollte B dazu motivieren, sich eine geeignete Gegenstrategie zu überlegen, meinen Sie nicht?

  56. #56 Karl-Heinz
    29. Februar 2020

    @Dr. Webbaer

    Ich bin gerade dabei, die Formel für den Erwartungswert der Cips für Spieler 1 für eine Hand herzuleiten. Was Spieler 1 gewinnt/verliert verliert/gewinnt Spieler 2. Soll heißen, der Erwartungswert der Cips für Spieler 2 ist gleich dem negativem Erwartungswert von Spieler 1.

    Es haben sich folgende Variablen herauskristallisiert.

    ♥ Unbekannte Wahrscheinlichkeiten für Spieler 1:
    —————————————————————–
    Im Besitz vom Joker
    • Wahrscheinlichkeit zwischen Betten u. Checken
    Im Besitz vom Center
    • Wahrscheinlichkeit zwischen Betten u. Checken
    • Wahrscheinlichkeit zwischen Callen u. Folder
    Im Besitz vom Loser
    • Wahrscheinlichkeit zwischen Betten u. Checken
    ……………………………………………………………………
    ♥♥ Unbekannte Wahrscheinlichkeiten für Spieler 2:
    —————————————————————–
    Im Besitz vom Joker
    • Wahrscheinlichkeit zwischen Betten u. Checken
    Im Besitz vom Center
    • Wahrscheinlichkeit zwischen Betten u. Checken
    • Wahrscheinlichkeit zwischen Callen u. Folder
    Im Besitz vom Loser
    • Wahrscheinlichkeit zwischen Betten u. Checken
    ……………………………………………………………………
    Frage: welche Werte nehmen diese Unbekannten für das optimalem Spiel an. So auf die schnelle nach deinen Ausführungen würde ich meinen, für Spieler 1 und 2 gilt, wenn sie im Besitz vom Center sind, dass zwischen Callen u. Folder die Wahrscheinlichkeit den Wert 1 zugunsten von Callen annimmt.

  57. #57 Karl-Heinz
    29. Februar 2020

    @Dr. Webbaer

    in etwas so???

    ♥ Unbekannte Wahrscheinlichkeiten für Spieler 1:
    —————————————————————–
    Im Besitz vom Joker
    • Wahrscheinlichkeit zwischen Betten u. Checken
       Betten=1 checken=0
    Im Besitz vom Center
    • Wahrscheinlichkeit zwischen Betten u. Checken
       Betten=1 checken=0
    • Wahrscheinlichkeit zwischen Callen u. Folder
       Callen =1 Folder=0
    Im Besitz vom Loser
    • Wahrscheinlichkeit zwischen Betten u. Checken
       Betten=1/3 checken=2/3
    ……………………………………………………………………
    ♥♥ Unbekannte Wahrscheinlichkeiten für Spieler 2:
    —————————————————————–
    Im Besitz vom Joker
    • Wahrscheinlichkeit zwischen Betten u. Checken
       Betten=1 checken=0
    Im Besitz vom Center
    • Wahrscheinlichkeit zwischen Betten u. Checken
       Betten=1 checken=0
    • Wahrscheinlichkeit zwischen Callen u. Folder
       Callen =1 Folder=0
    Im Besitz vom Loser
    • Wahrscheinlichkeit zwischen Betten u. Checken
       Betten=1/3 checken=2/3
    ……………………………………………………………………

  58. #58 Karl-Heinz
    29. Februar 2020

    Upss …
    natürlich fold oder folden und nicht folder. Wollte ja nur sehen, ob jemand aufpasst. 😉

  59. #59 Karl-Heinz
    29. Februar 2020

    @Dr. Webbaer

    Wenn ich es richtig verstanden habe, wird im Besitz der Karte Loser von beiden Spielern geblüfft. Wie sieht es im Besitz der Karte Joker aus? Wird hier auch geblüfft? Von beiden Spielern? Oder wird bei Karte Joker immer ein Bet gemacht?

  60. #60 Karl-Heinz
    29. Februar 2020

    @Dr. Webbaer

    Übrigens habe ich bei #37 einen mathematischen Fehler gefunden. Bist du dir wirklich ganz sicher, dass deine Lösung stimmt? 🙂

  61. #61 Dr. Webbaer
    29. Februar 2020

    Wenn Spieler 1 den “Joker” hält, setzt er und Spieler 2 wird mit dem “Centre” callen – wenn die Vorwette in Höhe von einem Chip berücksichtigt wird, ist seine Erwartung +1 1/2 Chips.

    Spieler 1 muss aber nun auch jedes dritte Mal (streng genommen ein klein wenig häufiger, Kommentatorenfreund ‘Joker’ (zu ‘Wenn A mit ‘Joker’ immer setzt und mit ‘Loser’ in einem drittel der Fälle, dann ist es egal, wie B mit ‘Centre’ sich verhält (p = Wahrscheinlichkeit das B callt;).’), was aber zu vernachlässigen ist) mit dem “Loser” setzen, so dass er 1 1/3 Chips mit ihm verliert.

    Spieler 1 callt mit dem “Centre” immer, denn Spieler 2 wird / muss ebenfalls wie beschrieben jedes dritte Mal bluffen (mit dem “Loser”), so dass Spieler 1 in sechs Fällen zweimal einen Chip, einmal 2 Chips gewinnt und dreimal 2 Chips verliert, was sich zu einer Erwartung von – 1/3 Chips mittelt je Hand.

    Insgesamt verliert Spieler 1 :

    + 1 1/2 Chips (“Joker” in der eigenen Hand)
    – 1 1/3 Chips (“Loser”)
    – 1/3 Chips (“Centre”)

    = – 1 / 6 Chips

    je Hand durchschnittlich.

    Der Spieler mit dem “Joker”, Kommentatorenfreund Karl-Heinz, muss immer setzen, um den “Centre” in der Hand des Gegners zur Auszahlung zu bewegen, denn checkt er, wird der “Centre” nicht setzen und der “Loser” in der Hand des Gegners nur jedes dritte Mal (“bluffen”).

    Also, Jungs, wenn Ihr das irgendwie genauer mathematisieren könntet und so eine Art mathematischen Beweis aufsetzen, wäre Dr. Webbaer äußerst dankbar.

  62. #62 Dr. Webbaer
    29. Februar 2020

    Übrigens habe ich bei #37 einen mathematischen Fehler gefunden. Bist du dir wirklich ganz sicher, dass deine Lösung stimmt?

    Auch die Besten sind nicht gegen Irrtum gefeit, in diesem Fall wäre der bisher nur angebliche mathematische Fehler zu benennen, Kommentatorenfreund Karl-Heinz.
    Dr. Webbaer ist schon recht gut in Spielen und “Knobeleien” dieser Art, spielt gute 50 Jahre Poker und hat sich nun, um dieses Spiel in einigen wichtigen Konzepten zu komprimieren, einzudampfen sozusagen, ein wenig bemüht.
    Für die Pokertheorie wäre ein “sauberer” mathematischer Beweis sehr hilfreich.

  63. #63 Dr. Webbaer
    29. Februar 2020

    *
    Spieler 1 [checkt,] callt [gegebenenfalls, wenn der Gegner bettet] mit dem “Centre” immer

  64. #64 Dr. Webbaer
    29. Februar 2020

    Zu Ihren Überlegungen bezüglich des Bluffens beider Spieler mit dem “Loser”, Kommentatorenfreund ‘Joker’, das angeraten ist, um den in eigener Hand befindlichen “Joker” zur Auszahlung zu bekommen, jedes dritte Mal (streng genommen ein klein wenig häufiger) und die sog. frequentistische Sicht meinend, ist es so, dass beide Spieler wie beschrieben der spieltheoretisch optimalen Weise folgen und sich ein sogenanntes Nash-Gleichgewicht einstellt, das sich gerade deshalb einstellt, weil beiden Spieler die optimale Strategie bewusst ist.

  65. #65 Karl-Heinz
    29. Februar 2020

    Insgesamt verliert Spieler 1 :

    + 1 1/2 Chips (“Joker” in der eigenen Hand)
    – 1 1/3 Chips (“Loser”)
    – 1/3 Chips (“Centre”)

    = – 1 / 6 Chips

    je Hand durchschnittlich.

    Du errechnest den Gesamterwartungswert der Chips aus der Summe der bedingten Einzelerwartungswerte.
    +(1 1/2) – 1 (1/3) -(1/3) = +(9/6) – (8/6) -(2/6) = -1/6.

    Deine bedingten Erwartungswerte:
    •E(Chips|Joker): Wenn Spieler 1 den Joker besitzt und Spieler 2 optimal spielt = + 1 1/2.
    •E(Chips|Loser): Wenn Spieler 1 den Loser besitzt und Spieler 2 optimal spielt = – 1 1/3.
    •E(Chips|Centre): Wenn Spieler 1 den Centre besitzt und Spieler 2 optimal spielt = – 1/3 Chips.

    Nehmen wir an, dass deine !!!bedingten!!! Erwartungswerte richtig sind, dann wäre korrekterweise der gesamte Erwartungswert E(Chips) = 1/3* E(Chips|Joker) + 1/3* E(Chips|Loser) + 1/3* E(Chips|Centre). = -1/18

    Warum?
    Die Wahrscheinlichkeit, dass Spieler 1 die Karte Joker bzw. Loser bzw. Centre erhält, ist genau 1/3.

    Beweis, dass es sich bei deine Angaben um einen bedingten Erwartungswert handelt.
    Maximal können 2 Chips gewonnen werden. Maximale Größe, die ein Erwartungswert des Wahrscheinlichkeitspfad mit Joker annehmen kann, ist 1/3 * 2 = 2/3.
    Quod erat demonstrandum. 🙂

  66. #66 Karl-Heinz
    29. Februar 2020

    🃏🃏🃏🃏 😉

  67. #67 Jolly
    29. Februar 2020

    @Karl-Heinz

    -1/18 erscheint mir korrekt, sehr aufmerksam.

    @Dr. Webbaer

    Spieler 1 callt mit dem “Centre” immer, denn Spieler 2 wird / muss ebenfalls wie beschrieben jedes dritte Mal bluffen (mit dem “Loser”), so dass Spieler 1 in sechs Fällen zweimal einen Chip, einmal 2 Chips gewinnt und dreimal 2 Chips verliert, was sich zu einer Erwartung von – 1/3 Chips mittelt je Hand

    Auch hier gilt, wenn B in einem drittel der Fälle mit ‘Loser’ blufft (nach dem Check von A) ist es ziemlich egal welche Strategie A wählt.
    Wenn A dann z.B. immer passt, verliert er in 4 von sechs Fällen (3 mal Joker + 1 mal Bluff) einen Chip und in den 2 Fällen wo B mit dem ‘Loser’ nicht blufft, gewinnt A einen Chip. Im Schnitt also -1/3 Chip pro Hand.

    Dann gibt es aber auch wieder das bereits von mir erwähnte Problem, eine Strategie “immer passen” oder “immer callen”, in diesem Fall von A, kann angegriffen werden von B, durch abweichen von der “1/3-bluffen-Strategie”

    Wenn ein Nash-Gleichgewicht existiert, dann muss es (in diesem Fall für A) eine probabilistische Strategie geben, die nicht angreifbar ist.

  68. #68 Dr. Webbaer
    29. Februar 2020

    – 1 / 18 Chips als Erwartungswert je Hand für Spieler 1 ist korrekt, danke für die Korrektur.

    Beide Spieler folgen erst einmal (!) nur mit dem “Loser” in eigener Hand einer probabilstischen Strategie, mit dem “Joker” in eigener Hand setzen sie immer und mit dem “Centre” in eigener Hand checken sie immer bzw. callen immer.

    Wenn ein Spieler mit dem “Loser” in eigener Hand zu oft, also häufiger als jedes dritte Mal setzt, also blufft, schadet er seiner Erwartung nur, denn der Gegner mit dem “Centre” callt jeweils “brav” und seine Erwartung erhöht sich, wenn er zu selten mit dem mit dem “Loser” in eigener Hand blufft, fängt der Gegner mit dem “Centre” an den “Joker” in gegnerischer Hand seltener auszuzahlen, hier wäre dann ebenfalls probalilistische Strategie angeraten, welche genau weiß Dr. Webbaer aber nicht.
    Vorschläge?

    Die Strategie, mit dem “Loser” in eigener Hand jedes dritte Mal (oder ein ganz klein wenig häufiger, was aber vernachlässigt werden kann) zu bluffen, ist nicht ausnützbar, so dass bei beiderseitig optimaler Spielweise das Nash-Gleichgewicht erreicht ist, oder?

  69. #69 Jolly
    29. Februar 2020

    @Dr. Webbaer

    Ich kann mich nur wiederholen, für ein Nash-Gleichgewicht müssen beide Strategien unangreifbar sein. Auch wenn “1/3-bluffen” unangreifbar ist, die Gegenstrategie “immer callen” ist angreifbar.

    Und natürlich muss bei einem Angriff von der Gleichgewichtsstrategie “1/3-bluffen” abgewichen werden. Und ja, damit würde der Angreifer selbst auch wieder angreifbar.

    Es muss aber eine Strategie geben, die zwischen “immer callen” und “immer passen” liegt, die ein Abweichen von der “1/3-bluffen”-Strategie ohne Vorteil ließe.

    Mal was anderes, nur so zum Vergleich. Welcher Erwartungswert würde sich bestenfalls ergeben, wenn A mit ‘Joker’ und ‘Loser’ immer checkt, und sagen wir, in einem drittel der Fälle gegebenenfalls mit ‘Centre’ callt, mit ‘Joker’ natürlich immer.

    Haben Sie das schon durchgerechnet, wäre das deutlich schlechter, ich bin gerade etwas träge.

    Poker kann auf die Gesundheit schlagen. Ich glaube, ich muss mal einen Gesundheits-Check machen. Sie auch? Ich sehe Sie kommentieren im gleichnamigen Blog. Sie sind über 70? Bin nicht mal sicher, ob wir hier pokern, es scheinen aber noch nicht alle Karten auf dem Tisch zu liegen.

  70. #70 Jolly
    1. März 2020

    Konnte mich jetzt doch aufraffen, das selbst durchzurechnen. Ich komme bei der erwähnten Strategie von A (und ein drittel bluffen von B) auf, man höre und staune:

    E(A) = -1/18 Chips

    Habe ich mich verrechnet? Wenn nein, was sagt uns das?

  71. #71 Karl-Heinz
    1. März 2020

    @Jolly

    Konnte mich jetzt doch aufraffen, das selbst durchzurechnen. Ich komme bei der erwähnten Strategie von A (und ein drittel bluffen von B) auf, man höre und staune:

    E(A) = -1/18 Chips

    Habe ich mich verrechnet? Wenn nein, was sagt uns das?

    Meinst du diese Strategie? – siehe unten. Wenn ja, gib mir doch Bescheid.

    Mal was anderes, nur so zum Vergleich. Welcher Erwartungswert würde sich bestenfalls ergeben, wenn A mit ‘Joker’ und ‘Loser’ immer checkt, und sagen wir, in einem drittel der Fälle gegebenenfalls mit ‘Centre’ callt, mit ‘Joker’ natürlich immer.

    Ich befürchte, dass die Wahrscheinlichkeitsangabe der Strategie von Dr. Webbaer nicht stimmt. Ich komme bei seiner Strategie auf -1/9 Chips. Ich muss aber gerechter weise dazu sagen, dass ich noch keine Zeit gefunden habe, mein Ergebnis auf Fehler zu prüfen.

  72. #72 Jolly
    1. März 2020

    @Karl-Heinz

    Genau die meinte ich.

  73. #73 Karl-Heinz
    1. März 2020

    @Jolly

    Mal was anderes, nur so zum Vergleich. Welcher Erwartungswert würde sich bestenfalls ergeben, wenn A mit ‘Joker’ und ‘Loser’ immer checkt, und sagen wir, in einem drittel der Fälle gegebenenfalls mit ‘Centre’ callt, mit ‘Joker’ natürlich immer.

    Es fehlt noch eine Angabe zur Strategie von A. Was ist wenn A ein Centre bekommt. Jetzt müsste er sich entscheiden zwischen einem betten und checken (???). Welche Strategie verfolgt B?

  74. #74 Jolly
    1. März 2020

    @Karl-Heinz

    Was ist wenn A ein Centre bekommt

    A mit ‘Centre’ checkt immer.

    Welche Strategie verfolgt B?

    Alles wie gehabt:
    B blufft mit ‘Loser’ in 1/3 der Spiele. Mit ‘Centre’ darf auch B immer nur checken. Mit ‘Joker’ muss B betten.

    Zum weiteren Vergleich kannst du ja auch mal B immer bluffen lassen, oder auch nie.

    Ich komme bei seiner Strategie auf -1/9 Chips.

    Ich jetzt auch. Ich meine der Fehler liegt hier:

    “– 1/3 Chips (“Centre”)” (@Dr. Webbaer)

    Ich komme für A auf -2/3 Chips mit ‘Centre’

    Eine Optimierung könnte es sein, wenn A doch nicht immer callt, sondern nur in 2/3 der Fälle – morgen mal nachrechnen

  75. #75 Karl-Heinz
    1. März 2020

    @Jolly

    Danke für die Antwort. Ich versuche gerade eine allgemeine Formel für den Erwartungswert von A herzuleiten.

    Ich gehe davon aus, das für die Strategie von A vier Unbekannte (Wahrscheinlichkeiten) nötig sind und ebenso für die Strategie von B. Der Erwartungswert E(Chips für A) wäre dann eine Funktion f(p1,p2,p3,p4,p1′,p2′,p3′,p4′), also ein Skalar.

    Meine Idee ist nun folgende.
    Man bilde
    a) den Gradienten über f(p1,p2,p3,p4,p1′,p2′,p3′,p4′)
    b) den Gradienten über f(p1,p2,p3,p4)
         p1′,p2′,p3′,p4′ ist konstant
    c) den Gradienten über f(p1′,p2′,p3′,p4′)
         p1,p2,p3,p4 ist konstant

    Wenn das Spiel für beide Seiten optimal ist, dann sollte der Betrag des Gradienten sehr klein sein.

    Vielleicht alles nur Hirngespinst. Mal sehen. 😉

  76. #76 Jolly
    1. März 2020

    @Karl-Heinz

    “– 1/3 Chips (“Centre”)” (@Dr. Webbaer)
    Ich komme für A auf -2/3 Chips mit ‘Centre’

    An der Stelle komme ich jetzt doch auch auf -1/3. Dr. Webbaer ist da kein Mops (das Fachwort) unterlaufen, sondern mir.

    Also sollte auch der Erwartungswert von -1/18 stimmen bei der von ihm angegebenen Strategie. Prüf lieber selbst nochmal.

    Bruchrechnung ist echt schwer.

  77. #77 Dr. Webbaer
    1. März 2020

    @ Kommentatorenfreund ‘Joker’ und hierzu :

    Konnte mich jetzt doch aufraffen, das selbst durchzurechnen. Ich komme bei der erwähnten Strategie von A (und ein drittel bluffen von B) auf, man höre und staune:

    E(A) = -1/18 Chips

    Leider hat’s der Webbaer auch sofort ermitteln können und zu schweigen angefangen, ansatzweise.
    Spieler 1 muss also nicht “balancieren”, nicht “bluffen”.

    Spieler 2 muss aber “bluffen”, die berechnete Erwartung stimmt wohl bei spieltheoretisch optimalem Spiel, hoffentlich.
    (Hoffentlich kommt nicht heraus, dass das sozusagen nihilistische beiderseitige Checken optimal ist.)

    Es gilt nicht nur die sechs möglichen Kartenkombinationen mit den drei möglichen Spielsituationen (Sp1 bettet, Sp2 reagiert – Sp1 checkt, Sp2 checkt – Sp1 checkt, Sp2 bettet und Sp1 reagiert) zu verknüpfen, sondern alle möglichen Strategien, Anzahl : unendlich, dazu.

