Topologie von Flächen CCXXXIX

Von Thilo / 28. September 2012 / 22 Kommentare / Seite 2 von 2 / Auf einer Seite lesen

Letztlich liegt das daran, dass es für das Möbiusband kein “Innen” und “Außen” gibt. Wenn es nämlich Innen und Außen gäbe, dann könnte man auf der Fläche eine Orientierung einfach dadurch definieren, dass man sagt, eine Basis einer Tangentialebene sei positiv orientiert, wenn sie zusammen mit einem nach außen zeigenden Vektor eine positive Basis des (Tangentialraumes des) R³ ergibt – für den R³ hat man ja natürlich eine Orientierung.

Also: wenn eine Fläche den R³ in zwei Komponenten zerlegt – das “Innen” und das “Außen” – dann kann man auf der Fläche eine Orientierung definieren.

Weil wir im vorigen Abschnitt ja bewiesen hatten, dass jede geschlossene Fläche den Raum in zwei Komponenten zerlegt, muss jede solche Fläche also orientierbar sein. Daraus folgt im Umkehrschluß: die nichtorientierbaren geschlossenen Flächen (wie z.B. die projektive Ebene oder die Kleinsche Flassche) lassen sich nicht in den R^3 einbetten.

Alternativ, wenn man im Rahmen der Homologietheorie aus dem vorhergehenden Abschnitt bleiben will, kann man das (scheinbar ganz ohne über Orientierungen zu reden) auch sehen, indem man den Beweis aus dem vorhergehenden Abschnitt jetzt mit Z- statt Z/2Z-Koeffizienten wiederholt und H₂(K;Z)=0 für nicht-orientierbare Flächen benutzt.
Also: weil die Fläche K den R³ in 2 Zusammenhangskomponenten zerlegt ist , mit der langen exakten Homologiesequenz dann , mit Alexander-Dualität folgt , also muß die Fläche K orientierbar gewesen sein. (Die Orientierbarkeit von haben wir hier also indirekt, in ihrer homologie-theoretischen Verkleidung als gezeigt.)

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Kommentare (22)

#1 rolak
29. September 2012

Gibts diesen Tassen-Torus auch in freundlich bedruckt für den gepflegten Morgenkaffee?
#2 michael
29. September 2012

@rolak

sowas in der art ? https://www.kleinbottle.com/drinking_mug_klein_bottle.htm
#3 rolak
29. September 2012

Nee, mehr so dieses wabernde Ding..Zwar extrem hypothetisch, doch höchst reizvoll für die morgendliche “träum’ ich oder wach’ ich?”-Phase. Als Aufdruck vorschlagen würde ich aus historischen Gründen: Im Tassen-Zustand ‘drink me’ und im Donut-Zustand ‘eat me’.
#4 Thilo
29. September 2012

Hat schon mal wer https://www.zazzle.de/dehnbare+tassen gekauft?
#5 rolak
29. September 2012

Zumindest meiner einer nicht, Thilo – und nach Rückführung in die Originalsprache will mir scheinen, als sei nur die Größe des Bildes variabel, ein in seiner Lokalität auch vom männlichen Körper her bekanntes Phänomen.

Das einzige von mir jemals erstandene Gefäß variabler Größe ist vor einigen Jahrzehnten so etwas gewesen. Und bevor der Verdacht auf Werbung kommt: Das Teil (nicht exakt das verlinkte, ein Analogon) war unpraktisch,unglaublich empfindlich und nach zehn Tagen entsorgt.
btw: So etwas wie PET-Flaschen gab es damals noch nicht.
#6 michael
30. September 2012

Essbare KaffeeTassen gibt es anscheinend.z.B hier. Um einen Donut zu erhalten, muss man den Boden zuerst essen.
#7 rolak
30. September 2012

Aber auch nur, weil der Henkel kein Loch hat. ;−) Ansonsten eine schicke Idee, ist mir leider noch nicht untergekommen.
#8 StefanL
30. September 2012

Ich stieß gerade auf https://www.kleinbottle.com/
#9 StefanL
30. September 2012

ohh – hatte michael ja oben mehr oder weniger schon – aber die KleinschenFlaschen-Mützen mit Möbius-Schal …
#10 Frank Wappler
https://comment.preview.testing.testing--one.typo--two.topos...
1. Oktober 2012

Thilo schrieb (September 28, 2012):
> https://scienceblogs.de/mathlog/files/2012/06/12264-Moebiusband_wikipedia.png

Nur: ein Möbiusband ist das (sicherlich) nicht.
#11 Thilo
1. Oktober 2012

Sorry, ich habe das Bild ausgetauscht.
#12 Maxim
4. Oktober 2012

Hallo Thilo.
Ich hätte eine Frage, die sich nicht unbedingt auf den Artikel bezieht, aber auch mit der Topologie zu tun hat.
Angenommen ich umspanne ein paar Gegenstände z.B. Kugeln komplett mit einem Gummituch. Die Elastizität des Gummis kann variiert werden, so dass sich die Hülle immer mehr an die Objekt anschmiegt und mehr von dem eingeschlossenen Details zeigt. Kann man irgendwie die Oberfläche von so einer Anordnung berechnen?
#13 Thilo
4. Oktober 2012

Hmm, in Spezialfällen wie z.B. einigen im Raum liegenden runden Kugeln wird man das sicher explizit lösen können (habe ich jetzt aber nicht gemacht), bei völlig beliebigen “unrunden” Flächen mit vielen Beulen und Dellen halte ich das jetzt aber fur ein Problem, das man wohl allenfalls numerisch mit Computerhilfe angehen kann. Ich weiss nicht, ob das schon mal irgendwo bearbeitet wurde.
#14 Maxim
5. Oktober 2012

