Theorema Magnum MCMXXX: Existenz unendlich vieler Geodätischer

Periodische Bahnen kommen in der Physik überall vor, von Planetenbahnen bis zum harmonischen Oszillator. In der Geometrie interessierte man sich zunächst im Zusammenhang physikalischer Anwendungen für geschlossene Geodäten. Poincaré bewies in seinen Arbeiten zum Dreikörperproblem, dass kleine Deformationen der runden Sphäre immer noch unendlich viele geschlossene Geodäten haben. Auch in Hadamards Arbeiten über Geodäten ging es ursprünglich darum, das Verhalten der Trajektorien dynamischer Systeme zu verstehen.

Die Krümmung einer Fläche bestimmt, wie schnell im selben Punkt startende Geodäten auseinanderdriften. Mathematisch wird das durch die Jacobi-Gleichung beschrieben. (Jacobi hatte in den 1830er Jahren Geodäten auf dem Ellipsoid untersucht. Natürlich hatte er noch nicht den Riemannschen Krümmungsbegriff.)
Die Situation ist dabei folgende: man hat eine Menge von Geodäten, die von einem Parameter s abhängen. H(t,s) sei die Geodäte mit Parameter s, zum Zeitpunkt t:

Die Ableitung dH/dt ist die Tangente T an die jeweilige Geodäte. Die Ableitung dH/ds ist das sogenannte Jacobi-Feld J(t,s). Die Größe des Jacobi-Felds mißt, wie schnell die Geodäten auseinanderdriften.
Die Jacobi-Gleichung besagt J”+ R(J,T)T=0, wobei R der Riemannsche Krümmungstensor ist.
Bei konstanter Schnittkrümmung K vereinfacht sich das zu J”+KJ=0.
Für K=0 hat J”=0 (wegen J(0)=0) nur lineare Lösungen: J(t)=Ct, die Konstante C ist dabei die Ableitung in 0: C=J'(0). Für K=1 hat J”+J=0 die Lösungen J(t)=C sin(t). Für K=-1 hat J”-J=0 die Lösungen J(t)= C sinh(t). Bei negativer Krümmung driften die Geodäten also mit exponentieller Geschwindigkeit auseinander.

Jacques Hadamard bewies 1898, dass auf nichtpositiv gekrümmten Flächen S jede geschlossene Kurve in eine geschlossene Geodäte deformiert werden kann, die in ihrer freien Homotopieklasse minimale Länge hat. (Er betrachtete die Exponentialabbildung exp:T_xS—->S, die zu einem Basispunkt x jedem Tangentialvektor v den Wert exp(v):=γ(1) der durch γ(0)=x, γ´(1)=v bestimmten Geodäte γ zum Zeitpunkt 1 zuordnet. Er bewies, dass diese Abbildung ein lokaler Diffeomorphismus ist. Daraus folgt, dass es in jeder Homotopieklasse eine eindeutige Geodäte gibt.) Die Verallgemeinerung dieses Satzes auf nichtpositiv gekrümmte Mannigfaltigkeiten beliebiger Dimension heißt heute Satz von Cartan-Hadamard. Der konservative Wissenschaftsphilosoph Paul Duhem interpretierte Hadamards Satz damals als Unmöglichkeit, die Entwicklung eines Systems vorherzuberechnen: eine geringe Störung der Ausgangsannahmen führe zu völlig anderen Trajektorien.