    An einer wissenschaftlichen Arbeit führt anscheinend kein Weg vorbei, Dr. Webbaer wird ein wenig meditieren und sich alles hier noch Geschriebene durchlesen, danke, Jungs!

    MFG – WB

  78. #78 Dr. Webbaer
    1. März 2020

    Wobei die Strategien zusammengefasst, gruppiert werden können, einige scheiden als “dull” direkt aus.

  79. #79 Dr. Webbaer
    1. März 2020

    PPS :
    Wer sich hier mit einer für die Pokertheorie äußerst wichtigen mathematischen Arbeit profilieren möchte, muss den Schreiber dieser Zeilen als Entwickler dieser Pokerminiatur nicht namentlich unerwähnt lassen.

  80. #80 Dr. Webbaer
    1. März 2020

    Ein Bonuskommentar zur gesellschaftlichen Relevanz von probabilistischem Handeln vielleicht noch :

    Sogenanntes probabilistisches Handeln ist nicht selten angewiesen, auch bei politischem Handeln, die sog. Madman-Theorie lebt davon.
    Ulrich Berger war hier bei den Scienceblogs.de vor einigen Jahren so freundlich ein klares (und beweisbares) Beispiel zu nennen :

    -> http://scienceblogs.de/kritisch-gedacht/2015/12/07/dezemberraetsel-tauschen-oder-nicht/

    Dr. Webbaer geht davon aus, dass auch im Alltagsleben regelmäßig und unbewusst derart folgend gehandelt wird, dass probabilistisches Handeln ein Teil von Verhandlungsgeschick, nicht nur bei Verhandlungen in der Wirtschaft, Donald J. Trump beispielsweise scheint dies zumindest intuitiv verstanden zu haben, ist und sogar bei der Erkennung von Welt hilfreich.
    So könnten naturwissenschaftliche Theorien von einer AI auch so weiterentwickelt und gepflegt werden indem generell von ihr auch Korrelationen untersucht werden, darauf Theorien aufsetzend, die nicht direkt sozusagen auf Kausationen hindeuten, nicht für das erkennende Subjekt intuitiv sind, aber nutzbar.

  81. #81 Jolly
    1. März 2020

    Wer sich hier mit einer für die Pokertheorie äußerst wichtigen mathematischen Arbeit profilieren möchte, muss den Schreiber dieser Zeilen als Entwickler dieser Pokerminiatur nicht namentlich unerwähnt lassen.

    Ich kann und möchte mir hier keinen Orden verdienen (hanseatische Bescheidenheit) und @Karl-Heinz sicher nicht noch einen.

  82. #82 Dr. Webbaer
    1. März 2020

    Es könnte sich schon so ein Name verdient werden, Kommentatorenfreund Karl-Heinz bspw. scheint sinnhaft zu aggregieren.
    Ist Karl-Heinz hier gesondert bekannt (‘sicher nicht noch einen’)?
    Pokertheorie ist schon wichtig.

  83. #83 Rob
    1. März 2020

    Dr. W.
    Rob scheint eine Gemeinsamkeit von probabilistischem Verhalten in der Betriebswirtschaft und beim Poker entdeckt zu haben.
    In der BWL nennt sich das Gewinnmaximierung. Man kann sich das einfach so vorstellen:
    Wenn ich meinen Umsatz erhöhe, erhöht sich mein Gewinn. Um aber mehr verkaufen zu können, muss ich den Preis senken. Der Gewinn sinkt wieder.
    Und wenn noch ein Mitbewerber auf dem Markt ist, und der das gleiche versucht, dann bekommt man einen ruinösen Wettbewerb.
    Das scheint ja bei Primitivpoker ausgeschlossen. Also, je mehr man blufft (entspricht der Preissenkung), desto häufiger setzt der Gegner bei Center , was die eigene Gewinnerwartung wieder erhöht.
    Mir scheint, das lässt sich mathematisch gut darstellen.
    Rob hat sich vor 30 Jahren mit solchen Dingen beschäftigt, ist im Augenblick etwas außer Form.

  84. #84 Karl-Heinz
    1. März 2020

    @Jolly

    Ist Karl-Heinz hier gesondert bekannt

    Ich glaube, Jolly meint sicher das Sommer und Winterrätsel von Florian. Da habe ich mich so richtig ins Zeug gelegt und bin als Oberspoiler geehrt oder sagen wir besser geteert worden.
    Aber andererseits habe ich zu einem mathematischen Problem sogar von Alderamin eine Siegeskrone bekommen. 🙂

  85. #86 Jolly
    2. März 2020

    @Karl-Heinz

    Sieht gut aus.

    Wo zwei Alternativen möglich sind, würde ich noch Variablen dranschreiben, die für die Wahrscheinlichkeiten stehen, mit denen die Wahl getroffen wird. Z.B. könnte a stehen, für Spieler 1 bettet mit ‘Joker’. Dann würde bei Spieler 1 checkt mit ‘Joker’ (1-a) stehen.
    Auf einer solchen Grundlage habe ich mir mittlerweile ein Excel-sheet gebastelt, das mir erlaubt, sehr einfach die Erwartungswerte bei verschiedenen Strategien zu ermitteln. (Es hilft Fehler bei der Bruchrechnung zu vermeiden)

    Für A, benötigt man drei Variablen, für B nur zwei.

  86. #87 Karl-Heinz
    2. März 2020

    •E(Chips|Joker): =
    1/2 * [2+
    +SP1J_bet • SP2C_call + SP2C_bet
    – SP1J_bet • SP2C_bet +
    +SP1J_bet • SP2L_call + SP2L_bet
    – SP1J_ bet • SP2L_bet]

    E(Chips|Joker) nach Strategie von Dr. Webbaer
    = 1/2 • [2+1•1 + 1 – 1• 1 +
    1 • 0 + 1/3 – 1 • 1/3] = 1,5 Chips.

    Donnerwetter und freu. Die Berechnung von Dr. Webbaer stimmt für E(Chips|Joker).

  87. #88 Jolly
    2. März 2020

    @Dr. Webbaer

    Pokertheorie ist schon wichtig.

    Können Sie Literatur empfehlen?

  88. #89 Karl-Heinz
    2. März 2020

    E(Chips|Joker) nach Strategie von Jolly
    = 1/2 • [2+0•1 + 1 – 0• 1 +
    0 • 0 + 1/3 – 0 • 1/3] = 1/2 (2+1+1/3) =
    =1/2 •(6+3+1) • 1/3 = 10/6 = 1,6`.

    @Jolly
    Stimmt die Berechnung?

  89. #90 Jolly
    2. März 2020

    Wenn man alle Einzelwahrscheinlichkeiten berechnet mit

    a = A mit ‘Joker’ setzt
    b = A mit ‘Centre’ callt
    c = A mit “Loser’ setzt (blufft)
    x = B mit ‘Centre’ callt
    y = B mit ‘Loser’ setzt (blufft)

    und Gewinn, bzw. Verlust berücksichtigt, ergibt sich:
    E(A) = 1/6 (-1 +a +a-ax-2ax-1+a-2a+1-y-y+yb+2yb-1+b-2b+1-c-y+cy+2y-2cy+c+1-c+c-cx+2cx)

    nach a,b,c zusammengefasst, ‘Sum1’:
    E(A) = 1/6 [a(1-3x) + b(3y-1) + c(x-y) -y]

    nach x, y zusammengefasst, ‘Sum2
    E(A) = 1/6 [x(c-3a) + y(3b-c-1) + (a-b)]

    Anhand von ‘Sum1’ lässt sich leicht erkennen, dass für x = y = 1/3 die Wahrscheinlichkeiten a,b und c keinen Einfluss auf den Erwartungswert nehmen. Das bedeutet: die Strategie von Spieler A hat dann keinen Einfluss mehr auf das Ergebnis. Der Erwartungswert ist -1/18.

    ‘Sum2’ ist wohl etwas schwieriger zu analysieren.

    Eigentlich muss man gar nicht so lange suchen, um diese Lösung zu finden.

  90. #91 Karl-Heinz
    2. März 2020

    @Jolly

    Wo zwei Alternativen möglich sind, würde ich noch Variablen dranschreiben, die für die Wahrscheinlichkeiten stehen, mit denen die Wahl getroffen wird. Z.B. könnte a stehen, für Spieler 1 bettet mit ‘Joker’. Dann würde bei Spieler 1 checkt mit ‘Joker’ (1-a) stehen.

    Ich wollte nicht, dass der Wahrscheinlichkeitsbaum durch aussagekräftige Variablen zu unübersichtlich wird. 😉

    Erwartungswert(Chips) für Pfad, wenn Spieler 1 mit Joker beginnt.

  91. #92 Jolly
    2. März 2020

    Errata.
    a = A mit “Loser’ setzt (blufft)
    c = A mit ‘Joker’ setzt

    Blicke selbst nicht mehr durch.

    Strategie von Jolly

    @Karl-Heinz, was war meine Strategie?

    Am besten mit (a, b, c, x, y) angeben. Danke.

  92. #93 Dr. Webbaer
    2. März 2020

    Poker-Literatur :

    -> https://en.wikipedia.org/wiki/David_Sklansky

    ‘The Theory of Poker’ (1976 oder 1980) gilt als Standardwerk, in dem erstmals wichtige Konzepte des Pokerspiels theoretisiert worden sind, auf annehmbaren Niveau, wobei angemerkt wird, dass Sklansky selbst ein mathematisch interessierter Laie ist. Insofern ist es gut möglich, dass hier verbessert werden kann.

    Ansonsten sind die sog. Poker-“Solver” zu beachten, die es erst seit wenigen Jahren gibt, bspw. der hier :

    -> https://www.piosolver.com (kostenpflichtig)

    …und die AI, bspw. so etwas :

    -> https://www.sciencedaily.com/releases/2019/07/190711141343.htm (Poker für zwei Personen, sog. Heads Up-Poker gilt insofern im Web und im sog. Cashgame als (fast) “tot”, Humanspieler sind Programmen unterlegen, was nicht bedeuten muss, dass die AI Poker abschließend verstanden hätte, was es wohl auch nicht bedeutet.)

    Dies hier – ‘ Das bedeutet: die Strategie von Spieler A hat dann keinen Einfluss mehr auf das Ergebnis. Der Erwartungswert ist -1/18.’ – scheint unter Umständen (!) korrekt zu sein, danke für Ihren Vorschlag, Kommentatorenfreund ‘Joker’, mit dem “Joker” als Spieler 1 immer zu checken, die Idee liegt zwar auf der Hand, ist aber für erfahrene Pokerspieler nicht intuitiv, denn sie ist nicht aggressiv, idR haben sich im Poker aggressive Strategien durchgesetzt.

  93. #94 Dr. Webbaer
    2. März 2020

    Aber andererseits habe ich zu einem mathematischen Problem sogar von Alderamin eine Siegeskrone bekommen.

    Liest sich gut, danke für Ihre kleinen Bemühungen hier, kriegen Sie es (“Beweis”) abschließend hin? Dr. W meint, mit seinem eher geringen mathematischen Vorrat, hier fertig zu sein, ist allerdings nicht mathematisch beweisfähig.

  94. #95 Karl-Heinz
    2. März 2020

    @Dr. Webbaer
    Ich glaube schon, dass ich das hinbekomme. Das interessante kommt erst noch.
    Dr. Webbaer befindet sich auf einer quadratisch ebenen Platte, die schräg im Raum steht. Die Höhe ist der Erwartungswert (Chips). Nun ratet mal, wo sich Dr. Webbaer nach einiger Zeit befinden wird. 🙂

  95. #96 Dr. Webbaer
    2. März 2020

    Ich glaube schon, dass ich das hinbekomme. Das interessante kommt erst noch.

    Jaja, Sie, Kommentatorenfreund Karl-Heinz, bekommen die mathematische Beweisführung aus diesseitiger Sicht, diese Sache mit dem negativen Erwartungswert für Spieler 1, absehbarerweise hin, daran, dass Sie noch etwas gesondert ‘Interessantes’ auftischen / beweisen werden, glaubt Dr. Webbaer nicht, wenn doch, wäre dies wunderbar.
    “Opi” war selbst übrigens, wie gemeint, nicht spieltheoretisch zu bearbeiten, auch wenn er in Kommentar aktuell #80 ein wenig aus sich herausgegangen ist.

  96. #97 Karl-Heinz
    2. März 2020

    @Dr. Webbaer

    Nehmen wir an, Spieler A und B spielen ein Spiel. Gegeben sei ein etwas größeres Gebiet mit Bergen und Tälern. Der Erwartungswert von Spieler A sei E_a(Chips) = Höhe von A – 1/2* Höhe von B. Die tiefste mögliche Stelle sei Meereshöhe. Spieler A wird danach trachten seinen Erwartungswert zu maximieren und wird daher ein Gebiet mit hoher Stelle aufsuchen. Spieler B wird versuchen den Erwartungswert von A zu minimieren und daher eine tiefer gelegene Stelle aufsuchen. Was man sehr schön Beweisen kann ist, dass sich Spieler A lokal auf der höchsten Stelle und Spieler B lokal auf der tiefsten Stelle befindet. Man beachte, dass es unendlich viele Möglichkeiten gibt, diese Gebiete zu betreten.

  97. #98 Karl-Heinz
    2. März 2020

    @Dr. Webbaer

    Wenn man solche Gebiete (siehe #97) gefunden hat, muss man einsetzen, um festzustellen, wo der Erwartungswert nun am größten ist. Das ganze erinnert an eine Kurvendiskussion, nur halt in n-Dimensionen.

  98. #99 Dr. Webbaer
    2. März 2020

    Klingt “ein wenig” dull, Karl-Heinz, insbesondere bleibt diese Formel unklar

    Erwartungswert von Spieler A sei E_a(Chips) = Höhe von A – 1/2 * Höhe von B, wenn es auch so formuliert werden könnte :

    Erwartungswert von Spieler A sei E_a(Chips) = Höhe von A – Höhe von B

    Auch hier – ‘Man beachte, dass es unendlich viele Möglichkeiten gibt, diese Gebiete zu betreten.’ – weiß Dr. Webbaer nicht so recht, geht mal davon aus, dass Sie besonders clever sind, wenn auch nicht im Erklären.

    Abär egal, sollten Sie in der Lage sein zu der hier beschriebenen Problematik besonders günstig aufzulösen, wird Dr. W insgesamt über Geschehenes hinwegzusehen suchen, was natürlich auch für Kommentatorenfreund ‘Joker’ gilt, der hier abär vergleichsweise günstig verstanden wird.

    MFG – WB (der nun abär wirklich weg muss, später gerne noch mal, was auch Wochen dauern kann, reinschauen wird)

  99. #100 Rob
    2. März 2020

    Karl-Heinz,
    die Idee mit der Kurvendiskussion ist gut, der höchste Erwartungswert, wäre dann die 1. Ableitung der Funktion.
    Dem Dr. geht es ja mehr um die Anschaulichkeit eines Spieles mit und ohne Bluff.
    Spielen beide Spieler ohne Bluff, dann ist die Gewinnkurve für beide Spieler eine Gerade. Also wenn beide Spieler nur bei Joker setzen oder callen.
    Bei Center und Loser nicht setzen und passen.
    Das wäre ja langweilig und auch kein Spiel.
    Das Spiel kommt erst zustande, wenn Spieler 1 auch setzt, wenn er Center hat.
    Spieler 2 kann dann Joker oder Loser haben.
    Wenn er Joker hat und called, das wäre im Sinne von gewinnen richtig, im Sinne des Spieles aber falsch. Spieler 1 würde dann bei einem Center nicht mehr setzen.
    Wenn Spieler 2 Humor hat und passed, dann freut sich Spieler 1 und wiederholt diese Spielweise. (Tut er das, wenn er keinen Gewinn gemacht hat ??)

    Bei der Wiederholung der Situation, Spieler 1 setzt bei Center und Spieler 2 hat den Joker, muss jetzt Spieler 2 callen, um einen Gewinn zu machen.

    Es läuft also auf ein Gleichgewicht hinaus.
    Wie muss also die Kurvengleichung lauten ? Dazu brauche ich deine Hilfe.
    y = 1/3 x – 1/9 x² + 1 ???

  100. #101 Karl-Heinz
    2. März 2020

    @Rob

    Hi Rob
    Kann erst am Abend antworte, da ich kein Pensionbär bin. 😉

  101. #102 Rob
    2. März 2020

    Karl-Heinz,
    Frohes Werken !

  102. #103 Jolly
    2. März 2020

    @Dr. Webbaer

    Danke für die Links und vor allem die Idee, in einem Blog mal das mit dem vereinfachten Poker durchzukauen. Es würde sich sicher lohnen, noch einmal vorbeizuschauen.

    @Karl-Heinz

    Was Du in #87 und #89 gerechnet hast, kann ich nicht nachvollziehen. Bei dem, was ich erwähnt hatte, (0; 1/3; 0; 1; 1/3) komme ich für A mit ‘Joker’ auf einen anderen Erwartungswert, 7/6 Chips.

    Wenn man in ‘Sum2’ (siehe #90)

    E(A) = 1/6 [x(c-3a) + y(3b-c-1) + (a-b)]

    a = 0; b = 1/3; c = 0 setzt, sieht man, dass x und y, damit die Strategie von B, keine Rolle spielen und E(A) = -1/18 wird.

    Für a = 1/3; b= 2/3; c = 1 gilt das auch.

    Für a = 1/3; b = 1; c = 1 , die von Dr. Webbaer ursprünglich vorgeschlagene Strategie von A, ergibt sich,

    E(A) = 1/6 [ y – 2/3]

    @Rob

    Dafür kannst du sicher auch ohne Hilfe das Minimum bestimmen, unter der Nebenbedingung:
    0 ≤ y ≤ 1

    … und zum Spaß auch noch das Maximum.

  103. #104 Karl-Heinz
    2. März 2020

    @Jolly

    Danke für die Info.

  104. #105 Dr. Webbaer
    3. März 2020

    Danke für die Links und vor allem die Idee, in einem Blog mal das mit dem vereinfachten Poker durchzukauen. Es würde sich sicher lohnen, noch einmal vorbeizuschauen.

    Jaja, sicher, war eine großartige Idee von, äh, Dr. Webbaer.
    Konsequenz ist ja auch keine Tugend, Dr. W hat sich eher vorbeugend zeitweise verabschiedet, dachte nicht mehr hier, in bester Gesellschaft, auch Kommentatorenfreund Robert bleibt gegrüßt, zum Zuge zu kommen, weil zu beschäftigt, ist es so abär nicht mehr.

  105. #106 Rob
    3. März 2020

    Jolly,
    das Problem mit den Chancen kann man auch anders angehen.
    Wenn man keine Regeln gelten lässt, dann gibt es 24 Spielmöglichkeiten.
    für Spieler A mit Joker gibt es 8 Möglichkeiten, aber nur 2 Möglichkeiten liefern einen Gewinn, wenn nämlich Spieler 2 mit Centre called und Spieler 2 mit loser called. Das sind nur 2/24 . Das ist das Minimum.

    Mit Regeln ergeben sich 12 Möglichkeiten, nämlich, dass Spieler1 mit joker nur 4x setzt ; aber nur 1 x gewinnt, wenn Centre called.(die Regeln verbieten, dass Loser called) Das ist auch nur 1/12.

    So ergibt sich die Situation, dass das Minimum und das Maximum gleich sind. Oder anders formuliert, die beiden Nullstellen der Gleichung sind nicht das Maximum bzw. das Minimum, das liegt zwischen den beiden Nullstellen. also haben wir es mit mindestens einer quadratischen Gleichung zu tun.

    Die Symmetrie der Gewinnverteilung muss gestört werden, dass geschieht durch bluffen.

