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Wandernde Gebiete

Von / 8. August 2016 / 6 Kommentare / Seite 2 von 2 / Auf einer Seite lesen
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Eine Arbeit von Astorg-Buff-Dujardin-Peters-Raissy im neuen Heft der Annals of Mathematics (aufbauend auf Ideen von Lyubich) widerlegt diese Vermutung nun und damit ist die Frage nach der Dynamik der Fatou-Komponenten in höheren Dimensionen wohl wieder völlig offen. Ihre Beispiele sind Polynome in zwei Variablen:

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Astorg, M., Buff, X., Dujardin, R., Peters, H., & Raissy, J. (2016). A two-dimensional polynomial mapping with a wandering Fatou component Annals of Mathematics, 184 (1), 263-313 DOI: 10.4007/annals.2016.184.1.2
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Kommentare (6)

  1. #1 Keno
    8. August 2016

    Bei allen polynomiellen Beispielen sah es so aus, als ob die Julia-Mengen Ränder sind, bzw. das Maß 0 haben. Könnte das sein? Und wenn ja, sind dann die ausgeprägten Julia-Mengen im Sinus-Beispiel echt oder graphische Artefakte der Auflösung?

  2. #2 Boya Badana
    https://dekordelisi.com
    8. August 2016

    Teşekkür ederim.

  3. #3 Thilo
    8. August 2016

    @Kono:Bei dem Sinus-Beispiel ist die Julia-Menge tatsächlich die ganze graue Fläche, die in dem Bild in verschiedenen Grauschattierungen eingezeichnet ist.

    Für Polynome dagegen ist die Julia-Menge immer der Rand der “filled Julia set”, das sind diejenigen Punkte, deren Orbit (in der komplexen Ebene) beschränkt ist.

    Bemerkenswerterweise folgt daraus nicht, dass die Julia-Menge immer Maß 0 hat (wie man lange vermutet hatte). Buff-Cheritat haben bewiesen, dass es quadratische Polynome gibt, deren Julia-Menge positives Maß hat: https://arxiv.org/abs/math/0605514 Ihr Beweis ist nicht konstruktiv, d.h man kann diese quadratischen Polynome nicht explizit angeben.

  4. #4 tomtoo
    8. August 2016

    ich weis ich bin wieder ein bischen ot aber doch in der nähe.
    kennt jemand diese bilder .
    https://mandelbulb.com/2014/mb3d-parameter-set-by-hal-tenny/

    ich finde die einfach hammerhart.

  5. #5 tomtoo
    8. August 2016

    sry nochmal ich
    https://mandelbulb.com/wp-content/uploads/2014/02/Abalo014-perennial_bloom.jpg

    aber sowas sieht einfach so organisch aus.
    fraktale also die visualisierung haben mich schon immer begeistert weis nicht warum ist halt so.
    klar für ein mathematiker ists halt ein fraktal. fŭr mich hatt das schon fast was von leben.
    ok jetzt bin ich still.

  6. #6 anderer Michael
    17. August 2016

    Tomtoo
    Ich habe das auch gelesen und mich bemüht, was davon zu verstehen ( schätze 5-10%, bin eben kein Mathematiker.). Da waren deine Bilder eine nette Erholung, sozusagen alltagsrelevante Anwendung itérativer Reihen und Fraktale.