Kommentare (8)

1. #1 Uli

   18. Januar 2018

   Tja, und da stehe ich nun als einfacher Informatiker.

   Ich bin ja durchaus Mathe-affin und hatte auch die eine oder andere hochtheoretische VL im Studium, aber bei solchen Artikeln raucht mir schon in Zeile 2 der Kopf.

   Weiter so!

   Ich finde das ein wirklich schönes Beispiel für “ich weiß, daß ich nichts weiß”!

2. #2 tomtoob

   18. Januar 2018

   @Uli
   Lustig ist ja dass das Thilos Blog für die nicht so sehr Mathe affinen ist.
   *heul*

   ; )

3. #3 weyoun

   18. Januar 2018

   90% der Worte kann ich aussprechen, verstehe sie aber nicht.

4. #4 M. Ehret

   29. Januar 2018

   Hilberts Satz 90 – Der unverständlichste Wikipedia-Artikel

   Bloß gut, dass es diesen Blog von Thilo Kuessner und Franz Lemmersmeyers “120 Jahre Hilberts Zahlbericht” gibt. Ohne die beiden wäre Hilberts Zahlbericht ungeachtet an mir vorbeigegangen.

   Minkowski und Hilbert wurden 1893 von der DMV beauftragt, einen Bericht über die bisherigen Ergebnisse der Zahlentheorie zu schreiben, dem nur Hilbert mit seinem Bericht über die algebraische Zahlentheorie 1897 nachkommt, schreibt Lemmersmeyer. Dieser Zahlbericht wurde 1932 bei Springer als Buch publiziert und ist nun frei online zu finden, wie Kuessner schreibt.

   Beim Stöbern im Zahlbericht wundere ich mich sehr, denn ich hatte einen Bericht erwartet, in dem Hilbert seine Kollegen ausführlich würdigt oder kritisiert. Doch es ist ein ganz normales mathematisches Lehrbuch, nicht mal an der berühmten Stelle des 90. Satzes wird Kummer genannt, der Vorarbeiten dazu lieferte und dem wohl die Idee zu verdanken ist. Doch in Hilberts Literaturverzeichnis finden wir alle zu würdigenden Autoren:

   Abel, Arndt, Bachmann, Berkenbusch, Cauchy, Cayley, Dedekind, Dirichlet, Eisenstein, Frobenius, Fuchs, Gauß, Gmeiner, Hensel, Hermite, Hilbert, Hurwitz, Jacobi, Kronecker, Kummer, Lagrange, Lamé, Lebesgue, Legendre, Mertens, Minnigerode, Minkowski, Reuschle, Schering, Schwering,Serret, Smith, Stickelberger, Tano, Weber und Wolfskehl.

   Lemmersmeyer beschreibt den Enstehungsprozess des Werkes, nennt die gleichen Autoren und darüber hinaus Euler, Fermat, Taussky u.a. Er beschreibt auch die Rezeption des Zahlberichtes durch Artin, Bachmann, Hecke, Noether, Schappacher, Weil u.a.

   Thilo Kuessner hebt die Bedeutung von Hilberts Satz 90 in der modernen Forschung hervor und erwähnt Grothendieck und Wojewodsky. Doch warum hält er sich an die Wikipedia-Fassung https://de.wikipedia.org/wiki/Hilberts_Satz_90, wo die “ursprüngliche Fassung” mit einer Galoiserweiterung beginnt, auf der Diskussionsseite dazu dieser Wikipediaartikel als der “vermutlich der unverständlichste Artikel” kritisiert wird, wo wir doch bei Hilbert selbst nachschlagen können:
   https://de.wikisource.org/wiki/Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/166

   und sehen, dass Hilbert mit einem (abstrakten) Zahlkörper K beginnt und am Ende in seinem 90. Satz eine Art Produktzerlegung für ganze oder gebrochene Zahlen in K findet?

