Karten

Von Thilo / 19. Juni 2015 / 7 Kommentare

Zahlreiche Videos zu mathematischen Themen findet man auf der Seite Science4All, aktuell eines zu unterschiedlichen Landkarten:

Worum es im Video geht:

Meist wird für Landkarten die Mercator-Projektion verwendet. Die verzerrt allerdings an den Polen, Grönland erscheint genau so groß wie Afrika.
Dagegen gibt die Gall-Peters-Projektion die Größenverhältnisse korrekt wieder, sie verzerrt aber die Formen: sie ist keine konforme Abbildung. Die Mercator-Projektion hingegen ist eine konforme Abbildung und deshalb wird bei Google Maps und anderen Kartendiensten heute noch die Mercator-Projektion verwendet.
Die Webseite von Jason Davies zeigt zahlreiche ungewöhnliche Projektionen, von denen einige auch Im Video vorkommen.
In der zweiten Hälfte des Videos wird dann der mathematische Hintergrund erklärt, warum es keine exakten Landkarten geben kann: die Krümmung der Sphäre und damit zusammenhängend die Innenwinkelsumme sphärischer Dreiecke (und Gauss’ Theorema Egregium) machen längentreue Abwicklungen gekrümmter Flächen auf die Ebene unmöglich.

Kommentare (7)

#1 Dr. Webbaer
20. Juni 2015

(…) warum es keine exakten Landkarten geben kann (…)

Plump formuliert und ohne Topologe zu sein:
Drei- oder mehrdimensional zu Verstehendes kann nur näherungsweise zweidimensional dargestellt werden.

Wobei der hiesige geschätzte Inhaltegeber, Grüße nach Fernost btw, vermutlich keine Allegorien im Auge hatte, also ergänzend:
Der Primat hantiert auf die Natur bezogen grundsätzlich i.p. Dimensionen reduzierend, ausschnittsartig und an Interessen (!) gebunden, einerseits die Erfassung meinend, andererseits die Theoretisierung.

MFG + schönes Wochenende,
Dr. W
#2 Frank Wappler
https://von.Winkeln.ganz.zu.Schweigen
22. Juni 2015

Thilo schrieb (Juni 19, 2015):
> die Krümmung der Sphäre

D.h. für eine gegebene “Sphäre” sicherlich die bestimmte, von Null verschiedene Größe $\kappa$ , für die die Gramsche Determinante

$\begin{vmatrix} 1 & \text{Cos}[\sqrt{\kappa~s^2_{AB}}] & \text{Cos}[\sqrt{\kappa~s^2_{AP}}] & \text{Cos}[\sqrt{\kappa~s^2_{AQ}}] \\ \text{Cos}[\sqrt{\kappa~s^2_{BA}}] & 1 & \text{Cos}[\sqrt{\kappa~s^2_{BP}}] & \text{Cos}[\sqrt{\kappa~s^2_{BQ}}] \\ \text{Cos}[\sqrt{\kappa~s^2_{PA}}] & \text{Cos}[\sqrt{\kappa~s^2_{PB}}] & 1 & \text{Cos}[\sqrt{\kappa~s^2_{PQ}}] \\ \text{Cos}[\sqrt{\kappa~s^2_{QA}}] & \text{Cos}[\sqrt{\kappa~s^2_{QB}}] & \text{Cos}[\sqrt{\kappa~s^2_{QP}}] & 1 \end{vmatrix}.$

bzgl. je vier “Sphären“-Bestandteilen $A, B, P$ und $Q$ Null ergibt.

> längentreue Abwicklungen gekrümmter Flächen auf die Ebene [ist] unmöglich

Stimmt: vier (oder mehr) Beteiligte heißen (ausgerechnet dann) zueinander “eben“, falls deren entsprechende Gramsche Determinanten jeweils lediglich die Nullstelle $\kappa = 0$ haben. (Für solche Beteiligten verschwindet stattdessen deren Cayley-Menger-Determinante.)

> warum es keine exakten Landkarten geben kann

Dazu wird hier offenbar vorausgesetzt, dass “Landkarten” “Ebenen” zu sein hätten.
(Was wiederum voraussetzen sollte, über den Begriff “Ebene” überhaupt schon zu verfügen.)
#3 Thilo
23. Juni 2015

Ja, wenn man Landkarten auf Sphären erlaubte, dann wäre das Problem trivialerweise lösbar 🙂
#4 Frank Wappler
https://en.wikipedia.org/?title=William_of_Ockham#Use.distinctive.terminology.as.necessary.
23. Juni 2015

Thilo schrieb (#3, 23. Juni 2015):
> Ja, wenn man Landkarten auf Sphären erlaubte, dann […]

Wenn man verhindern wollte, dass „Sphären“ auch „Landkarten“ genannt werden, oder „Landkarten“ auch „Sphären“, müsste man eben vor allem nachvollziehbar machen, wie sie denn überhaupt zu unterscheiden wären. (Das ist zwar selbstverständlich, aber offenbar nicht ganz einfach.)
#5 Leo
27. Juni 2015

Dazu gibt es auch einen sehr schönen xkd:
https://xkcd.com/977/
#6 Frank Wappler
https://freedom.turned.adrift--is.freedom.denied
30. Juni 2015

Leo schrieb (#5, 27. Juni 2015):
> Dazu gibt es auch einen sehr schönen […]

Yes, Randall Munroe is clever.
#7 A.P.
9. Juli 2015

Erinnere mich, das hier in dem Zusammenhang mal gesehen zu haben: https://www.youtube.com/watch?v=vVX-PrBRtTY