Aus dem Satz von Cartan-Hadamard folgt insbesondere, dass geschlossene Mannigfaltigkeiten nichtpositiver Schnittkrümmung unendlich viele geschlossene Geodäten haben. Man kann sich fragen, ob das auch für andere Riemannsche Mannigfaltigkeiten gilt, beispielsweise für Metriken nichtkonstanter Krümmung auf einer Sphäre. (Offensichtlich stimmt es für die Metriken konstanter Krümmung.)
Marston Morse entwickelte in den 20er Jahren eine „Variationsrechnung im Großen“, mit der er die Geodäten einer Riemannschen Mannigfaltigkeit M untersuchen und entsprechende Sätze beispielsweise auch für Metriken auf der Sphäre beweisen wollte. Sein Ansatz war, auf dem Wegeraum von M – dem Raum der zwei feste Punkte p und q verbindenden Kurven γ – das Energiefunktional (bzgl. der durch die Riemannsche Metrik definierten Norm) zu betrachten. Die p und q verbindenden Geodäten sind kritische Punkte dieses Funktionals, die minimierenden Geodäten sind seine Minima. p und q sind konjugiert entlang der Geodäten, wenn es ein nichttriviales Jacobifeld gibt, äquivalent eine Variation durch Geodäten. Die Jacobi-Felder bilden den Nullraum der Hessischen von E. Die Geodäte als kritischer Punkt des Energiefunktionals ist also genau dann ausgeartet, wenn ihre Endpunkte konjugierte Punkte entlang dieser Geodäten sind. Für nichtkonjugierte Punkte ist der Index der Geodäten (als kritischer Punkt, d.h. der Index der Hessischen von E) gleich der Anzahl der konjugierten Punkte entlang der Geodäten. Kurz: man lernt viel über Geodäten, wenn man die kritischen Punkte des Energiefunktionals versteht.

Das Konzept, die Topologie einer Fläche über die kritischen Punkte einer auf der Fläche definierten Funktion zu verstehen, war schon seit dem 19. Jahrhundert als „Bergsteigerformel“ bekannt. (Möbius hatte eine topologische Klassifikation von Flächen skizziert, die im 2-dimensionalen Fall die Morse-Theorie vorwegnahm.) Morse entwickelte diese Zusammenhänge zunächst für endlich-dimensionale Mannigfaltigkeiten, wobei sein eigentliches Ziel aber die Untersuchung des unendlich-dimensionalen Wegeraums war. Er betrachtete auf einer Mannigfaltigkeit M definierte Funktionen f, deren kritische Punkte alle nicht-ausgeartet sind – heute als Morse–Funktionen bezeichnet – und bewies für diese die Morse–Ungleichungen: für die Anzahl c_i der kritischen Punkte von Index i gelten die Ungleichungen und insbesondere für alle i, wobei b_i die Betti-Zahlen der geschlossenen Mannigfaltigkeit M bezeichnet. (Für Flächen war das 1917 von Morse’s damaligem Doktorvater Birkhoff in einer Arbeit über dynamische Systeme mit zwei Freiheitsgeraden bewiesen worden.) Morse formulierte in seiner Arbeit „Relations between the critical points of a real function of n independent variables“ diese Ungleichungen gleich für Mannigfaltigkeiten mit Rand, wodurch die deutlich komplizierter als oben angegeben aussahen.

Während Birkhoffs Beweis im 2-dimensionalen Fall das Minimax-Prinzip verwendete (womit Birkhoff später dann auch einen weiteren Beweis für den allgemeinen Fall der Morse-Ungleichungen fand), basierte Morse‘s Beweis auf der später nach ihm benannten Morse-Theorie. Dort betrachtet man für eine Funktion f:M—->R, deren kritische Punkte nicht-ausgeartet sind, ihre Zerlegung in Niveaumengen und will dann untersuchen, wie sich die Topologie ihrer Subniveaumengen M_c={f(x)≤c} mit wachsendem c ändert.

Wenn zwischen zwei Werten a und b keine kritischen Werte von f liegen, dann liefert der Gradientenfluss einen Diffeomorphismus zwischen M_a und M_b. Wenn zwischen den beiden Werten ein kritischer Wert vom Index i liegt, dann ändert sich jedoch die Topologie der Subniveaumenge: M_b entsteht aus M_a durch Ankleben eines i-Henkels. Das zweite Resultat wird gelegentlich als Fundamentalsatz der Morse-Theorie bezeichnet. Es folgt letztlich aus dem Morse-Lemma, demzufolge es in der Umgebung eines nicht-ausgearteten kritischen Punktes Koordinaten x₁,...,x_n gibt, in denen f die einfache Form
f(x)=f(0)-x₁²-...-x_i²+x_i+1²+...+x_n² hat.