    Jetzt müssen wir uns den Chancen bei Center zuwenden..
    Bei 24 Möglichkeiten ohne Regel haben wir +1/24 wenn Loser called. Und – 1/24 wenn Joker called.

    Und jetzt kommt das, was der Dr. behauptet, dass man 1x bei Center setzen muss und 3x checken, dann beträgt die Chance – 1/12 wenn joker called. Dass Loser called verbietet bei 12 Möglichkeiten die Regel.

    Loser checked dann 4 x.

    Die Gewinnverteilung ist dann Joker = 2/12
    Loser = 0
    Center – 1/12.

    Was geschieht, wenn Center 2 x setzt und 2 called ?
    Jetzt geht es richtig los. Bei welcher Kombination von Center haben wir den höchsten Gewinn von Center und den kleinsten Gewinn von Center ?

  106. #107 Karl-Heinz
    3. März 2020

    @Rob

    für Spieler A mit Joker gibt es 8 Möglichkeiten, aber nur 2 Möglichkeiten liefern einen Gewinn, wenn nämlich Spieler 2 mit Centre called und Spieler 2 mit loser called. Das sind nur 2/24 . Das ist das Minimum.

    Warum sollte Spieler 2 mit Karte Loser callen? Masochist? 🙂

  107. #108 Rob
    3. März 2020

    Karl-Heinz
    wenn man mit 24 Möglichkeiten rechnet, dann gibt es diese Möglichkeit auch.
    Man bekommt dann aber das Chancenminimum und das beträgt + 2/24 bei Besitz des Jokers, +1/24 oder – 1/24 bei Besitz des Centers und – 2/24 bei Besitz des Losers. Die Gesamtsumme = 0
    Was ich bei #106 an Jolly geschrieben habe, das ist falsch, mit 12 Möglichkeiten kann man die Spielsituation nicht ausreichend beschreiben, es kommt dann zu Widersprüchen.
    Mein Ziel ist es , eine oder mehrere Gleichungen zu finden, die die Chancenverteilung bei verschieden Graden des Bluffens darstellt.
    Das muss meiner Meinung nach ein Polynom 2. oder 3. Grades sein, das sich dann ableiten lässt.
    Geduld, das Problem ist doch schwieriger als ich eingangs dachte.

  108. #109 Karl-Heinz
    3. März 2020

    @Rob
    Warum sollte Spieler 2 mit Karte Loser callen? Masochist? Spieler 2 hat außer Verluste keinerlei Vorteil. 😉

  109. #110 Rob
    3. März 2020

    Dr. Webbaer, Karl-heinz, Jolly,
    Jetzt muss ich doch noch mal nachfragen bezüglich der Spielmöglichkeiten.
    Beispiel Der Spieler 1 hat den Joker.
    Jetzt gibt es 10 Möglichkeiten , ob sinnvoll oder nicht, spielt keine Rolle. Es geht ja um die Mathematische Seite.

    1.Spieler 1 setzt mit Joker , Spieler 2 called mit Center,
    2. Spieler 1 setzt mit Joker, Spieler 2 passed mit Center,
    3. Spieler 1 setzt mit Joker, Spieler 2 called mit Loser,
    4. Spieler1 setzt den Joker Spieler 2 passed mit Loser.

    5. Spieler 1 setzt nicht den Joker, Spieler 2 setzt nicht den Center
    6.. Spieler 1 setzt nicht den Joker, Spieler 2 setzt nicht den Loser.
    7. Spieler 1 setzt nicht den Joker, Spieler 2 setzt den Center, Spieler 1 called mit Joker
    8. Spieler 1 setzt nicht den Joker, spieler 2 setzt den Center , Spieler 1 passed mit Joker
    9. Spieler 1 setzt nicht den Joker, Spieler 2 setzt den Loser, Spieler 1 called mit Joker,
    10. Spieler 1 setzt nicht den Joker, Spieler 2 setzt den Loser, Spieler 1 passed mit Joker

    Wenn man das wiederholt mit Center und Loser, dann ergeben sich 30 Möglichkeiten ????

  110. #111 Karl-Heinz
    3. März 2020

    @Rob

    Ich würde gerne antworten, muss aber im Moment leider arbeiten, da kein Pensionsbär wie Webbaer. 😉

  111. #112 Rob
    3. März 2020

    Karl-Heinz,
    Lass Dir Zeit, je mehr ich über die Logik nachdenke, desto schwieriger wird es.
    Ich denke, auf Poker lastet ein Fluch.

  112. #113 Karl-Heinz
    3. März 2020

    @Rob

    Spieler 1 setzt nicht den Joker …

    Besser ist
    Spieler 1 setzt mit Joker … bla bla bla
    Spieler 1 setzt mit Centre … bla bla bla
    Spieler 1 setzt mit Loser … bla bla bla

  113. #114 Jolly
    3. März 2020

    @Rob

    dann ergeben sich 30 Möglichkeiten ?

    Korrekt.

    Den Spielbaum für A mit ‘Joker’ hat @Karl-Heinz gezeichnet und in #85 verlinkt.

    Übersichtlicher wird es, wenn man als Wurzel eine Kombination von Karte A / Karte B nimmt. Dann hat der Spielbaum für jede der 6 möglichen Kombinationen jeweils 5 Blätter. So würde das noch ohne Beschriftung aussehen.

    Mein Ziel ist es , eine oder mehrere Gleichungen zu finden, die die Chancenverteilung bei verschieden Graden des Bluffens darstellt.

    Die gesuchte Gleichung findest du in #90; sogar in zwei äquivalenten, handlichen Formen, genannt ‘Sum1’ und ‘Sum2’.

    Den Grad des Bluffens von A und B kannst du variieren, indem du für a, resp. y, den Wert veränderst.

    Das muss meiner Meinung nach ein Polynom 2. oder 3. Grades sein, das sich dann ableiten lässt.

    Da im Spielbaum keine Variable (als Kantenbeschriftung) im gleichen Ast (der gesamte Weg von der Wurzel zum Blatt) zweimal auftauchen kann, entstehen bei der Zielfunktion keine quadratischen Terme, erst recht nicht solche höheren Grades.

  114. #115 Rob
    3. März 2020

    Karl-Heinz
    Bei deinem Vorgehen vergisst man, dass es 2 Möglichkeiten gibt, wobei Spieler 1 nicht setzt und Spieler 2 nicht setzt.
    Und die nächste Sache, Ist es klüger mit dem Joker gleich zu setzen oder zuerst nicht zu setzen?
    Die Gewinnwahrscheinlichkeit sinkt nämlich, wenn man zuerst nicht setzt. Sie sinkt auf 0,8 des erzielbaren Gewinnes. Es wird vergessen, dass man trotz Joker 2x keine Gewinnchance mehr hat weil man zuerst nicht gesetzt hat, wenn nämlich Center checked und Loser checked.

  115. #116 Rob
    3. März 2020

    Jolly
    der Spielbaum von Karl-Heinz ist bei mir nur sehr dunkel zu sehen. Ich kann da nichts erkennen.

    Was deine Herleitung für die Wahrscheinlichkeiten anbetrifft, die ist dir wahrscheinlich wasserklar, mir aber nicht, weil ich anders denke.
    Kannst du mir , wenn du Zeit hast, das aufdröseln.
    “und Gewinn, bzw. Verlust berücksichtigt, ergibt sich:
    E(A) = 1/6 (-1 +a +a-ax-2ax-1+a-2a+1-y-y+yb+2yb-1+b-2b+1-c-y+cy+2y-2cy+c+1-c+c-cx+2cx)”
    Du hast 28 Summanden. Wo kommen die her ? Woher stannt 1/6 ?

  116. #117 Jolly
    3. März 2020

    @Karl-Heinz

    Ohne Deine Erlaubnis möchte ich hier nur ungerne etwas spoilern. Ich weiß nicht, ob Du noch selbst unbelastet weiter knobeln möchtest. Allerdings finde ich, es ist jetzt die Zeit gekommen, alle Karten offen auf den Tisch zu legen. Dann wäre es für mich leichter, die Fragen von @Rob zu beantworten.

    Showdown?

  117. #118 Karl-Heinz
    3. März 2020

    @Jolly

    Mach ruhig. 😉

  118. #119 Jolly
    3. März 2020

    @Rob

    Betrachte dieses Bild.

    Das ist der komplette Baum beim Spiel mit den Karten Bube (J), Dame (Q) und König (K).
    J = Jack = Bube = Loser
    Q = Queen = Dame = Centre
    K = King = König = Joker

    Das J steht also nicht für Joker! Was mich selbst schon zu Fehlern verleitet hatte.

    Woher sta[mm]t 1/6 ?

    Die 1/6 sind nicht eingezeichnet, sie sollten an jeder der Kanten stehen, die von der Wurzel weg gehen.

  119. #120 Jolly
    3. März 2020

    @Rob

    Nun betrachte Figure 1 in diesem Dokument.

    Das ist ein beschnittener Baum, ohne “masochistische” Zweige.

    Du hast 28 Summanden. Wo kommen die her ?

    Zunächst sollten wir die griechischen Buchstaben durch a, b, c, x und y ersetzten. Das ändert nichts an der Sache, erleichtert mir aber das Schreiben ungemein.

    Um den Erwartungswert zu ermitteln, muss man die Wahrscheinlichkeiten entlang eines Asts und den jeweiligen Auszahlungswert miteinander multiplizieren, und diese Produkte alle summieren.

    E(A) = -(1-a) + a (1-x) + (-2 a x) + -(1 – a) + -2 a + (1-y) + (-y (1-b) ) + (2 y b) + -(1-b) + (-2 b) + (1-c)(1-y) + 2 (1-c) y + c + (1-c) + c (1-x) + 2 c x

    Das sind zunächst 16 Summanden; durch ausmultiplizieren der Klammern entstehen die 28.

  120. #121 Jolly
    3. März 2020

    Mist, da fehlt natürlich noch überall das 1/6 als Faktor, den man aber besser gleich ausklammert und wie oben geschehen vor die Summe schreibt.

  121. #122 Karl-Heinz
    3. März 2020

    @Jolly

    Danke für die Links 🙂

  122. #123 Jolly
    3. März 2020

    @Karl-Heinz

    In diesem Dokument, Seite 3, habe ich die Summen entdeckt, anhand derer man die Gleichgewichtsstrategien erkennen kann, “By looking at equation”. Danach hatte ich etwas länger gesucht.

    Eigentlich ist alle so einfach, da hätte man auch von alleine drauf kommen können.

  123. #124 Jolly
    3. März 2020

    @Dr. Webbaer (#93)

    ‘The Theory of Poker’ […] Sklansky […] gut möglich, dass hier verbessert werden kann.

    Das scheint in Hinblick auf das hier diskutierte vereinfachte Poker jedenfalls zu stimmen, siehe dort.

    In dem Dokument findet sich auch der aus meiner Sicht vollkomen korrekte und sehr wichtige Satz:

    You cannot win with the optimal strategy

    Das sollte jedem Poker-Spieler klar sein. Anwenden der in der Spiel-Theorie als ‘optimal’ bezeichnete Strategien würde bei gleichmäßig verteilten Rollen (1. Spieler, 2. Spieler, …) auf einen Erwartungswert von 0 herauslaufen (wenn der Gegner auf masochistische Entscheidungen verzichtet).

  124. #125 Rob
    4. März 2020

    Jolly
    Fragen zum Verständnis.
    Im Falle K gegen J
    Wo kommt die + 1 her, wenn doch beide checken ?
    Was bedeutet 1- 3 a ?

  125. #126 Jolly
    4. März 2020

    @Rob

    Im Falle K gegen J
    Wo kommt die + 1 her, wenn doch beide checken ?

    Wenn beide checken, kommt es zum Showdown, König (King) gewinnt gegen Bube (Jack)

    Was bedeutet 1- 3 a ?

    In dem Wikipedia-Bild sind an den Kanten die Werte aus den optimalen Strategien eingetragen. Für B ist das immer 1/3, bzw. 2/3 (= 1 – 1/3 ), wo x oder y, bzw. 1-x oder 1-y stand.

    Für A gibt es unendlich viele optimale Strategien, man kann also keine festen Werte angeben, a, b und c sind aber voneinander abhängig. Im Bild ist a frei gewählt (0 ≤ a ≤ 1/3), b und c davon abhängig.
    b = a + 1/3
    c = 3a

    (1 – 3 a) steht also an der Stelle von (1 – c)

  126. #127 Rob
    4. März 2020

    Jolly, Dr. Webbaer,
    Danke für die Einzelheiten.
    Es geht ja letzlich um die mathematische Darstellung der Zusammenhänge. Dabei muss klar sein, dass wir es nicht mit einem statischen System zu tun haben, wo es nur Geraden gibt. Durch Bluffen wird die Gewinnerwartung verändert. Die stärkste Veränderung ergibt sich , wenn Der Spieler mit dem Joker 0x passed, 1x passed, 2x passed. Da der Gegenspieler mit Verzögerung antwortet, wird die Gewinnerwartung des Spielers 1 zuerst sinken, bis zu einem Tiefpunkt, wenn Spieler 2 öfters mit dem Center called.
    Dann steigt wieder der Gewinn von Spieler 1. Da dieses Verhalten die Form einer Parabel hat (keine Parabel ist !) kann man dieses Verhalten als Parabel darstellen. x = Anzahl der Spiele , y = Gewinnsumme
    die Koeffizenten a, b, c ergeben sich aus den tatsächlichen Gewinnen
    die Gleichung : y = a – bx + cx²
    a (ohne Bluffen) Gewinn im + Bereich
    b (1 x passen) Gewinn im – Bereich gegenüber dem Nash Gleichgewicht
    c (2x passen) Gewinn noch mer im – Bereich gegenüber dem Nash Gleichgewicht, das die Gerade darstellt.
    Die Kurve verläuft also zuerst unterhalb der Nash – Gerade, dann geht sie wieder nach oben, schneidet die Nash- Gerade und führt als Nachwirkung des Bluffens in den + Gewinnbereich, was ja der Sinn des Bluffens ist.

  127. #128 Rob
    4. März 2020

    Karl – Heinz
    hier bist du gefordert. Die Koeffizienten a, b, c kann man nur finden, indem man mit dem Joker blufft, oder anders blufft. Es wird also verschiedene Lösungen bei verschiedenen Bluffen geben. (ohne Gewähr, das ist nur eine Idee von mir)
    Die habe ich aus der BWL, man nennt so eine Kurve dort Grenznutzenkurve.

  128. #129 Dr. Webbaer
    4. März 2020

    Für Spieler 1 gibt es also unendlich viele spieltheoretisch optimale Strategien (und einige “dulle”) und Spieler 2 soll, spieltheoretisch optimal, jedes dritte Mal bluffen mit dem “Loser” in der Hand?
    Bonusfrage zum Spielverhalten von Spieler 1 :
    Was macht der genau(!), wenn er mit dem “Centre” in eigener Hand mehrfach den “Joker” in der Hand von Spieler 2 auszahlt und nie gegen den (bluffenden) “Loser” in der Hand von Spieler 2 gewinnt?
    Wann genau(!) fängt Spieler 1 an (gelegentlich) mit dem “Centre” in eigener Hand zu folden (“passen”)?
    MFG – WB (der sich das Spiel als Ganzes gut vorstellen kann, abär bei besonderen mathematischen Angaben passen (“folden” sozusagen) muss, hat er abär schon mehrfach geschrieben)

  129. #130 Dr. Webbaer
    4. März 2020

    PS :
    An dem Erwartungswert von – 1/18 Chips für Spieler 1 (bei möglichen unterschiedlichen eigenen spieltheoretisch optimalen Strategien) wird nicht mehr genörgelt?

  130. #131 Rob
    4. März 2020

    Dr. webbaer,
    Erfahrung ist in diesem Fall durch nichts zu ersetzen.
    Es geht doch darum, dass man die Art des Bluffens benennt und die Auswirkungen dann grafisch darstellt.
    Sie könnten da am besten ein Musterbeispiel liefern, sagen wir mal mit 15 Spielen. Und dann versuchen wir die Ergebnisse zeichnerisch darzustellen und eine Formel abzuleiten (genauer zu konstruieren).
    So was macht Eindruck ! (Auch beim Publizieren muss man bluffen (kleiner Scherz))
    Die Mitkommentatoren in der Laber-Ecke die wollen auf Trab gehalten werden.

  131. #132 Dr. Webbaer
    4. März 2020

    Ehrlich geschrieben, Kommentatorenfreund Robert, folgt Ihnen Dr. Webbaer nicht selten nicht.
    Das vorgeschlagene Spiel kann sowohl gespielt werden, es ist spielbar, beispielsweise auf Bahnreisen, und es kann ausgerechnet werden, weil es so einfach ist.
    ‘Erfahrung’ wird wohl nicht dabei benötigt, Dr. W selbst hat ja, als erfahrener Pokerspieler, hier selbst mindestens zwei kleinere Fehler gemacht, die seinem Bias, der geschilderten Erfahrung, zuzurechnen sind.
    Richtig war von Ihnen angemerkt, aus Sicht von Dr. Webbaer, dass auch bei der Publikation eine gewisse Unschärfe nicht selten Sinn macht, mit probabilistischem Anspruch sozusagen.
    Hanns Dieter Hüsch meinte ja sinngemäß, dass es gut ist nach jedem (selbst bemerkten) Fehler sofort noch einen zu machen, so dass es nach System aussehe.

  132. #133 Jolly
    4. März 2020

    @Rob

    Nash – Gerade

    Schon allein für diesen intensional wie extensional leeren Neologismus hast du dir einen Orden verdient.

    weil ich anders denke

    Offensichtlich kein Bluff.

    Erstaunlich, wie viel man in so kurzer Zeit nicht anders verstehen kann.

  133. #134 Jolly
    4. März 2020

    @Dr. Webbaer

    Was macht [Spieler 1] genau(!), wenn er mit dem “Centre” in eigener Hand mehrfach den “Joker” in der Hand von Spieler 2 auszahlt und nie gegen den (bluffenden) “Loser” in der Hand von Spieler 2 gewinnt?

    Um den Erwartungswert -1/18 zu halten, muss A nichts unternehmen. Ansonsten wäre es ja auch keine optimale Strategie.

    Wann genau(!) fängt Spieler 1 an (gelegentlich) mit dem “Centre” in eigener Hand zu folden (“passen”)?

    In keiner optimalen Strategie callt A immer mit ‘Centre”. Die Wahrscheinlichkeit für das Callen von A mit ‘Centre’ variiert ja nach Strategie zwischen 1/3 und 2/3.

    Falls B mit ‘Loser’ nie blufft, nimmt er sich also auch immer Gewinnchancen. Im ersten Fall würde das Bluffen von B sogar in 2/3 der Fälle für ihn zum Erfolg gegen ‘Centre’ bei A führen. Das ist allerdings die Strategie, bei der ein ‘Bluff’ von B auch häufiger auf einen ‘Joker’ trifft, weil A auch immer mit diesem anfangs checkt. Das hält sich eben genau die Waage.

  134. #135 Dr. Webbaer
    4. März 2020

    Wenn Spieler 2 mit dem ‘Loser’ in der Hand nie setzt (“blufft”) und Spieler 1 mit dem “Centre” in der Hand dennoch immer auszahlt, dann den “Joker” in der Hand des Gegners, würde sich die spieltheoretisch optimale Erfolgserwartung von Spieler 1, die bei – 1 / 18 Chips je Hand liegt, verschlechtern, denn Spieler 2 könnte sich dann die “Kosten” sparen, die er sich dadurch zufügt, dass er mit dem “Loser” in der Hand jedes dritte Mal setzt (“blufft”).

    Dies kann auch mit den Mitteln der Kombinatorik ausgerechnet werden, die Gewinnerwartung für Spieler 1 sinkt dann unter – 1 / 18 Chips je Hand, wenn er wie beschrieben “dull” mit dem “Centre” immer den “Joker” in der Hand des Gegners ausbezahlt, auch wenn der nie blufft.