Also mit runden Kugeln würde mir schon reichen.
Hast du mir vielleicht ein paar Begriffe sagen, nach denen ich überhaupt suchen muss? Also falls du sie kennst.
#15 Thilo
5. Oktober 2012

Okay, nehmen wir mal zwei unterschiedlich grosse Kugeln vom Radius r und R. Wir koennen das Koordinatensystem so legen, dass die Mittelpunkte auf der x-Achse symmetrisch zum Nullpunkt sind, d.h. die Mittelpunkte sind (c,0,0) und (-c,0,0). (Natuerlich muss c groesser sein als r und R.)

Dann schauen wir uns Flaechen an, die sich fuer an die erste Sphaere anschmiegen, fuer an di zweite und dazwischen einen Kreiszylinder bilden, und versuchen diejenigen a,b zu finden, fuer die der Flaecheninhalt dieser Flaeche minimal wird. (Erfahrungsgemaess haben optimale Loesungen oft hohe Symmetrie, deshalb gehe ich jetzt einfach mal davon aus, dass das Optimum fuer eine solche Flaeche entsteht, die rotationssymmetrisch bzgl. der x-Achse ist. Das waere natuerlich noch zu beweisen.)

In Abhaengigkeit von a,b kann man dann den Flaecheninhalt berechnen. Der Flaecheninhalt des sich an die erste Sphaere anschmiegenden Stueckes berechnet man als , den des Kreiszylinders als und den des sich an die zweite Sphaere anschmiegenden Stueckes als .

Die Integrale kann man berechnen, z.B. ist, wenn ich mich hoffentlich nicht verrechnet habe, die Stammfunktion von gleich .

Man bekommt also eine von a und b abhaengende Formel und kann dann mit Differentialrechnung zu berechnen versuchen, fuer welche a ,b das Minimum dieser Funktion angenommen wird.

Sieht aber nach ziemlich viel Arbeit aus und das war nur der einfachste Fall. Wahrscheinlich macht man das doch besser mit einem geeigneten numerischen Verfahren.
#16 Jimmy
Dresden
5. Oktober 2012

Moment…. ein paar Objekte, ein Gummituch: das klingt für mich einfach nach der konvexen Hülle der Objekte, oder?
#17 Thilo
5. Oktober 2012

Das ist halt die Frage, ob die konvexe Hülle minimale Oberfläche hat oder ob es nicht doch Teilmengen mit geringerer Oberfläche gibt. Das Gummituch könnte sich ja auch fast ganz um die Sphären wickeln und dann einen entsprechend kleineren Zwischenraum überbrücken.
#18 Jimmy
Dresden
6. Oktober 2012

Das stimmt. Die konvexe Hülle ist ja nur die kleinste konvexe Menge, die eine gegebene Menge enthält. Eine nicht konvexe Menge, also eine Oberfläche, die beispielsweise diese zwei Kugeln umschließt und durch einen unendlich dünnen Steg verbindet, hätte sicher eine kleinere Oberfläche.

Meine Vorstellung hängt aber an diesem Gummituch: wenn ich um eine Menge von Objekten (im Beispiel eben zwei disjunkte Sphären) ein Gummituch lege und straffziehe, dann müsste doch sowas wie die konvexe Hülle dabei entstehen, oder nicht?
#19 m
7. Oktober 2012

Wenn der Abstand zwischen den Sphaeren grosz ist (im vergleich zum Radius) duerfte sich das Gummituch zwischen den Sphaeren verjuengen: zwei mal volle oberflaeche der Kugeln plus ein Zylinder mit vernachlaessigbarem Durchmesser ist dann weniger flaeche als zwei halbe Kugeln und der Zylinder mit vollem Radius. Minimale Oberflaeche hat vermutlich ein tropfenfoermiges Gebilde — und was ein reales Gummituch macht muss wohl ein Experiment zeigen 🙂
#20 Maxim
7. Oktober 2012

@Thilo
Vielen Dank schon mal. Ja, das ein sehr einfacher Fall. Wahrscheinlich gehen komplexere Fälle analytisch gar nicht. Meine Anforderung wäre eigentlich ein Klumpen aus Murmeln, der komplett von einer zähen Flüssigkeit bedeckt ist. Beim trocknen zieht sich diese Flüssigkeit zusammen und die entstandene Netzhaut dringt etwas in die Zwischenräume ein.
Vielleicht kann man da etwas mit Kugelflächenfunktionen erreichen?!

@Jimmy
Nein, die Hülle muss nicht unbedingt konvex sein. Ich meine es so, wie Thillo es beschrieben hat: die zwei Kugeln können fast vollständig umschlossen und haben nur eine enge Verbindung miteinander.
z.B. so https://www.chemgapedia.de/vsengine/media/vsc/de/ch/15/thc/bindung/bilder/lih_pot.png

Bildquelle: https://www.chemgapedia.de/vsengine/vlu/vsc/de/ch/15/thc/bindung/tc022_h2plus.vlu/Page/vsc/de/ch/15/thc/bindung/lih.vscml.html
#21 Topologie von Flächen CCLXII – Mathlog
9. März 2013

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#22 Fevzi
Gütersloh
1. Mai 2019

vielen Dank für diesen Matheblog, Mathe war immer mein Lieblingsfach
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