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8-dimensionale Kugelpackungen

Von / 16. März 2016 / 8 Kommentare / Seite 2 von 2 / Auf einer Seite lesen
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Der Ausdruck für die gesuchte Funktion ist dann ziemlich kompliziert, er besteht aus 8 Summanden, die jeweils Integrale von verschiedenen Kombinationen dieser Funktionen sind, der fünfte Summand sieht beispielsweise so aus: \int_{-1}^i 128(\frac{\theta_{00}(z)^4+\theta_{01}(z)^4}{\theta_{10}(z)^8}+ \frac{\theta_{00}(z)^4+\theta_{10}(z)^4}{\theta_{01}(z)^8})e^{\pi i\parallel x\parallel^2z}dz, die anderen Summanden sind ähnlich kompliziert. Mittels der Symmetrieeigenschaften und der Abschätzungen für Fourierkoeffizienten von Modulformen wird in der neuen Arbeit letztlich bewiesen, dass die konstruierte Funktion f die gewünschten Eigenschaften hat und es also nach Cohn-Elkies keine dichteren Kugelpackungen als das E8-Gitter geben kann.

Maryna Viazovska (2016). The sphere packing problem in dimension 8 ArXiv arXiv: 1603.04246v1
Cohn, H., & Elkies, N. (2003). New upper bounds on sphere packings I Annals of Mathematics, 157 (2), 689-714 DOI: 10.4007/annals.2003.157.689

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Kommentare (8)

  1. #1 schlappohr
    16. März 2016

    “[…] und dass sie ein möglichst grosses Volumen überdecken.”

    Da habe ich gerade ein Verständnisproblem: Ist das überdeckte Volumen nicht allein durch die Anzahl der Kugeln gegeben? Und warum soll das Volumen möglichst groß sein? Ich dachte, das Ziel bei der Kugelpackung wäre es, das Volumen der kleinsten konvexen Hülle möglichst _klein_ zu bekommen.

  2. #2 Thilo
    16. März 2016

    Das Volumen aller Kugeln zusammengenommen ist natürlich unendlich. Es geht darum einen möglichst hohen prozentualen Anteil des gesamten Raumes überdeckt zu haben. Das wäre natürlich auch wieder unendlich durch unendlich geteilt. Für ein endliches Teilgebiet, etwa die Kugel vom Radius R um den Nullpunkt, kann man aber berechnen, wieviel Prozent überdeckt werden. Dann betrachtet man den Grenzwert dieser Prozentzahlen für R gegen unendlich. (Genauer den Limes Superior, weil die Folge nicht unbedingt konvergiert.) Um diesen Wert geht es.

  3. #3 schlappohr
    16. März 2016

    Ok, ich hatte das Bild mit den Orangen im Kopf und bin von einer endlichen Anzahl Kugel ausgegangen. Im unendlichen Fall ergibt das mit der Hülle natürlich keinen Sinn, weil die dann auch unendlich groß ist. Stattdessen soll die Kugeldichte soll maximal werden.
    Verstanden, danke.

  4. #4 Christian Berger
    20. März 2016

    Man kann die Anwendungen in der Quellcodierung schon fast riechen.

  5. #5 Thilo
    24. März 2016

    Nachtrag: mit analogen Methoden ist jetzt auch bewiesen worden, dass das Leech-Gitter die optimale 24-dimensionale Kugelpackung liefert: https://arxiv.org/pdf/1603.06518v1.pdf

  6. #6 Thilo
    10. Juli 2016

    A breakthrough in sphere packing: the search for magic functions https://arxiv.org/pdf/1607.02111v1.pdf

  7. #7 Thilo
    19. Januar 2017

    Und ein Artikel für das breitere mathematische Publikum in den Notices of the AMS: https://www.ams.org/journals/notices/201702/rnoti-p102.pdf