Mit diesem Ansatz bekommt man beispielsweise einen einfachen Beweis der Klassifikation der Flächen, also dass jede geschlossene, orientierbare Fläche durch Ankleben von Henkeln an die Sphäre entsteht. Für 3–Mannigfaltigkeiten bekommt man entsprechend die Existenz der Heegaard–Zerlegung einer geschlossenen, orientierbaren 3–Mannigfaltigkeit in Henkelkörper.

Morse-Theorie betrachtet stets nur nicht-ausgeartete kritische Punkte, für die dann also das Morse-Lemma gilt. Lusternik und Shnirelman, zwei junge, aber bereits etablierte Mathematiker an der Moskauer Universität - sie waren die treibenden Kräfte einer Initiativgruppe, die die Moskauer Mathematische Gesellschaft von Reaktionären säubern und deren Zeitschrift Sovietskii Mathematicheskii Sbornik neu organisieren sollte - konnten teils bessere Ergebnisse erzielen, weil sie für beliebige differenzierbare Funktionen f (nicht nur solche, deren kritische Punkte nichtausgeartet sind) eine Abschätzung für die Anzahl crit(f) kritischer Punkte angeben konnten, die dann natürlich schwächer war als die unter restriktiveren Bedingungen von Morse erhaltene. Sie definierten die „Kategorie“ cat(M) einer Mannigfaltigkeit M als die kleinste Anzahl offener, in der Mannigfaltigkeit kontrahierbarer Mengen, durch die man die Mannigfaltigkeit überdecken kann, und bewiesen dann die Ungleichung für beliebige f. 1929 lösten sie das von Poincaré gestellte Problem der Existenz von mindestens drei geschlossenen Geodäten (ohne Selbstschnitte) auf einer konvexen, geschlossenen Fläche im dreidimensonalen Raum. (Ihr Beweis wurde Ende der 70er Jahre von Ballmann vervollständigt. Birkhoff hatte in seiner Arbeit von 1917 nur die Existenz einer geschlossenen Geodäten beweisen können.) Für Geodäten ohne Selbstschnitte ist ihr Ergebnis optimal, weil es für „fast runde“ Ellipsoide genau drei solcher Geodäten gibt. Allerdings hat man auch dort unendlich viele prime Geodäten mit Selbstschnitten.

Morse konnte mit seinen Methoden zwar nicht die Existenz geschlossener Geodäten, aber die von Geodäten zwischen Punkten p≠q beweisen. Im nicht-ausgearteten Fall, wenn p und q nicht konjugiert sind, approximierte er den unendlich-dimensionalen Raum der Wege von p nach q durch die endlich-dimensionalen Mannigfaltigkeiten der in k Zeitpunkten t₁,...,t_k gebrochenen Geodäten der Energie kleiner einer Konstante C. Auf diese endlich-dimensionale Mannigfaltigkeit konnte er die Morse-Theorie anwenden und damit eine Henkelzerlegung dieser endlich-dimensionalen Mannigfaltigkeiten erhalten. Die Subniveaumengen des auf diese endlich-dimensionalen Mannigfaltigkeiten eingeschränkten Energiefunktionals sind aber für hinreichend große k und C Deformationsretrakte der Subniveaumengen des Energiefunktionals auf dem gesamten Wegeraum. Insbesondere muß es mindestens so viele kritische Punkte des Energiefunktionals (also Geodäten von p und q) geben wie die Dimension der Homologiegruppen des Wegeraums angibt. Für Metriken auf der Sphäre gibt es also unendlich viele Geodäten zwischen nicht-konjugierten Punkten p≠q.
Den Fall beliebiger Punkte p≠q konnte er erst später mit Hilfe des Lemma von Sard lösen, aus dem man als Folgerung erhält, dass jede Funktion durch Morse-Funktionen approximiert werden kann. Mit diesem Lemma konnte Morse dann mittels einer Approximation von konjugierten Punkten durch Folgen nicht-konjugierter Punkte die Existenz unendlich vieler Geodäten zwischen konjugierten Punkten p≠q beweisen.
Der Fall p=q, also die Frage nach unendlich vielen geschlossenen Geodäten für eine beliebige Metrik auf der Sphäre, ist bis heute offen.

Bild: https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Marston_Morse.jpg