    Spieler 1 muss mit dem “Centre” in eigener Hand immer callen, wenn Spieler 2 mit dem “Loser” in eigener Hand jedes dritte Mal (streng genommen : ein wenig häufiger, was aber vernachlässigt werden kann) setzt (“blufft”).

    Insofern kann in concreto nachgefragt werden, wie dies Dr. Webbaer bereits getan hat, wie Spieler 1 mit ihm vorliegenden Datenproben, das Spielvorgehen von Spieler 2 meinend, genau(!) umzugehen hat.

    Dr. W befürchtet, dass er nun wieder ein wenig rechnen müsste, um seine Behauptung zu belegen, zu beweisen, abär dies hasst er und geht davon aus, dass Sie, Kommentatorenfreund ‘Joker’, die hier vorgetragene Argumentation verstehen und annehmen.

    MFG – WB

  135. #136 Dr. Webbaer
    4. März 2020

    Oder ergänzend formuliert hierzu :

    In keiner optimalen Strategie callt A immer mit ‘Centre”. Die Wahrscheinlichkeit für das Callen von A mit ‘Centre’ variiert ja nach Strategie zwischen 1/3 und 2/3.

    Spieler 1 muss(!), nachdem er mit dem “Centre” in eigener Hand zuvor gecheckt hat, was offensichtlich spieltheoretisch korrekt ist, die Bet des Gegners immer(!) callen, wenn der jedes dritte Mal (streng genommen : ein wenig häufiger, was aber vernachlässigt werden kann) auch mit dem “Loser” in eigener Hand setzt (“blufft”)..

  136. #137 Jolly
    4. März 2020

    @Dr. Webbaer

    Spieler 1 muss(!), nachdem er mit dem “Centre” in eigener Hand zuvor gecheckt hat, was offensichtlich spieltheoretisch korrekt ist, die Bet des Gegners immer(!) callen, wenn der jedes dritte Mal (streng genommen : ein wenig häufiger, was aber vernachlässigt werden kann) auch mit dem “Loser” in eigener Hand setzt (“blufft”).

    Nein.

    Ich vermute Sie haben ein Teilspiel analysiert: A bekommt immer Centre, B mit gleicher Wahrscheinlichkeit ‘Joker’ und ‘Loser’. Dafür benötigt man nur die Wahrscheinlichkeiten b und y.

    b = A mit ‘Centre’ callt
    y = B mit ‘Loser’ setzt (blufft)

    Es ergibt sich
    E(A) = 1/2 [b (3y-1) – 2y] bzw,
    E(A) = 1/2 [y (3b – 2) – b]

    Für A ist demnach eine Gleichgewichtsstrategie b = 2/3 und für B y = 1/3.
    E(A) = 1/2 [-2/3] = -1/3

    Anhand der oberen Gleichung kann man erkennen, wenn y > 1/3 wird, ist (3y-1) größer 0. Das sollte dann wohl reichen, um A zu veranlassen ‘all in’ zu gehen, sprich b zu maximieren, also 1 zu setzen. Könnte man meinen.

    Ich denke aber, man darf nicht von einem Teilspiel auf das ganze schließen. So würden Sie ja auch vermutlich nicht nach der Analyse von dem Teilspiel, A bekommt immer ‘Loser’, B mit gleicher Wahrscheinlichkeit ‘Joker und ‘Centre’, auf das ganze Spiel schließen.

    Das Bluffen von B, also y, spielt nicht nur bei A mit ‘Centre’ eine Rolle, sondern auch wenn A einen ‘Joker’ bekommt. Und die Wahrscheinlichkeit x, die bei ‘Joker’ eine Rolle spielt, taucht wiederum in den Ästen unter ‘Loser’ auf. Es gibt Abhängigkeiten, die berücksichtigt werden müssen. Die Gleichungen ‘Sum1’ und ‘Sum2’ tun genau das.

  137. #138 Jolly
    4. März 2020

    Abgesehen vom bisher Gesagten, wenn B in dem beschriebenen Teilspiel anfängt, in mehr als 1/3 der Fälle zu bluffen, A daraufhin begänne immer zu callen, was würde dann B daraufhin machen? Er würde gar nicht mehr bluffen. Was wiederum A veranlassen würde gar nicht mehr zu callen. Womit B wieder anfinge zu bluffen.

    Lange Rede, kurzer Sinn, für was ist die Spieltheorie überhaupt zu gebrauchen, warum spielen Nash-Gleichgewichte darin so eine entscheidende Rolle?

  138. #139 Dr. Webbaer
    4. März 2020

    Näh, der Webbaer hat sozusagen einen Algorithmus im Kopf, für das gesamte Spiel.
    Spieler 1 verhält sich wie von Ihnen weiter oben vorgeschlagen (checkt jede Karte) während Spieler 2 mit dem “Centre” immer brav checkt, wenn zu ihm gecheckt wird, und er mit dem “Joker” immer bettet und mit dem “Loser” jedes dritte Mal, woraufhin Spieler 1 immer callt, wenn er den “Centre” oder “Joker” hat.

    Jetzt kann Spieler 2 aber auf die Idee kommen, wenn er bemerkt, dass Spieler 1 immer wie beschrieben auch mit dem “Centre” immer callt, sein Bluffen mit dem “Loser” zu reduzieren, an Bluffkosten zu sparen.
    Reagiert Spieler 1 auf diesen Strategiewechsel nicht, callt weiterhin mit dem “Centre” immer brav, sinkt seine Gewinnerwartung deutlich unter – 1 / 18 Chips, ihm entgeht ja in jedem neunten Spiel der Bluff von Spieler 2 mit dem “Loser”.

    Oder soll Dr. W mal ein Prpgrämmchen schreiben und die Strategien gegeneinander antreten lassen?

  139. #140 Dr. Webbaer
    4. März 2020

    Oder ist Ihr Punkt, dass Spieler 1 mit dem “Centre” nicht immer callt?
    Dies schiene Dr. W falsch zu sein, wenn Spieler 2 jedes dritte Mal mit dem “Loser” blufft.
    Also diese grundsätzlichen 18 Möglichkeiten, die Kartenkombinationen (JvL, JvC, CvL, CvJ, LvJ und LvC) und die drei Spielkombinationen (Sp 1 checkt, Sp2 ebenso – Sp 1 bettet, Sp2 reagiert – Sp 1 checkt, Sp2 bettet) meinend sind immer im Kopf, Dr. W konzentriert sich nicht auf irgendwelche Spezialfälle.

  140. #141 Rob
    4. März 2020

    Jolly, #133
    Wir beide denken anders, weil wir einen anderen Wissenshintergrund haben. Sie berechen die Wahrscheinlichkeiten mit der Hilfe einer Matrix oder wie Karl-Heinz mit einem Entscheidungsbaum.
    Das ist die Grundlage. Und Sie merkten schon, dass ich nirgends abgeschrieben habe, weil meine Wahrscheinlichkeitsmatrix anders geordnet ist als die im Internet.
    Worauf ich hinaus will , ist die Darstellung der verschiedenen Parameter mit der Hilfe einer Gleichung. Diese Gleichung stellt nur eine Annäherung an den tatsächlichen Werte dar und muss tatsächlich durch viele Versuche gefunden werden. Wir haben es ja mit tatsächlichen Ergebnissen aus der Praxis zu tun.
    Das Gleichgewicht zwischen dem Spieler A und B stellt mathematisch gesehen im Mittel eine Gerade dar Z.B. y = 2. Tatsächlich wäre es eine Zickzaklinie, die zwischen y = 3 und y= 1 verläuft.
    Wenn wir jetzt die Symmetrie zwischen den Gewinnerwartungen von Spieler A und B stören , indem z.B. A mit dem Center immer called, dann ergibt sich eine Durchbiegung der Gewinngerade von A nach unten, was die Form einer Parabel ergibt. wie Dr. Webbaer bei 139 ausgeführt hat.
    Und jetzt muss man tatsächlich erzielte Verluste heranziehen und in das Koordinatensystem einsetzen. Das ergibt die Koeffizienten bei dem Polynom.
    Die quadratische Gleichung gibt dann näherungsweise die Gewinne wieder bzw. Verluste wieder.
    Was ich geschrieben habe ist weder leer noch unsinnig, es ist im wirtschaftlichen Sinne sogar notwendig.
    Das wird gemacht bei der Errechnung eines Gewinnmaximums bei variablen Kosten und Fixkosten. Die sind berechenbar und können ganz konkreet als z. B. ein Polynom 3. Odrdnung dargestellt werden. Sie sind kein Polynom, sie können nur näherungsweise so dargestellt werden . Das Bluffen beim Pokern wäre dann das Auftauchen eines Mitbewerbers, der die Kosten beinflusst.

  141. #142 Dr. Webbaer
    4. März 2020

    Das hier, ist aus diesseitiger Sicht zustimmungsfähig, Kommentatorenfreund ‘Joker’ :

    Abgesehen vom bisher Gesagten, wenn B in dem beschriebenen Teilspiel anfängt, in mehr als 1/3 der Fälle zu bluffen, A daraufhin begänne immer zu callen, was würde dann B daraufhin machen? Er würde gar nicht mehr bluffen. Was wiederum A veranlassen würde gar nicht mehr zu callen. Womit B wieder anfinge zu bluffen.

    …wobei Dr. W hier nicht mit dem Begriff ‘Teilspiel’ sonderlich happy ist, sondern schon das Gesamte im Auge hat, den Kern dieser Pokerminiatur sozusagen.

    Meinen Sie nicht, dass Spieler 1 zu antizipieren hat, dass Spieler 2 mit dem “Loser” in eigener Hand jedes dritte Mal bluffen wird, streng genommen ein wenig häufiger, was aber vernachlässigt werden kann, so dass er zumindest anfänglich, in einer sich anbahnenden Serie von Händen, mit dem “Centre” in eigener Hand immer callen muss, um erst bei sich anzeigender Gegenstrategie, die gemessen werden kann, Spieler 1 verfügt über ein Gedächtnis, darf mitschreiben sozusagen, also wenn Spieler 2 wie angeregt sein Bluffen mit dem “Loser” in eigener Hand reduziert (vs. aufhört) , seine Strategie anzupassen?

    Meinen auch Sie, dass der Erwartungswert von – 1 / 18 Chips je Hand für Spieler 1 korrekt angegeben ist?

    MFG – WB

  142. #143 Karl-Heinz
    4. März 2020

    @ Jolly
    SP2 hat die Karte Joker.
    Fall a) SP1 bet ⇒ SP2 wird zu 100% mit Joker callen, denn mit Joker aufgeben wäre reiner Unsinn.
    Fall b) SP1 checkt ⇒ SP2 wird zu 100% betten, da er darauf aus ist, dass SP1 aufgibt.

    Sehe ich Fall b richtig?

  143. #144 Karl-Heinz
    4. März 2020

    Fall b wäre in diesem Sinne kein bluffen, sonder nur ein intelligentes Handeln, oder?

  144. #145 Dr. Webbaer
    4. März 2020

    Fall b) SP1 checkt ⇒ SP2 wird zu 100% betten, da er darauf aus ist, dass SP1 aufgibt.

    Sehe ich Fall b richtig?

    […]

    Fall b wäre in diesem Sinne kein bluffen, sonder nur ein intelligentes Handeln, oder?

    Negativ, es liegt so ein klarer Hinweis vor, dass Sie nichts in diesem Zusammenhang verstanden haben, Kommentatorenfreund Karl-Heinz.
    Gar nichts.
    Sozusagen.

    Kommentatorenfreund ‘Joker’ ist weniger streng als Sie in Ihrem Vortrag, und er hat sicherlich seinen Punkt, er hat das Gleichgewichtsverhalten der beteiligten Spieler verstanden, was pflichtig ist, Nash und so, und vermutlich wird er auch beizeiten abschließend die mathematisch Lösung bereit stellen.
    Absehbarerweise, Dr. W ist ja eher Praktiker.

    MFG – WB

  145. #146 Karl-Heinz
    4. März 2020

    @Dr. Webbaer

    Wieso hat dann Spieler 2 eine Variable weniger als Spieler 1 beim Erwartungswert der Chips?

    Ich vermute, dass mit der schrägen Platte im Raum haben sie ebenfalls missverstanden. Ich dachte da wirklich nicht an ein Monkey.

  146. #147 Dr. Webbaer
    4. März 2020

    Sp2 ist darauf aus mit dem “Joker” in eigener Hand ausgezahlt zu werden, wenn er bettet.
    Dies wäre ‘intellegentes Handeln’ und es kann kein Bluff sein, wenn Sp2 mit der Gewinnerkarte setzt.
    Sp2 muss nach Checken von Sp1 mt dem “Joker” in eigener Hand betten, setzen, in der Hoffnung den “Centre” in anderer zur Auszahlung zu bringen.
    ‘Geblufft’ wird, wenn Karte in eigener Hand zwar Stärke repräsentiert, diese aber nur angeblich ist.
    Es wird in diesem Sinne polarisiert, das Fachwort an dieser Stelle, der möglicherweise Bluffende hat entweder die Hand, die er repräsentiert oder nicht, er hat aber nie eine mittelmäßige Hand wie den “Centre”, der pokertheoretisch defensiv auf den sog. Showdown zuzusteuern hätte, durch Checken und Callen, also nie durch aggressives eigenes Setzen.

  147. #148 Jolly
    4. März 2020

    @Karl-Heinz

    SP2 hat die Karte Joker.
    SP1 checkt ⇒ SP2 wird zu 100% betten, da er darauf aus ist, dass SP1 aufgibt.

    Richtig ist, dass B immer mit ‘Joker’ bettet, wenn A gecheckt hat. Allerdings hofft B eher darauf, dass A callt, um noch einen Chip mehr zu gewinnen. Und tatsächlich macht A das mit ‘Centre’ ja auch gelegentlich.

  148. #149 Dr. Webbaer
    4. März 2020

    @ Karl-Heinz :

    Wieso hat dann Spieler 2 eine Variable weniger als Spieler 1 beim Erwartungswert der Chips?

    Welche?

    Sie meinen einen Chip in der Erwartung über 18 Hände?
    Dies könnte daran liegen, dass die Position, das Fachwort an dieser Stelle und von Pokertheoretikern x-fach hervorgehoben dafür sorgt, dass der zuerst im Pokerspiel Handelnde einen Nachteil hat, weil er zuerst Information, auch indirekte, über die Stärke seiner Karte herauszugeben hat.
    Dr. W, dies wird gerne an dieser Stelle betont, ist sich allerdings noch nicht sicher, dass der negative Erwartungswert von – 1 / 18 Chips pro Hand für Spieler 1 korrekt bestimmt ist, noch nicht ganz sicher.

  149. #150 Jolly
    4. März 2020

    @Dr. Webbaer

    vermutlich wird er auch beizeiten abschließend die mathematisch Lösung bereit stellen.

    Das hat er[*] bereits.

  150. #151 Karl-Heinz
    4. März 2020

    @Dr. Webbaer

    Siehe #90

    Sp1: Variablen a,b,c
    Sp2: Variablen x,y

    Meine Frage war, warum hat Sp2 nur zwei und nicht drei Variablen. Ich denke, dass Fall b der Grund ist. Ich lasse mich aber gerne belehren.

  151. #152 Karl-Heinz
    4. März 2020

    @Dr. Webbaer

    Darf ich nachfragen, warum Webbaer gegenüber mir so aggressiv ist?

  152. #153 Dr. Webbaer
    4. März 2020

    Dies hier ist zwar aus diesseitiger Sicht “ganz OK” :

    Abgesehen vom bisher Gesagten, wenn B in dem beschriebenen Teilspiel anfängt, in mehr als 1/3 der Fälle zu bluffen, A daraufhin begänne immer zu callen, was würde dann B daraufhin machen? Er würde gar nicht mehr bluffen. Was wiederum A veranlassen würde gar nicht mehr zu callen. Womit B wieder anfinge zu bluffen.

    Lange Rede, kurzer Sinn, für was ist die Spieltheorie überhaupt zu gebrauchen, warum spielen Nash-Gleichgewichte darin so eine entscheidende Rolle?

    …klärt aber nicht die Frage des speziellem Call-Verhaltens von Spieler 1 in der Praxis.
    Ließe sich dies mathematisieren und wie genau?
    Was soll Spieler 1 anfänglich mit dem “Centre” in eigener Hand machen, soll er immer callen oder nur in zwei von drei Fällen?

    Und wie genau hat er das Gleichgewicht zu wahren, wenn Spieler 2 weniger blufft (mehr wäre wohl nicht gut, spieltheoretisch) als notwendig, um den “Centre” in der Hand von Spieler 1 zur Auszahlung der Bet zu bewegen?

    Wiederholt angefragt, Kommentatorenfreund ‘Joker’ :

    Meinen auch Sie, dass der Erwartungswert von – 1 / 18 Chips je Hand für Spieler 1 korrekt angegeben ist?

    Mit freundlichen Grüßen
    Dr. Webbaer

  153. #154 Dr. Webbaer
    4. März 2020

    @ Karl-Heinz
    Ja, dürfen Sie, Dr. W mag Sie und unterhält auch ein wenig, gelegentlich, um die Denkleistung anzuregen.
    Nichts für ungut.
    MFG – WB (der auch sein Image zu pflegen hat, als Kunstfigur)

  154. #155 Jolly
    4. März 2020

    [*]
    Harold W. Kuhn hat bereits 1950 dieses Spiel analysiert, und die Lösung zur Verfügung gestellt:

    H. W. Kuhn, Simplified Two-Person Poker; in H. W. Kuhn and A. W. Tucker (editors), Contributions to the Theory of Games, volume 1, pages 97–103, Princeton University Press, 1950.

    https://de.wikipedia.org/wiki/Kuhnpoker

  155. #156 Karl-Heinz
    4. März 2020

    @Dr. Webbaer

    Heißt das Friedenspfeife? Wenn ja nehme ich das Angebot an und rauche in paar Züge mit. 🙂

  156. #157 Jolly
    4. März 2020

    @Dr. Webbaer

    Meinen auch Sie, dass der Erwartungswert von – 1 / 18 Chips je Hand für Spieler 1 korrekt angegeben ist?

    Ja, das ist der Erwartungswert wenn einer der beiden Speler oder auch beide die optimale, bzw. eine der optimalen Strategien spielt. (siehe #103)

    E(A) = -1/18

  157. #158 Dr. Webbaer
    4. März 2020

    Köstlich, vielen Dank, Dr. W schwört diese Arbeit nicht gekannt zu haben, vgl. mit ‘Ein Gewinn ist für Spieler 1 nur möglich, wenn Spieler 2 von der optimalen Strategie abweicht. Sein genauer Verlust beträgt 1/18 Ante pro Hand’, vielen Dank, Kommentatorenfreund ‘Joker’ (Seit wann wissen Sie so, vgl. auch mit Ihrem :

    -> https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/a/a9/Kuhn_poker_tree.svg (von gestern, dem dritten März 2020, Ihren Kommentar meinend? – Natürlich liegt nur eine rhetorische Frage vor, Dr. W hätte Ihrem “Zaunpfahl” früher folgen können)

    MFG – WB

  158. #159 Dr. Webbaer
    4. März 2020

    Also, alles ist bereits gegessen :

    -> https://de.wikipedia.org/wiki/Kuhnpoker

  159. #160 Dr. Webbaer
    4. März 2020

    Muss ein großer Bär gewesen sein :

    -> https://en.wikipedia.org/wiki/Harold_W._Kuhn

    Ein wenig schade eigentlich, Dr. W ist an sich schon ein sog. Original Thinker, aber in diesem Fall war er wohl nicht zuvorkommend genug.

  160. #161 Jolly
    4. März 2020

    @Dr. Webbaer

    Seit wann wissen Sie so

    Zumindest schon vor #69, wo ich einen für Sie dann doch wohl bislang unverständlichen letzten Absatz formulierte, mit, “Ich glaube, ich muss mal einen Gesundheits-Check machen. Sie auch? Ich sehe Sie kommentieren im gleichnamigen Blog. Sie sind über 70?”.

    Was natürlich nur ein Hinweis auf den Namensvetter Kuhn und das Jahr 1950 sein sollte (den nur jemand verstehen kann, der Bescheid weiß, also kein Spoiler ist. Ich musste vorsichtig sein).

  161. #162 Karl-Heinz
    4. März 2020

    @Jolly

    Danke, dass du nicht gespoilert hast. Sonst hätte ich nur kurz nachgesehen ohne selbst Überlegungen anzustellen. 🙂

  162. #163 Dr. Webbaer
    4. März 2020

    Sollte hier eine Anspielung auf Dr. Joseph Kuhn von den Scienceblogs.de vorliegen, eine genau so gemeinte, wäre Dr. Webbaer bass erstaunt, denn der scheint ja weitgehend “dull” zu sein.
    Dr. Kuhn ist wohl Baujahr 1960, aber an sich schon ganz nett gewesen, dieser Zaunpfahl, vely clever (und für Dr. W undurchschaubar gewesen, seinerzeit).
    Vely, vely clever.

    MFG + Dank
    Dr. Webbaer

  163. #164 Karl-Heinz
    4. März 2020

    @Dr. Webbaer

    Verträgst du dich nicht mit Joseph Kuhn?

  164. #165 Dr. Webbaer
    4. März 2020

    Dr. W erinnert sich genau im gemeinten Zusammenhang vor einigen Tagen geprüft schon zu haben, ob er die 70 überschritten hat oder nicht – dann auch noch der Hinweis auf partiell dulles Inhaltsangebot (“Gesundheit-Check”), da hat sich dann Dr. W wohl in der Folge nur ungünstig exponiert, wie auch Karl-Heinz, der diesmal, wohl nur diesmal. nicht ganz alles mitgekommen hat.
    MFG – WB

  165. #166 Karl-Heinz
    4. März 2020

    @Dr. Webbaer

    Ich bin kein Pensionsbär habe aber mir vorige Woche eine Pneumokokken-Impfung genehmigt. 🙂

  166. #167 Dr. Webbaer
    4. März 2020

    @ Karl-Heinz
    Dr. W mag Dr. K nicht sonderlich mehr, nachdem Dr. K Dr. Webbaers kleine eingereichten und zur Veröffentlichung vorgesehenen Nachrichten zens(ur)iert und diese Zensur mit herabsetzenden, höhnischen Bemerkungen versieht,
    MFG – WB

  167. #168 Karl-Heinz
    4. März 2020

    @Dr. Webbaer

    Verstehe 😉

  168. #169 Dr. Webbaer
    4. März 2020

    Es war halt ein Problem für den Schreibär dieser Zeilen, dass Kommentatorenfreund ‘Joker’ nebulös auch auf einen aus seiner Sicht bekannten Fehl-. Mangel-, Minus- und Minderleister verwiesen hat, ansonsten hätte die Idee auch Harold W. Kuhn als im gemeinten Zusammenhang als beachtenswert bis zentral in Betracht zu ziehen eher aufgeleuchtet.
    Hier noch einmal der passende Webverweis :

    -> https://en.wikipedia.org/wiki/Harold_W._Kuhn

    Dr. W geht mal davon aus, dass Kommentatorenfreund ‘Joker’ so etwas absichtlich macht.

  169. #170 Jolly
    4. März 2020

    @Dr. Webbaer

    Was soll Spieler 1 anfänglich mit dem “Centre” in eigener Hand machen, soll er immer callen oder nur in zwei von drei Fällen?

    Teilspiel

    Im Teilspiel, A fängt immer mit ‘Centre’ an, ist 2/3 callen für ihn die optimale Strategie, die verhindert, dass er mehr als 1/3 Chip pro Spiel im Schnitt verliert. Wenn er dabei bleibt, kann B machen was er will, mehr oder weniger bluffen, gar nicht oder immer, all das würde nichts ändern.

    Kuhnpoker

    Wenn A seinen Verlust sicher bei -1/18 halten möchte, dann sollte er sich als erstes eine optimale Strategie aussuchen. Die gibt ihm dann vor, wie oft er mit ‘Centre’ callen muss. Eine Strategie für A lässt sich als 3-Tupel darstellen (a; b; c), dessen Werte voneinander abhängig sind. In allgemeiner Form:

    (a; a+1/3; 3a) | 0 ≤ a ≤ 1/3

    oder auch so:

    (c/3; (1+c)/3; c) | 0 ≤ c ≤ 1

    Wenn er sich entschieden hat, dann muss er bei den ermittelten Werten bleiben. Dann gilt auch hier: Wenn A dabei bleibt, kann B machen was er will, mehr oder weniger bluffen, gar nicht oder immer, B könnte sich auch “in die Ecke stellen, sich einen Ring durch die Nase ziehen und einen Papagei darauf setzen” [1], all das würde nichts ändern an E(A) = -1/18

    A fängt also an zu callen mit eine Wahrscheinlichkeit, die zwischen 1/3 und 2/3 liegen kann. Und wo immer sie genau liegt, er bleibt dabei.

    Sie können das ja anhand konkreter Fälle durchspielen, z.B. mit den Strategien: (0; 1/3; 0), (1/3; 2/3; 1) oder auch (1/6; 1/2; 1/2).

    Dazu müssen Sie kein Programm schreiben, ich empfehle die Werte einfach in ‘Sum1’ oder ‘Sum2’ einzusetzen.

    [1]
    Der Ausspruch stammt von einem meiner Mathematiklehrer, der ihn häufig verwendet hat.

  170. #171 Karl-Heinz
    4. März 2020

    @Jolly

    Wieso kennst dich so gut aus? Welche Vorbildung hast du? Akademischer Abschluss?
    Verzeih meine Neugierde.
    Deinen Nicknamen muss ich mir unbedingt merken. 🙂

  171. #172 Jolly
    4. März 2020

    @Dr. Webbaer

    Gesundheits-Check

    Ich war tatsächlich etwas besorgt um ihr Herz. Was würde passieren, sobald Sie die schlechte Nachricht erfahren, nicht der erste Erfinder des Spiels zu sein? Andererseits konnte ich mir aber auch nicht sicher sein, ob Sie nicht bluffen, behaupten das Spiel sei neu, nur um uns davon abzuhalten, im Netz zu suchen, und die Angelegenheit hier in aller Ruhe mit uns zu entwickeln.

    Ihr Disput mit dem Blogger Kuhn ist mir nicht entgangen, hielt die Sache aber für beigelegt, nachdem meine Recherche ergeben hat, dass Sie dort aktuell wieder kommentiert haben.

    Natürlich bin ich auch um meine Gesundheit am bangen, möchte daher sicherheitshalber darauf hinweisen, dass ich Narr das Recht habe, auch schlechte Nachrichten ungestraft überbringen zu dürfen.

  172. #173 Jolly
    4. März 2020

    @Karl-Heinz

    Wieso kennst dich so gut aus?

    Ich kann lesen und habe Zugriff auf das Internet.

    Welche Vorbildung hast du?

    Mit Spieltheorie auf einfachstem Niveau habe ich mich eine Zeit lang beschäftigt.

    Akademischer Abschluss?

    Ja.

    Mein Berufsziel war, Black-Jack-Profi zu werden. Habe stattdessen später immerhin mit Backgammon etwas Geld verdient und auch ab und zu gepokert.

    Gruß
    Joker
    (bekannt aus vielen Kartenspielen; trotz ähnlichem Aussehen, nur geistig verwandt mit dem gleichnamigen Comic- und Kinoantihelden)

    Hinweis: ich lasse mir nur ungern in die Karten schauen; bluffe oft und gerne.

    Verzeih meine Neugierde.

    Verziehen.

  173. #174 Dr. Webbaerd
    4. März 2020

    Ja, sorry, Kommentatorenfreund ‘Joker’, es könnte ein wenig peinlich werden, wie Dr. Webbaer gerade (!) erkannt hat, was Dr. Webbaer aber weder sich noch dem freundlichen Inhaltegeber antun würde, Dr. W erklärt hiermit verbindlich :

    1.) von “Kuhn-Poker” noch nie bewusst etwas gehört zu haben

    2.) von “Kuhn-Poker” sehr wahrscheinlich auch unbewusst noch nie gehört zu haben

    3.) in der Lage zu sein so etwas wie “Kuhn-Poker” eigenständig zu entwickeln, Dr. Webbaer hat zu “Kuhn-Poker” auch bereits vor vielleicht einem Jahr an anderer Stelle im wissenschaftsnahen WebLog-Wesen kommentiert

    Hoch und heiliges Bärenehrenwort!

    MFG – WB

  174. #175 Dr. Webbaer
    4. März 2020

    Ansonsten natürlich, trotz der gerade (!) erkannten Peinlichkeit, die Dr. W eben weder sich noch dem freundlichen hiesigen Inhaltegeber antun würde, gar nicht könnte, als dann mieser Bluffer, ist es schon so, dass Kommentatorenfreund ‘Joker’ diesseitig und das interne, sein internes Ranking meinend, schon in den Top 3 geführt wird, und dies vielleicht seit 10 Jahren.

  175. #176 Dr. Webbaer
    4. März 2020

    PS :
    Wirklich schrecklich die Idee, dass Dr. Webbaer da irgendetwas abgekupfert haben könnte und sich hier nun blöde plagiierend ausbreitet…

    @ Thilo
    Ist nicht der Fall, auch unbewusste Übernahme von Gerede anderer ist so gut wie auszuschließen aus diesseitiger Sicht.

  176. #177 Karl-Heinz
    4. März 2020

    @Dr. Webbaer

    Ich bin auch nicht auf die Idee gekommen nach Literatur zu deinem Pokerspiel zu suchen, da ich fest davon überzeugt war, dass die Strategie von dir ist. 🙂

  177. #178 Dr. Webbaer
    5. März 2020

    @ Kommentatorenfreund ‘Joker’ und hier :

    A fängt also an zu callen mit eine Wahrscheinlichkeit, die zwischen 1/3 und 2/3 liegen kann. Und wo immer sie genau liegt, er bleibt dabei.

    Er (“A”) muss auf Wahrscheinlichkeit 1 gehen, wenn “B” mit dem Loser regelmäßig, wie angewiesen scheinend, etwas häufiger als jedes dritte Mal, was zu vernachlässigen ist, “blufft” und der “Centre” gehalten wird.
    Wobei, lol, Dr. W gerade wegen möglicher Peinlichkeit in einer etwas depressiven Phase ist, siehe oben.

    Der Call einer Bet mit dem “Centre” wird ja direkt profitabel für “A”, wenn zu unterstellen ist, dass “B” wie beschrieben hinreichend blufft.

  178. #179 Dr. Webbaer
    5. März 2020

    Ich bin auch nicht auf die Idee gekommen nach Literatur zu deinem Pokerspiel zu suchen, da ich fest davon überzeugt war, dass die Strategie von dir ist. [Kommentatorenfreund Karl-Heinz]

    Danke, Karl-Heinz, Dr. Webbaer täte sich nie erlauben sich irgendetwas abzukupfern, um dann hier gesondert aufzuscheinen, ein schrecklicher Gedanke!

    Kommentatorenfreund ‘Joker’ ist aber dankenswerterweise so abgefeimt auch dies in Betracht zu ziehen, zumindest : indirekt.
    Was Große, lol, ausmacht.

    Sie meinen statt ‘Strategie’ das vorgeschlagene Spiel.

    MFG – WB

  179. #180 Dr. Webbaer
    5. März 2020

    Das hier Hervorgehobene ist falsch, Quelle, wikipedia.en :

    The second player has a single equilibrium strategy: Always betting or calling when having a King; when having a Queen, checking if possible, otherwise calling with the probability of 1/3; when having a Jack, never calling and betting with the probability of 1/3. [Quelle]

  180. #181 Jolly
    5. März 2020

    @Dr. Webbaer

    Die von Ihnen zitierte Aussage in der englischen Wikipedia ist korrekt. Sie gibt die Strategie (1/3; 1/3) für B wieder.

    “Checking if possible”, bedeutet, wie Sie das ja auch schon ganz am Beginn aufgeführt haben, mit ‘Centre’ nicht zu betten, wenn A gecheckt hat.

    Und wenn A initial gesetzt hat, dann muß er sich das ab und zu anschauen, aber nicht zu häufig, eben genau in 1/3 der Fälle.

  181. #182 Dr. Webbaer
    5. März 2020

    Die Strategie mit dem “Centre” in Hand von “A” nur in jedem dritten Fall zu callen, nachdem gecheckt worden ist, wenn “B” bettet, ist inkorrekt, es muss u.U. immer (siehe oben) gecallt werden.
    Was heißt so etwas ? :

    Und wenn A initial gesetzt hat, dann muß er sich das ab und zu anschauen, aber nicht zu häufig, eben genau in 1/3 der Fälle.

    KA, manchmal glaubt Dr. W nicht zu verstehen, was los ist.
    MFG – WB

  182. #183 Jolly
    5. März 2020

    @Dr. Webbbaer

    “Centre” in Hand von “A”

    “The second player” im Zitat aus Wikipedia ist Spieler 2, von mir meistens mit B bezeichnet.

    manchmal glaubt Dr. W nicht zu verstehen, was los ist.

    Manchmal glaubt Dr. W das Richtige.

  183. #184 Dr. Webbaer
    5. März 2020

    Ok, Argumentation verstanden, Spieler 1 verfügt über unendlich viele sog. Gleichgewichtsstrategien und daraus lässt sich genau eine Gleichgewichtsstrategie für Spieler 2 ableiten und zwar die, die für Spieler 2 mit dem “Centre” in der Hand jedes dritte Mal callt.

    Tja, ist für den Pokerspieler Dr. Webbaer anti-intuitiv, aber nochmals danke.

    Dr. W würde so denken in der geschilderten Spielsituation als Spieler 2 :
    Wenn der Gegner jedes dritte Mal mit dem “Loser” blufft, calle ich mit dem “Centre” mit nicht negativem Erwartungswert und ich unterstelle dem Gegner dies zu tun, ich will ja auch “Karten sehen”, Daten sammeln.

    Aber mathematisch würde dies dann nicht der mittlerweile verstandenen Argumentation entsprechen, wie viel würde der Call in einem Spiel (im ersten Spiel) mit der Wahrscheinlichkeit 1 (und den “Centre” in der eigenen Hand) “kosten” (der wäre dann ja spieltheoretisch falsch), kann das jemand auf die Schnelle ausrechnen?

  184. #185 Karl-Heinz
    5. März 2020

    @Dr. Webbaer

    und daraus lässt sich genau eine Gleichgewichtsstrategie für Spieler 2 ableiten und zwar die, die für Spieler 2 mit dem “Centre” in der Hand jedes dritte Mal callt.

    und zwar die, die für Spieler 2 mit dem “Centre” in der Hand jedes dritte Mal callt und Loser jedes dritte Mal bettet. So habe ich es verstanden.

  185. #186 Dr. Webbaer
    5. März 2020

    Bonuskommentar hierzu :

    Mein Berufsziel war, Black-Jack-Profi zu werden. Habe stattdessen später immerhin mit Backgammon etwas Geld verdient und auch ab und zu gepokert.

    Bildung schadet nie, Blackjack kann unter Umständen “geschlagen” (das Fachwort an dieser Stelle) werden, aber dies wissen viele und die Casinos ebenfalls, Automatenspiele könnten geschlagen werden, wenn gewusst wird, wie sie programmiert sind, in der BRD werden wohl aus juristischen Gründen vorgebenene Spielserien abgespielt, was das Gerät angreifbar macht, Dr. W hatte mal ein derartiges Programm, und Automatenspiele können ebenfalls geschlagen werden, wenn sie über hinreichend große sog. Jackpots verfügen.
    Richard Brodie, der angeblich für die Einführung des roten Unterstrichs bei M$-Word verantwortlich ist, hat sich (neben Poker) auch am Automaten bemüht, er hat darüber gebloggt und einige seiner Texte waren köstlich, er bspw. von Casino-Seite falsch eingestellte Automaten lokalisiert, kA ob die Texte noch im Web bereit stehen, Brodie hat auch dies hier beigebracht, was aus diesseitiger Sicht vely clever ist :
    -> https://www.amazon.de/Virus-Mind-New-Science-Meme/dp/1401924697
    Brodie ist kein so-o guter (nur ein sehr guter) Pokerspieler, er war aber mit einer Online-Poker-Platform längere Zeit affiiliert und für den Schreiber dieser Zeilen zeitweise erreichbar, beim Spielen im Chat witzigerweise.
    Backgammon ist interessant, Dr. W hat dort vor, Moment, es waren : drei Jahrzehnten ein wenig geübt. hatte auch Software “am Start”, Backgammon-Base und so, hatte auch Datenbanken, die sich mit dem Auswürfeln im Endgame beschäftigten, Sie sicher ebenfalls, Kommentatorenfreund ‘Joker’, abschließend noch zwei Anmerkungen :
    1.) Poker ist schwierig
    2.) Köstlich ist, insbesondere aus bundesdeutscher Sicht dies hier :
    -> https://www.youtube.com/watch?v=kbK32vCYUgQ (auf die Schnelle gefunden, die eigentliche Dokumentation (des NDR?) ist länger und dauert vielleicht 40 Minuten, kann wohl im Web gefunden werden)

  186. #187 Dr. Webbaer
    5. März 2020

    Zustimmung @ Karl-Heinz.
    Gut, dass Sie ein Auge drauf haben.
    Dr. W denkt eher praktisch, steht mit der Mathematik zwar nicht auf Kriegsfuß, liebt sie sogar, aber hat dort wegen offensichtlicher Sinnlosigkeit in einigen Bereichen die Abreise gesucht, vermutlich vorschnell.

  187. #188 Dr. Webbaer
    5. März 2020

    Ach so, zu aktuell Kommentar #186, noch der Disclaimer, dass Dr. W nicht, wegen der Höhe des Einsatzes, es wurde teilweise Fixed Limit Holdem mit Blinds (“Vorwetten”) in Höhe von $250 und $500 gespielt, Minimum wohl $25 und $50, gegen Brodie angetreten ist, es wurde sich im “Chat” unterhalten.
    Dass Brodie kein so-o guter Pokerspieler ist weiß Dr. W, weil die sog. Win-Rates verraten worden sind.

  188. #189 Karl-Heinz
    5. März 2020

    Lieber Dr. Webbaer, Jolly und Rob.

    Mit eurer Erlaubnis würde ich die Strategien noch mathematisch und grafisch abhandeln. Kann das aber erst am Abend machen. Verspreche tiefgreifende Einblicke in “Was passiert da eigentlich, wenn man so spielt”.
    Ich hoffe, keiner hat was dagegen.

  189. #190 Dr. Webbaer
    5. März 2020

    Genau, Kommentatorenfreund Karl-Heinz, dies hier meinend – ‘“Was passiert da eigentlich, wenn man so spielt.”’

    Sie dürfen es für Dr. W auch ein wenig duller formulieren, bestmöglich allgemeinverständlich.

    MFG – WB (der noch einmal betont ‘Kuhn-Poker’ nicht gekannt zu haben)

  190. #191 Jolly
    5. März 2020

    wie viel würde der Call in einem Spiel (im ersten Spiel) mit der Wahrscheinlichkeit 1 (und den “Centre” in der eigenen Hand) “kosten”

    Das kommt darauf an. Das hängt natürlich zum einen von der von A gewählten Gesamtstrategie ab und zweitens von der Strategie des Gegenspielers B.

    Den einfachsten Fall haben wir, wenn B seine optimale Strategie spielt (1/3; 1/3). Dann kostet der Call von A mit b=1, also Strategie (a; 1; c), mit beliebigen Werten a und c – Trommelwirbel – … :

    Nichts!

  191. #192 Karl-Heinz
    5. März 2020

    @Jolly

    Nö … nicht Nichts, sondern -1/18, da ja B optimal spielt. 😉

  192. #193 Jolly
    5. März 2020

    Wir müssen also zunächst die Frage genauer stellen.

    Unter “Kosten” K verstehen wir die Differenz eines Erwartungswertes zum Erwartungswert der optimalen Strategie E(A) = -1/18

    E[(a; b; c); (x; y)] sei der Erwartungswert bei einem Spiel wenn A die Strategie (a; b; c) spielt und B spielt (x; y).

    Uns interessieren die maximalen Kosten, die entstehen können, wenn A eine Strategie (a; 1; c) spielt, bei gegebenem a und c.

    Um den Erwartungswert eines Spiels zu bestimmen, muss zunächst die Strategie für B ermittelt werden, die A die höchsten Kosten verursachen würde.

    Ein Beispiel: A spielt (1/3; 1; 1) , dann ergibt sich:

    E(A) = 1/6 [ y – 2/3] (siehe #103)

    Wenn ich nichts überlesen habe, hat Rob uns leider noch nicht das Optimum dieser Funktion verraten. Ich vermute das Minimum bei y = 0. Da x nicht auftaucht, dürfte der Wert keine Rolle spielen. (Es gibt also jetzt auch unendlich viele Strategien für B)

    E[(1/3; 1; 1); (x; 0)] = -2/18

    K = 1/18

  193. #194 Dr. Webbaer
    5. März 2020

    Dr. W regt an in Betracht zu ziehen, dass Wissen über die gegnerische Strategie ein Wert an sich ist, das generische Spielverhalten meinend, einen informativen, und es Sinn machen könnte, für Information zu callen, wenn die Kosten dafür gering oder nicht vorhanden sind, also freundlicherweise bei 0 Chips oder – 1 / 18 Chips per Hand liegen.

    Dr. W interessiert sich gerade auch für das Einstiegsverhalten sozusagen in ein derartiges Serienspiel, wenn am Anfang, am Anfang einer sich anbahnenden Serie von Spielen (“Händen”) noch wenig Erfahrung über gegnerisches Spiel vorliegt.

  194. #195 Jolly
    5. März 2020

    Das Vorgehen an einem anderen Beispiel. A spiele (0; 1; 0).

    Wir bemühen ‘Sum1’

    E(A) = 1/6 [a(1-3x) + b(3y-1) + c(x-y) -y]

    und setzen dort die gegebenen Werte a, b und c ein.

    E(0; 1; 0); (x; y)] = 1/6 [ (3y-1) – y] = 1/6 [2y – 1]
    = 1/3 y – 1/6

    Von dieser Funktion bestimmen wir das Minium (B möchte ja den Erwartungswert für A minimieren). Auch hier ergibt sich dies bei y = 0; x = don’t care.

    E[(0; 1; 0); (x; 0)] = -1/6

    K= 1/9

  195. #196 Karl-Heinz
    5. März 2020

    @Jolly #193
    Erwartungswert von B wenn A (1/3,1,1) spielt

    Man sieht das Spieler B x auf 0 setzen muss um einen Erwartungswert von E=2/18=1/9 zu erreichen.

  196. #197 Karl-Heinz
    5. März 2020

    @Jolly #195

    Erwartungswert von B wenn A (0,1,0) spielt

    Man sieht, dass Spieler B x auf 0 setzen muss um einen maximalen Erwartungswert von E=1/6 zu erreichen.

  197. #198 Karl-Heinz
    5. März 2020

    @Jolly

    Sorry wegen Bezeichnung
    Dein x ist bei mir y
    und y ist bei mir y.

  198. #199 Jolly
    5. März 2020

    @Karl-Heinz

    y ist bei mir y

    So ist das bei mir auch.

    @Dr. Webbaer

    Dr. W interessiert sich gerade auch für das Einstiegsverhalten sozusagen in ein derartiges Serienspiel, wenn am Anfang, am Anfang einer sich anbahnenden Serie von Spielen (“Händen”) noch wenig Erfahrung über gegnerisches Spiel vorliegt.

    Das im Kuhnpoker-Wikipediaartikel verlinkte Dokument “Effective Short-Term Opponent Exploitation in Simplified Poker” beschäftigt sich genau mit dieser Problematik.

  199. #200 Karl-Heinz
    5. März 2020

    @Jolly

    y ist bei mir y

    Oh …
    Scherzkeks 🙂

  200. #201 Rob
    5. März 2020

    Jolly,
    so weit bin ich noch nicht,
    Ich bin noch dabei mir konkret die spielsituation vorzustellen und gucken was passiert, wenn A ( 1/3 , 1, 1 ) spielt. Wie muss B antworten ?
    Wenn A bei Center called, sollte das B nicht tun.
    Wenn A bei Joker 1/3 mal setzt , sollte B bei 2/3 mal setzen. ???? .
    Wenn A bei Looser setzt solte B das nicht tun ???
    Ich habe immer noch das Problem die optimalen Gewinnwahrscheinlichkeiten für die einzelnen Positionen zu finden. (Wo finde ich die ?)

  201. #202 Karl-Heinz
    5. März 2020

    @Rob

    Ist total easy.
    Werte heute Abend die Beziehung herleiten. ,-)

  202. #203 Karl-Heinz
    6. März 2020

    @Rob

    Ich hoffe du weißt was ein Gradient ist.

    Aus einem Skalar Erwartungswert E(Chips) mache ich ein Vektorfeld in dem ich den Gradienten anwende.
    Damit knacke ich dein Problem. 😉

  203. #204 Karl-Heinz
    6. März 2020

    @Rob

    Ich hoffe du lässt dich auf einen kleinen Wettstreit ein.
    A spielt eine Strategie (a,b,c). Wie muss Spieler B antworten, um einen maximalen Gewinn (= max. Erwartungswert) zu erzielen, wenn Spieler A seine Strategie einige Zeit beibehält?
    (x=?, y=?)

  204. #205 Karl-Heinz
    6. März 2020

    @Rob

    Ich hoffe du lässt dich auf einen kleinen Wettstreit ein.

    A spielt eine beliebige Strategie (a,b,c), die A einige Zeit beibehält. (a,b,c bleiben in dieser Zeit unverändert)

    Frage a)
    Wie muss Spieler B antworten, um einen maximalen Gewinn (= max. Erwartungswert) zu erzielen.
    (x=?, y=?)

    Frage b)
    Wie groß ist der Gewinn pro Hand?

  205. #206 Dr. Webbaer
    6. März 2020

    Ja, danke, Kommentatorenfreund ‘Joker’, Dr. W hat sich’s heruntergeladen und nun einige Zeit zu meditieren, Kommentatorenfreund Karl-Heinz ist Ankündigungsweltmeister, bisher, Dr. W kennt ihn abär schon länger und kann sich vorstellen, dass er diese Sache (die Dr. W nicht abgekupfert hat, auch nicht vom Hören-Sagen, ein schrecklicher Verdacht, Sie haben ja dbzgl, schon ein wenig geprüft) abschließend behandeln wird.

    MFG – WB (der mal hofft, dass Sie Backgammon als Spiel nicht so-o gut fanden)

  206. #207 Jolly
    6. März 2020

    @Karl-Heinz

    Gute Fragen. Bin gespannt auf die bunten Bilder.

    @Rob

    Hinweis: Ich würde mir ‘Sum2’ anschauen:

    E(A) = 1/6 [x(c-3a) + y(3b-c-1) + (a-b)]

    Aus meiner Sicht sollten 4 bis 7 Fälle unterschieden werden.

  207. #208 Karl-Heinz
    6. März 2020

    Webbaer-Poker Spiel Analyse Teil I

    Spieler A:
    Joker (betten | checken) Joker (betten) = a
         Joker (callen | folden) Joker (callen) = 1
    Centre (betten | checken) Centre (betten) = 0 ?
         Centre (callen| folden) Centre (callen) = b
    Loser(callen| folden) Loser(callen) = 0
         Loser(betten | checken) Loser(betten) = c

    Spieler B:
    Joker (betten | checken) Joker (betten) = 1 ?
         Joker (callen | folden) Joker (callen) = 1
    Centre (betten | checken) Centre (betten)=0 ?
         Centre (callen| folden) Centre (callen) = x
    Loser(callen| folden) Loser(callen) = 0
         Loser(betten | checken) Loser(betten) = y

    Begründung warum man mit Centre nicht betten soll:
    Der bet-Zweig ist für beide Spieler mit der Karte Centre ein Verlustzweig !

    Begründung warum Spieler B mit dem Joker betten soll:
    Der Bet-Zweig verspricht für Spieler 2 mit der Karte Joker einen höheren Gewinn als der alternative Check-Zweig.

    Damit bleiben für Spieler A die Unbekannten:
    Joker (betten) = a
    Centre (callen) = b
    Loser(betten) = c
    und Spieler B die Unbekannten:
    Centre (callen) = x
    Loser(betten) = y

    Des weiteren gilt:
    check = 1- bet
    fold = 1-call

  208. #209 Jolly
    6. März 2020

    Soweit, so gut. Teil 1 von …?

  209. #210 Karl-Heinz
    6. März 2020

    @Jolly

    Ist dir schon aufgefallen, dass für ein bestimmtes a,b,c die Werte (x,y, E2) auf einer Ebene im Raum x,y,z liegen.
    x € [0,1]
    y € [0,1]
    z € [-2,2]

  210. #211 Karl-Heinz
    6. März 2020

    Webbaer-Poker Spiel Analyse Teil II

    Ew1 … Erwartungswert (Chips) von Spieler A
    Ew2 … Erwartungswert (Chips) von Spieler B

    Es gilt Ew2 = – Ew1
    z = Ew2
    a,b,c,x,y ∈ [0,1] und z ∈ [-2,+2]
    e1 … Einheitsvektor in Richtung x
    e2 … Einheitsvektor in Richtung y

    Spieler A:
        Joker (betten) = a
        Centre (callen) = b
        Loser (betten) = c
    Spieler B:
        Centre (callen) = x
        Loser(betten) = y

    Erwartungswert von Spieler A und B
    • Ew1 = 1/6 [ a(x-y) + b(3y-1) + c(1-3x) -y ]
    oder alternativ
    • Ew1 = 1/6 [ x(a-3c) + y(3b-a-1) + (c-b) ]

    Spieler B spielt optimale Strategie
    Ist x=1/3 und y = 1/3 folgt Ew1 = -Ew2 = -1/18
    und auch für
    Spieler A spielt optimale Strategie
    (a;b;c) = ( a ; (a+1)/3 ; a/3 ) a ∈ [0,1]
    ist Ew1 = -Ew2 = -1/18

    Gradient von Ew2
    (Richtung des steilsten Anstieges des Skalarfeldes Ew2)

    Ew2 = -1/6 [ a(x-y) + b(3y-1) + c(1-3x) -y ]

    • grad(Ew2) = 1/6(3c-a) • e1 + 1/6(a-3b+1) • e2

    Hinweis:
    Der Gradient von Ew2 ist unabhängig von x und y. Mit anderen Worte, es herrscht überall auf x,y der gleiche steilste Anstieg (Betrag und Richtung!).

    Der Gradient von Ew2 ist für (a;b;c) = ( a ; (a+1)/3 ; a/3 ) a ∈ [0,1], wenn also A die optimale Strategie spielt, gleich 0.

  211. #212 Karl-Heinz
    6. März 2020

    Frage an die Mitspieler.
    Die Richtung des steilsten Anstiegs vom Erwartungswert des Spielers B soll (x,y) = (1,1) sein. Gleichzeitig soll es sich, sofern dies eindeutig ist, um den steilsten Anstieg handeln. Welche Werte muss dafür a,b,c beim Spieler A annehmen? Stellen sie den Erwartungswert des Spielers B für x und y im Intervall [0,1] grafisch dar.

  212. #213 Karl-Heinz
    6. März 2020

    Frage an die Mitspieler.
    Wenn Spieler A (Anfänger!) mit a,b,c sein Spiel spielt, wie müssen sie mit mit x,y antworten, um Spieler A so richtig abzuzocken. Verwenden Sie dafür die bisher gewonnenen Erkenntnisse, wie überall gleiche Steigung in gleicher Richtung. Überlegen Sie sich eine Strategie wie sie x und y einfach ermitteln können. 🙂

  213. #214 Rob
    6. März 2020

    Karl-Heinz,
    du bist so fleißig und ich habe keinen Bock und muss mich zwingen, das zu verstehen.
    Bis 208 ist alles verstanden. Bei 210 stehe ich schon auf dem Schlauch. Kannst du das mal mit anderen Worten sagen.

  214. #215 Karl-Heinz
    6. März 2020

    @Rob

    Bei Spieler B gibts ja (bei konstanten a,b,c vom Spieler A), die veränderlichen x,y. Als dritte Dimension trage ich den Erwartungswert von Spieler B auf. Bei konstanten a,b,c liegen die Punkte (x,y,Erwartungswert von B) auf einer Ebene.

  215. #216 Rob
    6. März 2020

    Karl -Heinz,
    so weit bin ich noch nicht, weil ich die Gewinne von #119 nicht verstehe.

    Beispiel : Joker gegen Loser.
    1, Joker checked Wahrscheinlichkeit 1-3a
    2, Loser cheked Wahrscheinlichkeit 2/3 Gewinn = +1
    Woher kommt die 1 wenn joker und Loser nicht gesetzt haben ? Lag ein Chip im Pot ?

    3. Loser setzt Wahrscheinlichkeit 1/3
    4. Joker passed , Verlust -1
    5, Joker called , Gewinn + 2

    Habe ich bis jetzt alles falsch verstanden ? nur der 2. Fall ist mir unverständlich.

  216. #217 Karl-Heinz
    6. März 2020

    @Rob

    Zu Beginn jeder Hand gibt jeder 1 Chip in den Pot. Dann befinden sich zwei Chips im Pot.
    Beginnst du mit Joker und folgt dann check von dir und check von Spieler B, dann hast du den Pot gewonnen. Dein Gewinn ist dann Pot weniger deinem Einsatz zu Beginn. Das macht 2-1 Chip = 1 Chip Gewinn. 😉

  217. #218 Rob
    6. März 2020

    Karl-Heinz,
    Gut !
    Beim 2. Spiel , müssen da auch beide Spieler wieder zu Beginn einen chip in den Pot werfen ?

  218. #219 Karl-Heinz
    6. März 2020

    @Rob
    Nach dem der Pot ausbezahlt wurde beginnt eine neu Hand. Und da gibt jeder wieder 1 Chip in den Pot und dann wird …

  219. #220 Karl-Heinz
    6. März 2020

    @Rob

    Und wenn du keine Kohle mehr hast, kannst gar nicht mehr weiter spielen. 😉

  220. #221 Rob
    6. März 2020

    Karl-Heinz,
    auf diese Weise kann man ja einen Kampf um den Pot führen ?
    Jetzt kann ich weiter machen.

  221. #222 Jolly
    6. März 2020

    @Rob

    Falls Ante (was das ist, erfährst du, wenn du den Artikel liest, der über den Kommentaren steht) und der Betrag beim Setzen unterschiedlich sein sollten, ändern sich die optimalen Strategien.

    Das Spiel ohne Ante, mit leerem Pot zu Beginn, läßt sich recht schnell analysieren:
    Mit ‘Loser’ und ‘Centre’ immer nur checken, nie callen. Mit ‘Joker’ ist egal was du machst. Das gilt für Spieler A und B. Bei optimaler Strategie ergibt sich:
    E(A) = 0.

    Falls wir mal miteinander Poker spielen, egal in welcher Variante, und dir sollten die Chips ausgehen, bei mir bekämst du Kredit *.

    * verzinst

  222. #223 Rob
    7. März 2020

    Karl-Heinz,
    Oh Mann, jetzt kapier ich, weil der Webbaer zu Beginn geschrieben hat, die Spieler setzen nur 1 mal einen Chip zusammen in den Pot……ich dachte das gilt für die ganze Spielrunde. Das gilt für jedes Spiel ? Gibt es Fälle, wo der Pot nicht geleert wird ?
    Jetzt mal konkret
    Ich spiele (1,1,1)
    das heißt, wenn ich Joker habe, dann setze ich den.
    Gewinnerwartung gegen Loser = +4
    das wäre der Ausdruck a( x – y), d.h. wenn loser nicht nicht setzt, also setzt.

    Gewinnerwartung gegen Center = +3
    das wäre doch unten der Ausdruck a(x )

    Ew1 = 1/6 [ a(x-y) + b(3y-1) + c(1-3x) -y ]

    Wenn ich jetzt center habe , dann calle ich
    Wie kommt man jetzt zu der Form b(3y -1 ) ?

  223. #224 Jolly
    7. März 2020

    @Rob

    Gewinnerwartung gegen Loser = +4

    Nein.

    Der Gewinn pro Hand ist immer 1; 2; -1 oder -2. Die Gewinnerwartung, der Gewinn mit einer Wahrscheinlichkeit zwischen 0 und 1 multipliziert, liegt also immer zwischen -2 und 2.

    das wäre der Ausdruck a( x – y)

    Nein.

    Da es wohl aufwendiger ist, alles nocheinmal zu schreiben, wäre es hilfreich, du würdest das bereits geschriebene einfach noch einmal lesen.

    Um zu verstehen, wie bedingte Wahrscheinlichkeiten ermittelt werden, z.B. bei A hat ‘Joker’, verweise ich zunächst auf #120, das Bild im dort verlinkten Dokument, sowie speziell die Gleichung für E(A) mit noch allen ermittelten Teilergebnissen, den einzelnen Summanden (also bevor sie in ‘Sum1’ und ‘Sum2’ zusammengefasst wurden).

  224. #225 Jolly
    7. März 2020

    @Rob

    Gibt es Fälle, wo der Pot nicht geleert wird ?

    Artikel.

    Wie kommt man jetzt zu der Form b(3y -1 ) ?

    #120 und Anleitung

    Wenn du möchtest und nur um sicherzugehen, dass du es richtig verstanden hast, kannst du die Antworten hier ja posten, zusammen mit deinen nächsten Fragen.

  225. #226 Rob
    7. März 2020

    Karl-Heinz,
    wir spielen jetzt mal zu Abwechslung.
    Mein Vorschlag,jeder hat 6 Spiele und legt seine Karten fest, z.B. J,L,L,C,J,C also jede 2 mal. nicht mogeln!

    Dann beginnen wir 10.30 Uhr online hier.
    Spieler 1 setzt oder checked, Zeit 30 Sekunden, danach antwortet Spieler 2 mit seiner Karte, die er vorher festgelegt hat. Nicht mogeln. Das Spielergebnis gibst du bekannt, nachdem Spieler 1 seine Karte genannt hat. Bei 12 Spielen dürften wir nach spätestens 30 Minuten fertig sein.
    Gegenvorschlag ?

  226. #227 Rob
    7. März 2020

    K.H.
    Neue Logik:
    Joker setzt ,Loser passed Wahrscheinlichkeit 1mal 1 = 1
    Joker setzt, Center passed 2/3 mal 1
    Center called 1/3 mal 2
    Durchschnitt = 2/3
    Durchschnitt von Loser und center = 6/6 + 4/6 = 10/6 /2 = 5 /6
    Jetzt richtig ?

  227. #228 Jolly
    7. März 2020

    @Rob

    Wie schließt ihr denn aus, dass ihr in einer Hand beide die gleiche Karte bekommt?

  228. #229 Jolly
    7. März 2020

    @Rob

    Jetzt richtig ?

    Fast.

    Nur 5/6, kann das sein? Wäre schon irgendwie seltsam, wenn A mit Joker im Schnitt weniger als 1 Chip gewänne, oder?

    Er gewinnt doch jedesmal, also immer mindestens 1 Chip und manchmal halt auch 2.

    (Tipp: 2/3 + 2/3 = 4/3)

    Zum Glück nur ein Rechenfehler, der Weg war korrekt.

  229. #230 Rob
    7. März 2020

    Jolly,
    welche Freude am Morgen. Du hast Recht. Wir könnten die beiden gleichen Karten haben.
    O.K. also wir müssen verschieben, das ist ein echtes Problem . Wie kann man online pokern ? Man bräuchte eine 3. Person, die uns telefonisch die Karten zuweist.
    Ist der Gradient die Steigung bei einer Kurvenschar, bei einem unbestimmten Integal ? Ich hatte Mathe immer nur bis zur Mittelstufe und Differentialgleichungen nie gebraucht.

  230. #231 Rob
    7. März 2020

    Karl-Heinz,
    wir müssen verschieben, Jolly ist mir einfach überlegen.
    Ich bin mit der Logik bei #65 angekommen.
    Vorher war ich blockiert, weil mir das das mit dem Pot so unklar war.
    Kopf hoch, da beiße ich mich durch. Braucht noch etwas Zeit. Wenn du mal 70 + erreicht hast , geht das Denken etwas langsamer. Ich bin auch noch am Überlegen, ob ich lieber Spanisch lerne oder Italienisch. Chinesisch ist auch sinnvoll, vorallem die Schrift. Diese Mischung aus Bilder und Lauten hat den Vorteil, dass du auf den ersten Blick erkennst, ob über Menschen gesprochen wird oder über Sachen. Das Schriftzeichen für Mensch ist im Chinesischen dem Strickmännchen ähnlich.

  231. #232 Karl-Heinz
    7. März 2020

    Webbaer-Poker Spiel Analyse Teil III

    Spieler A:
    Joker (betten) = a (auch eine Art bluffen wenn check?)
    Centre (callen) = b (Gegenmaßnahme?, wenn B blufft)
    Loser (betten) = c (bluffen)
    Spieler B:
    Centre (callen) = x (Gegenmaßnahme?, wenn A blufft)
    Loser(betten) = y (bluffen)

    • Ew1 = 1/6 [ x(a-3c) + y(3b-a-1) + (c-b) ]

    Spieler A spielt optimale Strategie und dafür gelten die Beziehungen
    in Abhängigkeit von a:
    (a;b;c) = ( a ; (a+1)/3 ; a/3 ) a ∈ [0,1]

    oder alternativ in Abhängigkeit von b:
    (a;b;c) = ( 3b-1 ; b ; b-1/3 ) b ∈ [1/3,2/3]

    oder alternativ in Abhängigkeit von c:
    (a;b;c) = ( 3c ; c+1/3 ; c ) c ∈ [0,1/3]

    ist Ew1 = -Ew2 = -1/18

    Parameteranalyse, wenn Spieler A optimal spielt.
    a=0: (a;b;c)=( 0; 1/3 ; 0)
    a=1: (a;b;c)=( 1; 2/3 ; 1/3)

    b=1/3: (a;b;c)=( 0; 1/3 ; 0)
    b=2/3: (a;b;c)=( 1; 2/3 ; 1/3)

    c=0: (a;b;c)=( 0; 1/3 ; 0)
    c=1/3: (a;b;c)=( 1; 2/3 ; 1/3)

    Wenn Spieler A die optimale Strategie spielt, dann liegen mögliche Werte für
    a… Joker (betten) zwischen 0 und 1 (bluffen?)
    b… Centre (callen) zwischen 1/3 und 2/3 (Gegenmaßnahme? zum Bluffen von B)
    c… Loser (betten) zwischen 0 und 1/3 (bluffen)

  232. #233 Karl-Heinz
    7. März 2020

    @Rob

    Kein Problem
    Ich kann warten. 🙂

  233. #234 Rob
    7. März 2020

    Karl-Heinz, Jolly
    Beim Joggen ist mir eine praktikable Lösung eingefallen. Wir legen die Reihenfolge der Karten nicht fest. Das wäre ja blöd. Dafür darf man jede Karte nur 2x verwenden.
    Wenn beide Spieler die gleiche Karte haben gilt:
    1)Wenn Spieler 2 oder auch 1 mit der gleichen Karte called, gilt das Spiel als nicht gespielt.
    2)Wenn Spieler 1 und 2 mit der gleichen Karte checken, dann bleibt der Einsatz im Pot und
    das Spiel gilt. Wer also mit dem Joker gecheckt hat und Spieler 2 auch mit dem Joker gecheckt hat, der darf den Joker nur noch einmal verwenden als Spieler 1. Für Spieler 2 gilt das gleiche.
    Da du als Spieler 1 sechs Spiele machst, darfst du den Joker 2x verwenden, den Center 2x und den Loser 2x.
    Als Spieler 2 darfst du den Joker nur 2x verwenden, den Center 2x und den Loser 2x.
    Die Reihenfolge und das ist natürlich das wichtigste , die bleibt dir überlassen.
    Heute Abend ab 20 Uhr hätte ich wieder Zeit.
    Gegenvorschlag ?

  234. #235 Karl-Heinz
    7. März 2020

    @Rob

    Sehr gut. Joggen ist gesund. 🙂

  235. #236 Rob
    7. März 2020

    Jolly #90 , Karl-Heinz

    Betrifft
    E(A) = 1/6 (-1 +a +a-ax-2ax-1+a-2a+1-y-y+yb+2yb-1+b-2b+1-c-y+cy+2y-2cy+c+1-c+c-cx+2cx)

    Kannst du mal Klammern einsetzen und dazu schreiben, welcher Spielreaktion das entspricht.

    Ich hoffe, dann verstehe ich die Logik. Danke !

  236. #237 Jolly
    7. März 2020

    @Rob

    Kannst du mal Klammern einsetzen und dazu schreiben, welcher Spielreaktion das entspricht.

    #120 / #121

    E(A) =1/6 [ -(1-a) + a (1-x) + (-2 a x) + -(1 – a) + -2 a + (1-y) + (-y (1-b) ) + (2 y b) + -(1-b) + (-2 b) + (1-c)(1-y) + 2 (1-c) y + c + (1-c) + c (1-x) + 2 c x]

    Die 16 Summanden sind durch ‘+’ geklammert. Die 6 Summanden ganz rechts, fett hervorgehoben, entsprechen den Ästen der Zeichnung im verlinkten Dokument bei KJ und KQ, von link nach rechts.

    Z.B:
    (1-c)(1-y) = [1-c-y+cy] , KJ ; King pass / Jack pass , in unser Konvention ‘Joker’ check / ‘Loser’ check

    E(A) = 1/6 (-1 +a +a-ax-2ax-1+a-2a+1-y-y+yb+2yb-1+b-2b+[1-c-y+cy]+[2y-2cy]+[c]+[1-c]+[c-cx]+[2cx])

  237. #238 Rob
    7. März 2020

    Jolly,
    ich hab’s
    du beginnst mit dem Gewinn/Verlust und multiplizierst mit der Wahrscheinlichkeit.
    Deine Summenformel mal ausführlich.

    Gewinn mal Wahrscheinlichk.1. Zweig + Gewinn 2. Zw
    -1 mal (1-a) mal 1
    +1 mal (a) mal (1 -x) ……. + -2(a mal x)
    -1 mal(1-a) mal 1 mal 1 + – 2(a)mal1
    usw.
    da hab ich aber auf dem Schlauch gestanden.

  238. #239 Rob
    8. März 2020

    K.H. Jolly
    Einen schönen Guten Abend !

    Wenn Sie bereit sind, Rob beginnt , und checked.
    Sie sind am Zug! Im Pot sind 2 Chips.

  239. #240 Karl-Heinz
    8. März 2020

    @Rob
    Verstehe ich es richtig. Du willst online ein Spiel mit uns spielen?

  240. #241 Rob
    8. März 2020

    Karl-Heinz,
    ja, jetzt bist du dran ! (wir spielen mit virtuellen chips, des Spasses wegen und um an dem Beispiel die Wahrscheinlichkeiten nachrechnen zu können)
    Ich bin wieder etwa um 10.30 Uhr erreichbar. Du kannst aber schon setzen oder checken. Wir spielen ehrlich, die Karte, mit der ich gechecked habe bleibt.

  241. #242 Karl-Heinz
    8. März 2020

    Webbaer-Poker Spiel Analyse Teil IV

    Spieler A:
    Joker (betten) = a (auch eine Art bluffen wenn check?)
    Centre (callen) = b (Gegenmaßnahme?, wenn B blufft)
    Loser (betten) = c (bluffen)
    Spieler B:
    Centre (callen) = x (Gegenmaßnahme?, wenn A blufft)
    Loser(betten) = y (bluffen)

    Erwartungswert von Spieler A und B
    • Ew2 = – Ew1

    • Ew1 = 1/6 [ a(x-y) + b(3y-1) + c(1-3x) -y ] oder alternativ
    • Ew1 = 1/6 [ x(a-3c) + y(3b-a-1) + (c-b) ]

    Gradient nach a,b,c von Ew1
    • grad(Ew1) =
        1/6(x-y)   • e_a
    +  1/6(3y-1) • e_b
    +  1/6(1-3x) • e_c

    Gradient nach x,y von Ew2
    • grad(Ew2) = 1/6(3c-a) • e_x + 1/6(a-3b+1) • e_y

    Wie soll Spieler A spielen, wenn B vom optimalen Spiel abweicht. Darüber gibt uns der Gradient nach a,b,c von Ew1 Auskunft.

    Wir betrachten das Spiel aus Sicht des Spielers A und wollen den Erwartungswert maximieren. Wir kennen x und y. Die Vektoren e_ sind Einheitsvektoren.
    e_a … Einheitsvektor von a, Joker (betten)
    e_b … Einheitsvektor von b, Centre (callen)
    e_c … Einheitsvektor von c, Loser (betten)
    Wir greifen einen Teilaspekt heraus und überlegen uns, wie Spieler A reagieren muss, wenn Spieler B mit dem Loser zu oft oder zu wenig oft blufft. Dazu betrachten wir den grad(Ew1) nach a,b,c.

    Fall a) Spieler B blufft zu oft mit Loser y>1/3
    1/6(3y-1) • e_b >0 … wir setzen b auf 1.
    D.h. wenn Spieler B zu oft mit seinem Buben blufft, dann sollten wir mit Center immer callen.

    Fall b) Spieler B blufft zu wenig oft mit Loser y <1/3
    1/6(3y-1) • e_b < 0 … wir setzen b auf 0.
    D.h. wenn Spieler B zu oft mit seinem Buben blufft, dann sollten wir Center auf eine Bet nicht callen, sondern stets folden.

    Fall c) Wenn y=1/3, so ist es irrelevant, wie wir mit der Center auf einen Bet reagieren.

    Man vergleiche mit … 🙂
    http://www.mathematik.uni-muenchen.de/~spielth/artikel/Poker_einfach.pdf

  242. #243 Karl-Heinz
    8. März 2020

    @Rob

    Sorry Rob. Ich muss leider weg.

  243. #244 Rob
    8. März 2020

    Karl-Heinz,
    Storno !
    Deine erstaunteReaktion hat mich nachdenklich gemacht. Nicht, dass wir dann steuerpflichtig werden, evtl . Vergnügungssteuer oder Spielesteuer oder gegen sonstige Bestimmungen verstoßen.
    Also kein Spiel !

  244. #245 Karl-Heinz
    8. März 2020

    @Rob

    Super. Ich denke nicht, dass so ein Onlinegame zielführend ist. 😉

  245. #246 Karl-Heinz
    9. März 2020

    Danke an alle für das Mitspielen. War sehr interessant. 🙂

  246. #247 Karl-Heinz
    9. März 2020

    @Rob

    Ist der Gradient die Steigung bei einer Kurvenschar, bei einem unbestimmten Integal ?

    Gradient sind vereinfacht gesprochen partiell Richtungsableitungen zur jeweiligen Komponente. Zum Beispiel hast du eine Funktion f(x,y,z). Dann wäre der Gradient von f(x,y,z) in
    x-Richtung ∂f(x,y,z)/∂x … y,z bleiben unverändert
    y-Richtung ∂f(x,y,z)/∂y … x,z bleiben unverändert
    z-Richtung ∂f(x,y,z)/∂z … x,y bleiben unverändert

    Bei unserem Beispiel gilt dann für die Gegenstrategie. Ist die Richtungsableitung in der jeweiligen Richtung positiv, gehe bis zur Intervallsgrenze 1. Ist sie negativ gehe bis zur Intervallsgrenze 0. Ist sie 0, dann ist es wurst, was du machst. 😉

  247. #248 Rob
    9. März 2020

    Karl-Heinz,
    Ich bin jetzt bei #120 angelangt.
    Genauer beim Link . Der text ist in Englisch. Deshalb braucht man länger um ihn zu verstehen.
    Ich denke, darin ist alles gesagt.

    Das Thema wird jetzt immer schwieriger und es ist eine spannende Sache.
    Wie ist das erst bei einem richtigen Poker, wenn die Karten wechseln ?
    Ob den Pokerspielern dieTheorie bekannt ist, oder spielen die intuitiv.

    Jetzt bin ich bei #237
    Die sprachliche Konvention ist mir lieber als (1-c)(1-y)
    Jetzt die nächste Unklarheit

    2(1-c)y +c bedeutet 2 mal (King passed)y wobei y = “loser setzt” bedeutet, aber das c bedeutet doch nicht (A loser setzt) ? Meinst du jetzt c = gamma ?

  248. #249 Karl-Heinz
    9. März 2020

    @Rob

    Spieler A:
    α = a
    β = b
    γ = c

    Spieler B:
    η = x
    ξ = y

    Anhand von Figure1 kann man sehr schön erkennen, was was ist. Also y ist hier im Dokument Spieler 1 König bet.
    http://webdocs.cs.ualberta.ca/~holte/Publications/aaai2005poker.pdf

  249. #250 Rob
    10. März 2020

    K.H.
    γ = c Was bedeutet das ? gamma = c ?
    ξ = y epsilon = y ?

    Konkret : Ist c eine Variable für die Wahl
    oder ist c = A loser setzt ?

    Ich bin 5 km gelaufen und habe mir diese Frage gestellt

  250. #251 Karl-Heinz
    10. März 2020

    @Rob

    Jolly und ich haben die Wahrscheinlichkeiten mit a,b,c und x,y bezeichnet. Wobei es zwischen mir und Jolly leider auch wieder einen Unterschied gibt. Die Variablen a und c sind bei Jolly und mir vertauscht.
    Wenn du dich aber auf das PDF beziehst, dann bedeutet α (alpha) mit welcher Wahrscheinlichkeit Spieler A bei Bube bettet.

    J – Jack, Q – Queen, and K – King

    Es freut mich, dass du joggst. Ist gut für den Kreislauf und macht oder hält einen Schlank. 😉

  251. #252 Rob
    10. März 2020

    Karl-Heinz,
    du bist der fleißigste von allen. Ohne Dich hätte ich mich nie getraut in so eine verzwickte Materie einzutauchen.
    Gut, jetzt weiß ich dass die griechischen Buchstaben im pdf die Variablen sind. Um vertauschungen zu vermeiden ist mein Vorschlag a,b,c,x,y nicht doppelt zu verwenden für
    a = Joker setzt
    b = Center called
    c= Loser setzt
    x= Bcenter called
    y=BLoser setzt

    Und wenn man nur + c schreibt dann heißt das doch + 1(1c). Immer zuerst den Gewinn , dann mal der Wahrscheinlichkeit.
    Das soll keine Kritik sein. Ich habe mir angewöhnt, so zu denken, wie ich es auch den Schülern erklärt hätte.

    Jetzt kann ich weiter eindringen in die Geheimnisse der Wahrscheinlichkeiten !

  252. #253 Karl-Heinz
    10. März 2020

    @Rob

    a,b,c,x,y dürfen eh nicht doppelt verwendet werden.
    a,b, und c gehört zu Spieler A
    x und y gehört zu Spieler B

    a = Wahrscheinlichkeit AJoker setzt
    b = Wahrscheinlichkeit ACenter called
    c = Wahrscheinlichkeit ALoser setzt

    x = Wahrscheinlichkeit BCenter called
    y = Wahrscheinlichkeit BLoser setzt

  253. #254 Jolly
    10. März 2020

    @Rob

    a = Joker setzt
    b = Center called
    c= Loser setzt

    In #90 hatte ich mich selbst durch die Bezeichnung J irritieren lassen, die steht im Bild für Jack, also ‘Loser’, und das in #92 korrigiert:

    a = A mit “Loser’ setzt (blufft)
    c = A mit ‘Joker’ setzt

    So passen die Formeln, die ich in den Kommentaren für E(A) angegeben habe, zur Abbildung im Dokument. Lass @Karl-Heinz sein eigenes Ding machen, der tauscht gerne, ohne den Überblick zu verlieren.

    Du solltest tauschen, um Vertauschungen zu vermeiden.

  254. #255 Rob
    10. März 2020

    Karl-Heinz,
    Wenn du a = Joker setzt nimmst, dann stimmt das nicht mit dem pdf #120 überein, da ist die Wahrscheinlichkeit von Joker setzt mit gamma bezeichnet.

  255. #256 Karl-Heinz
    10. März 2020

    @Rob

    Ich weiß.

    Dann müsste es so aussehen, um zum pdf zu passen.

    a,b, und c gehört zu Spieler A
    x und y gehört zu Spieler B

    a = Wahrscheinlichkeit ALoser setzt
    b = Wahrscheinlichkeit ACenter called
    c = Wahrscheinlichkeit AJoker setzt

    x = Wahrscheinlichkeit BCenter called
    y = Wahrscheinlichkeit BLoser setzt

    Man sollte halt jedesmal angeben, was die einzelnen Bezeichnungen nun bedeuten. 😉

  256. #257 Rob
    10. März 2020

    Karl-Heinz,
    danke. Wenn ich nämlich formal zu denken beginne, dann muss es eindeutig sein.

  257. #258 Karl-Heinz
    11. März 2020

    @Rob

    So, jetzt kommen wir zur Prüfung.
    Spieler B spielt wie folgt.
    BCenter called mit 50% Wahrscheinlichkeit
    BLoser setz mit 60% Wahrscheinlichkeit
    Wie muss Spieler A spielen, damit sein Erwartungswert an gewonnene(?) Chips maximal wird.

  258. #259 Karl-Heinz
    11. März 2020

    @Rob
    Und natürlich, wie groß ist sein Gewinn oder Verlust?

  259. #260 Rob
    11. März 2020

    K.H.
    auf die Schnelle:
    Gegen Loser steigt die Wahrscheinlichkeit 2 chips zu gewinnen von 1/3 auf 1/2
    Gegen Joker sinkt die Wahrscheinlichkeit 2 Chips zu verlieren von 1 auf 0,6

    Wie man das mathematisch genau darstellt, das willst du ja wissen, aber das kann ich noch nicht auf die Schnelle.

  260. #261 Karl-Heinz
    11. März 2020

    @Rob

    Nu ja …
    Ich hätte gerne von Spieler A für seine Gegenstrategie zu B ( x= 0,5 ; y= 0,6) die Werte
    a = ?
    b = ?
    c = ?
    EW1(Chips) =?

  261. #262 Karl-Heinz
    11. März 2020

    @Rob

    Du kannst die Lösung auch durch Probieren finden.
    Hinweis: Die Lösung befindet sich immer auf der Intervallgrenze.
    Mit anderen Worten: a,b,c nehmen als Lösung die Werte 0 oder 1 an.

  262. #263 Rob
    11. März 2020

    K.H.
    Ich weiß was du willst, aber zuerst muss ich einen Lösungs wegfinden.
    1. Versuch Gewinnchanceh für B
    Loser gegen Center -2(x)( alpha) = -1 mal0,6 = – 0,6

    Joker gegen Center -2(x)(gamma) = -1 gamma

    Center gegenLoser -1(1-beta)(0,6)mal1 + 2(beta mal 0,6) mal 1 = 0,6 beta
    Himmel Arsch und Zwirn.
    Wir müssen uns die Variablen klarer festlegen !
    Joker gegen Loser -2(1mal 0,6mal 1-gamma)+1 (1)(gamma) = -1/2
    Was ist jetzt gamma und was ist beta ?

  263. #264 Rob
    11. März 2020

    Korrektur beim Letzten
    Chance von Center gegen Loser = -1,2 + 1,2 gamma ?

  264. #265 Rob
    11. März 2020

    K.H.
    2. Versuch gamma = a = Joker setzt
    beta = b = Center called
    ksi = c = Loser setzt
    ? = x = Center B called
    alpha = y = loserB setzt Korrekt ?
    Center gegen Loser = b + c
    Center gegen Joker = -2b
    Joker gegen Loser 2c – 2a
    Center gegen Loser 2 bc
    Jetzt kann ich probieren .

  265. #266 Karl-Heinz
    11. März 2020

    @Rob

    a = Wahrscheinlichkeit ALoser setzt
    b = Wahrscheinlichkeit ACenter called
    c = Wahrscheinlichkeit AJoker setzt

    x = Wahrscheinlichkeit BCenter called
    y = Wahrscheinlichkeit BLoser setzt

    x=1/2
    y=6/10=3/5

    Ew1(a,b,c) = 1/6 [ x(c-3a) + y(3b-c-1) + (a-b) ]

    Ew1(0,0,0) = -1/10
    Ew1(0,0,1) = ?
    Ew1(0,1,0) = ?
    Ew1(0,1,1) = ?
    Ew1(1,0,0) = ?
    Ew1(1,0,1) = ?
    Ew1(1,1,1) = ?

  266. #267 Jolly
    12. März 2020

    Ew1(1,1,0) = ?
    Ist das nur vergessen worden, von vorneherein uninteressant oder das gesuchte Optimum?

  267. #268 Rob
    12. März 2020

    H.W
    Ew1(0,0,0) = – 6/60
    Ew1(0,0,1) = – 7/60
    Ew1(0,1,0) = – 2/60
    Ew1(0,1,1) = +5/60
    Ew1(1,0,0) = – 11/60
    Ew1(1,0,1) = – 12/60
    Ew1(1,1,1) = – 4/60
    Also, nur bei (0,1,1) ergibt sich ein + Wert
    wenn Joker setzt, Center called und Loser nicht setzt
    bei B Center called bei 50 % und B Loser setzt bei 60 %
    Unerwartet !

  268. #269 Rob
    12. März 2020

    Korrektur K.H. natürlich, statt H.W.

  269. #270 Karl-Heinz
    12. März 2020

    @Rob

    Sieht gut aus. 🙂

    Jetzt kommt die Masterfrage.
    (0,0,0), …,(1,1,1) sind ja alles Lösungen am Randbereich des Intervalls von a,b und c.
    Könnte es nicht sein, dass es ein globales Maximum innerhalb der Intervallsgrenzen gibt?
    Zum Beispiel bei (0,5 ; 0,1 ; 0,7).

  270. #271 Karl-Heinz
    12. März 2020

    @Rob

    Ich werde vorsichtshalber #268 nachrechnen. 😉

  271. #272 Jolly
    12. März 2020

    @Rob:
    3. und 4. Zeile falsch, 7. fehlt;
    Folgefehler: falsches Maximum / falsche Strategie ermittelt
    5 von 8 möglichen Punkten,
    Gesamtnote: ausreichend.

  272. #273 Karl-Heinz
    12. März 2020

    @Rob

    Oh, … ich sehe gerade die Bewertung durch Jolly.
    Also haarscharf am Nichtgenügend vorbei.
    Du kannst deine Note aber verbessern, wenn du die Bonusfrage (Masterfrage) richtig beantwortest. 😉

  273. #274 Karl-Heinz
    12. März 2020

    @Rob
    Ich schlage vor, zunächst nochmals 5 km zu joggen, um das Gehirn mit ausreichend Sauerstoff zu versorgen. 🙂

  274. #275 Rob
    12. März 2020

    K.H., Jolly
    Neue Werte:
    (0,0,0) = – 6/60
    (0,0,1) = – 7/60
    (0,1,0) = + 2/60
    (0,1,1)= + 1/60
    (1,0,0) = -11/60
    (1,0,1) = -12/60
    (1,1,1) = – 4/60
    Wenn du 10 Jahre lang sowas nicht mehr gerechnet hast, dann braucht man eine Pause.
    Was ist jetzt Minimum und Maximum und für wen ?
    Jolly nimmt ja statt a ….c

    Karl-Heinz,
    Ich ahne schon, die Masterfrage hängt damit zusammen, ob Bruch- Werte Geraden ergeben oder Kurven. wenn sie Kurven ergeben gibt es natürlich Minima bzw. Maxima innerhalb des Intervalls.

  275. #276 Rob
    12. März 2020

    Karl-Heinz,
    Meine zwei Frauen brauchen auch Zuwendung.
    Die Sauerstoffversorgung geht auch besser, wenn man Meerrettich ißt. Dann stellen sich sogar die Haare auf.

  276. #277 Karl-Heinz
    12. März 2020

    @Rob

    Jolly nimmt ja statt a ….c

    Ich habe mich an Jolly angepasst.

    a = Wahrscheinlichkeit ALoser setzt
    b = Wahrscheinlichkeit ACenter called
    c = Wahrscheinlichkeit AJoker setzt

    x = Wahrscheinlichkeit BCenter called
    y = Wahrscheinlichkeit BLoser setzt

    @Jolly #267

    Ew1(1,1,0) = ?
    Ist das nur vergessen worden, von vorneherein uninteressant oder das gesuchte Optimum?

    Oh sorry, mein Fehler.
    Ich glaub der Corona-Virus macht sich schon bemerkbar oder ich sollte mich während der Arbeit auf die Arbeit konzentrieren. 🙂

  277. #278 Karl-Heinz
    12. März 2020

    @Robert

    Ich ahne schon, die Masterfrage hängt damit zusammen, ob Bruch- Werte Geraden ergeben oder Kurven. wenn sie Kurven ergeben gibt es natürlich Minima bzw. Maxima innerhalb des Intervalls.

    Haargenau. Jetzt musst nur noch mathematisch Beweisen, dass es so ist. 😉

  278. #279 Jolly
    12. März 2020

    @Rob
    Mit der Bruchrechnung hatte ich weiter oben ja auch schon meine Probleme. Und nicht nur damit, irgendwo steht noch eine 7, wo eine 9 hingehört (#207)

    Zur Masterfrage sage ich mal nichts.

    Der Rest passt jetzt, und nur der Vollständigkeit halber:
    Ew1(1,1,0) = – 3/60

  279. #280 Karl-Heinz
    12. März 2020

    @Robert

    Ein Beispiel:
    Gegeben sei eine Funktion g: x → 3x+2
    und eine Funktion h: x → -3x+2
    Des Weiteren gelte die Einschränkung x € [0,1].

    Wo befinden sich die Maxima und Minima der Funktion g und h. Um was für eine Art von Funktionen handelt es sich hier?

  280. #281 Karl-Heinz
    12. März 2020

    @Jolly

    Danke für das Durchrechnen und die Hinweise, wenn wo was unvollständig ist oder sich ein Fehler eingeschlichen hat.

  281. #282 Karl-Heinz
    12. März 2020

    @Jolly

    Mit der Bruchrechnung hatte ich weiter oben ja auch schon meine Probleme. Und nicht nur damit, irgendwo steht noch eine 7, wo eine 9 hingehört (#207)

    Wie kommst du auf eine 9?

  282. #283 Jolly
    12. März 2020

    Es gibt 9 (nicht 7 wie ich oben schrieb) mögliche Lösungen, bzw. Formen, für die maximierenden Strategien von B.
    (0 ; 0) (0 ; 1) (1 ; 0) (1 ; 1) (dc ; 0) (dc ; 1) (0 ; dc) (1 ; dc) (dc ; dc)
    – dc steht für don’t care.

  283. #284 Karl-Heinz
    12. März 2020

    @Jolly

    Verstehe … 🙂
    Anzahl der eindeutigen Lösungen
    Zustandsmenge {0,1} … 2^2 = 4 Lösungen
    Anzahl der möglichen Lösungen
    Zustandsmenge {0,1,don’t care.} … 3^2 = 9 Lösungen

  284. #285 Karl-Heinz
    12. März 2020

    @Rob

    Und wievie eindeutige und mögliche Lösungen gibt es für Spieler A?

  285. #286 Rob
    12. März 2020

    Karl-Heinz,
    du bist viel zu schnell. Wenn man einen Formalismus versprachlichen kann, dann erst hat man ihn verstanden.
    Das sind doch alle Wahrscheinlichkeiten für A.
    Ew1(a,b,c) = 1/6 [ x(c-3a) + y(3b-c-1) + (a-b) ]
    Die Antwort von B steckt in x und y.
    In der Erwartungsformel stecken auch die Gewinne in Chip mal der Wahrscheinlichkeit, diese chips zu gewinnen ? Korekt ?
    Nach #119 gibt es 30 Spielmöglichkeiten
    JQ = -5
    JK = -5
    QJ = +5
    QK = -5
    KJ = + 5
    KQ = +5
    Alle sind möglich, werden aber nicht alle gespielt
    Meint ihr das ?

  286. #287 Karl-Heinz
    12. März 2020

    @Rob

    A spielt seine Strategie:
    Wie muss B spielen um optimal auf Strategie von A zu antworten. (x,y) = ???

    B spielt seine Strategie:
    Wie muss A spielen um optimal auf Strategie von B zu antworten. (a,b,c) = ???

  287. #288 Karl-Heinz
    12. März 2020

    @bote

    – dc steht für don’t care

    Menge der Antworten von Spieler B auf Strategie von A
    Die beste Antwort ist einer dieser Möglichkeiten.
    (dc,dc)
    (dc,0)
    (dc,1)
    (0,dc)
    (0,0)
    (0,1)
    (1,dc)
    (1,0)
    (1,1)

    Menge der Antworten von Spieler A auf Strategie von B
    Die beste Antwort ist einer dieser Möglichkeiten.
    (dc,dc,dc)
    (dc,dc,0)
    (dc,dc,1)

    (dc,0,dc)
    (dc,0,0)
    (dc,0,1)

    (dc,1,dc)
    (dc,1,0)
    (dc,1,1)

    (0,dc,dc)
    (0,dc,0)
    (0,dc,1)

    (0,0,dc)
    (0,0,0)
    (0,0,1)

    (0,1,dc)
    (0,1,0)
    (0,1,1)

    (1,dc,dc)
    (1,dc,0)
    (1,dc,1)

    (1,0,dc)
    (1,0,0)
    (1,0,1)

    (1,1,dc)
    (1,1,0)
    (1,1,1)

  288. #289 Rob
    12. März 2020

    Karl-Heinz,
    so weit bin ich noch nicht !!
    Ich habe mir mal ein Koordinatensystem gezeichnet und für die y-Achse E(A) genommen.
    Für die x-Achse habe ich x genommen.
    Seltsam, der Erwartungswert für A bleibt konstant + 2/10 (ohne 1/6)
    Also ((0,1,0) ist unabhängig von x bei y = 0,6
    Jetzt kommt y dran. x im Koordinatensystem entspricht dem Wert von y. Das y im Koordinatensystem, die senkrechte Achse , bleibt E(A)
    Dann ergibt sich als Lösung eine Gerade mit folgenden Werten:
    x………. y
    0 …. -1
    0,1… -0,8
    0,2… -0,6
    0,5… 0
    1 …. +1
    Das ist die Gerade y = 2x oder E(A) = 2 y
    Damit ist die Frage von K.H. beantwortet. Es gibt keine Kurve.
    Wenn also B mit Loser setzt, dann liegen die Erwartungswerte so, wie oben angegeben. Bei y = 0,5
    ist der Erwartungswert 0. Wenn B mit Loser immer setzt, also y = 1, dann hat E(A) den Höchstwert = + 1

    Jetzt kommt ihr wieder dran. versucht mal eure Formalien zu versprachlichen.

  289. #290 Rob
    12. März 2020

    Nachtrag,
    Menge der Antworten von Spieler B auf Strategie von A
    Die beste Antwort ist einer dieser Möglichkeiten.
    (dc,dc)
    (dc,0)
    (dc,1)
    (0,dc)
    (0,0)
    (0,1)
    (1,dc)
    (1,0)
    (1,1)
    Was ist d ? Gib bitte Beispiele an. A…h, was soll don’t care bedeuten ? Ist mir egal ? Was denn ? Meinst du Werte zwischen 0 und 1 ?
    Gerade habe ich mal nachgelesen bei Differentialgleichungen 1. Ordnung.
    Unser Problem ist doch E(A) max. = f(x,y)
    wenn man jetzt setzt f(x,y) = fx

    Karl – Heinz #287
    Meinst du für jede der 8 strategien oder allgemein für alle Strategien ?
    Also für (0,1,0) von A sollte x = dc sein und y = 0.
    dann ergibt sich eine Sattelkurve (sieht aus wie ein Sattel)

  290. #291 Rob
    12. März 2020

    Nachtrag zur besten Strategie von A = (0,1,1) intuitiv
    .bin gerade zu faul zum Rechnen.

  291. #292 JoselB
    20. März 2020

    Ich hatte leider wegen Krankheit und viel Stress die ganze Diskussion verpasst. Ich habe jetzt mal (basierend auf meinem letzten Post bevor ich den Rest gelesen hatte) ein kleines Programm geschrieben, bei dem man alle 12 Variablen frei wählen (also auch masochistisch spielen) kann. Man bekommt für jede Variable einen kleinen Plot, wie sich eine Änderungen nur des entsprechenden Verhaltens auf das Ergebnis auswirkt. Dadurch kann man sehr schnell erkennen, wenn eine Änderung des eigenen Verhaltens dem Gegner einen Vorteil bietet. Hier ist ein Screenshot: https://imgur.com/a/vPkCB94

    Meine Ergebnisse sind:
    Eine optimale Strategie scheint zu sein, wenn man immer mit Joker und Center bettet, bzw callt und außerdem Spieler A mit Loser jedes dritte mal bettet. In dem Fall ergibt sich ein Gleichgewicht, bei dem Spieler B nichts rausholen kann. Der Erwartungswert ist dann -1/9 Chip für Spieler A.
    Ich bin mir aber nicht sicher, ob es nicht noch ein anderes, besseres Gleichgewicht gibt.

  292. #293 JoselB
    20. März 2020

    So, jetzt habe ich die meisten Kommentare überflogen und auch einen Screenshot bei dem beide Spieler wirklich optimal spielen: https://imgur.com/a/zHK5NHy
    Da komme ich dann natürlich auch auf -1/18 Chips für Spieler A.

  293. #294 JoselB
    20. März 2020

    Noch eine kleine Anmerkung: “Expected Gain in Situation” bedeutet nicht den Erwartungswert in der Situation sondern nur den Erwartungswert bei einer Kartenverteilung bei der man in diese Situation kommen kann. Nur für den Fall, dass jemand die Plots näher analysiert.

  294. #295 Jolly
    20. März 2020

    @JoselB

    Verstehe ich das richtig, eine optimale Strategie erkennt man daran, dass dann beim Gegenspieler die fraglichen Anzeigen (bei optimaler Strategie für Spieler A also die Anzeigen bei B für ‘Call with Center’ und ‘Bet with Loser’) waagrecht verlaufen (und die eigentich nicht fraglichen sowieso immer nur zum eigenen Nachteil geändert werden könnten)?

  295. #296 JoselB
    20. März 2020

    @Jolly
    Soweit ich das verstanden habe, sind das die Merkmale für eine optimale Strategie in einem multilinearem System.
    Allgemein kann man sagen, dass Spieler A seinen Gewinn maximieren will während Spieler B den Gewinn von Spieler A minimieren will. Der Gewinn selbst ist eine Funktion in mehreren Dimensionen, von denen einige zufällig sind (welche Karten-Kombination gespielt wird), einige unter Kontrolle von Spieler A und der Rest unter Kontrolle von Spieler B. Da man auf die Karten keinen Einfluss hat, kann man für diese die jeweilige Wahrscheinlichkeit setzen und erhält einen Unterraum mit den Dimensionen von Spieler A und Spieler B. Spieler A kann jetzt für jeden Punkt in dem von ihm kontrollierten Unterraum das globale Minimum im zugehörigen Unterraum der von B kontrollierten Dimensionen nehmen. Dann hat er einen Funktion die vollständig unter seiner Kontrolle ist (und die beim Kuhn Pokern dann nicht mehr linear wären, weswegen die optimale Strategie auch nicht auf einem Eckpunkt, Außenkante oder höher dimensionalen Randraum des Strategieraumes liegt, wie man es für ein Extrema in einem linearen System erwarten würde). Hier kann er jetzt das globale Maximum nehmen und hat eine optimale Strategie. Spieler B macht es genau umgekehrt und müsste dabei auf eine eigene optimale Strategie kommen. Beide optimale Strategien müssten den gleichen Erwartungswert besitzen und eine Schnittmenge besitzen, die dann ein optimales Gleichgewicht bedeutet. Beim Kuhn-Pokern scheint dies eine Gerade in dem 12d Raum zu sein.

  296. #297 Dr. Webbaer
    10. April 2020

    Dr. Webbaer, der Erfinder, der “Sekundärerfinder” von Webbaer- bzw. besser Kuhn-Poker noch einmal kurz :

    Die offizielle, spieltheoretisch optimale Lösung scheint von Kuhn gefunden worden zu sein, Dr. W hat diesbezüglich noch ein wenig, ca. fünf Wochen, meditiert.
    Spieler 2, also der Spieler, der als zweiter seinen Spielzug macht, wird mit der von Kuhn vorgeschlagenen Strategie seiner (im hiesigen Kommentariat auch von Dr. W unabhängig von Dr. K festgestellten) Gewinnerwartung in Höhe von 1 / 18 Chips gerecht – in jedem Fall gerecht, wobei diese Ergänzung, dieser Nachsatz nur verdeutlichen soll.
    Handelt Spieler 1, also der Spieler, der den ersten Spielzug macht, nicht spieltheoretisch optimal, kann Spieler 2 versuchen dies auszunutzen, zu exploitieren und abweichend von der ihm möglichen Spielstrategie, die einen Gewinn von 1 / 18 Chips je Hand garantiert, handeln, um einen höheren Gewinner zu realisieren.
    Was genau in dem Moment scheitert, wenn Spieler 1 zur für ihn spieltheoretisch optimalen Strategie zurückkehrt.

    Wie genau Spieler 2 hier exploitieren kann, ist eine Fragestellung, eine Wissenschaft für sich, die Dr. W allerdings nicht umfänglich verstanden hat, bisher.

    Mit freundlichen Grüßen
    Dr. Webbaer

    PS:
    Es gibt hier eine Parallele zum sog. Ziegenproblem, wenn der Kandidat, der den Showmaster nicht kennt, nicht weiß, wie oft der sein allgemein bekanntes Angebot in der Vergangenheit gemacht hat, dem Kandidaten sein bekanntes Wechsel-Angebot macht.
    Wobei die Größe der Datenprobe für den Kandidaten in diesem Fall 1 ist.
    Soll der dann basierend auf dieser geringen Größe dem Angebot des Showmasters folgen?
    Bonusfrage : Ab welcher Größe der ihm vorliegenden Datenprobe soll der Kandidat wechseln, also dem Angebot folgen?

  297. #298 Dr. Webbaer
    10. April 2020

    *
    um einen höheren Gewinn[] zu realisieren