5. #5 Thilo

   29. Januar 2018

   Auf das Wikisourceprojekt hatte ich ganz unten (auf Seite 2) hingewiesen – das Projekt läuft schon seit Jahren und man kann gar nicht oft genug darauf hinweisen, dass da noch viele Korrekturleser benötigt werden.

6. #6 Thilo

   29. Januar 2018

   Ob einem die Formulierung aus dem Wikipedia-Artikel oder die aus dem Originalbericht besser gefällt, ist natürlich Geschmackssache. Für mich ist die heutige Sprache verständlicher, insbesondere ist für mich mit dieser Formulierung die Anwendung auf die pythagoräischen Zahlentripel unmittelbar einsichtig. (Mich würde mal interessieren, warum die anscheinend 100 Jahre unbemerkt blieb, wenn das denn wirklich so ist.) Aber wahrscheinlich bin ich einfach nur an die heutige Sprache gewöhnt und an Hilberts eben nicht.

   Interessant wäre ja noch, ob und wie sich die Formulierung bei Hilbert von der bei Kummer unterscheidet, auf den der Satz ja ursprünglich zurückgeht. Der Verdienst von Hilberts Zahlbericht soll ja gerade darin bestanden haben, die unverständlichen Arbeiten Kummers der mathematischen Forschung zugänglich gemacht haben, Ich weiß nicht, ob sich das nur auf die Beweise bezieht oder auch auf die Formulierungen der Sätze.

7. #7 M. Ehret

   12. Februar 2018

   Kummers Arbeit Über die Zerlegung der aus Wurzeln der Einheit gebildeten complexen Zahlen in ihre Primfactoren behandelt nur komplexe Zahlen, wie der Titel schon sagt. Kummer beschreibt algebraische komplexe Zahlen, genauer: komplexe p-te Wurzeln aus 1, p Primzahl, und bildet mit ihnen Produktzerlegungen und Äquivalenzklassen.

   Der Artikel ist 40 Seiten lang. Außerdem gibt es einen 8-seitigen Vorartikel Zur Theorie der complexen Zahlen dazu im gleichen Heft. Hier kommen tatsächlich auch quadratische Formen vor (aber immer mit komplexen und nicht notwendigerweise ganzzahligen Lösungen), er verweist auf Dirichlet an dieser Stelle. Hilberts Satz 90 ist viel allgemeiner formuliert und dennoch viel eleganter bewiesen. Er passt mit Beweis auf eine Seite.

   Kummers Artikel ist heute zugänglich. Er erschien in Crelles Journal, was in der mathematischen Welt eigentlich immer zugänglich war, und welches nun von der Niedersächsische Staats- und Universitätsbibliothek Göttingen digitalisiert, öffentlich und frei zugänglich gemacht wurde. Wer Lust und Zeit hat, kann mit diesem Band 35 in die Welt von 1847 eintauchen, sich vorstellen, wie Kummer geschrieben und gesprochen haben mag, wie er wohl “Function” oder “complexe Zahl” ausgesprochen hat mit seinem Breslauer Dialekt, sich freuen, dass er jetzt in Deutsch schreibt und spricht, einige wenige lateinischen Aussprüche verstehe ich natürlich nicht, und

   “Auch sieht man, daß die idealen Primfactoren die innere Natur der complexen Zahlen aufschließen, sie gleichsam durchsichtig machen und das innere crystallinische Gefüge derselben zeigen. Ist nämlich eine complexe Zahl nur unter der Form

   a + a_1 \alpha + …”

   auf S. 323 zeugt doch von großer innerer Freude und Zuversicht, doch was meint er mit dem crystallinischen Gefüge?

8. #8 Primzahlzwillinge, Primzahlnachbarn – Gesundheits-Check

   3. April 2018

   […] Primzahlnachbarn“ ist kompliziert und kann hier nicht dargestellt werden, sie ist in den Annals of Advanced Mathematics nachzulesen. Vereinfacht gesprochen beruht sie darauf, dass man die letzte und vorletzte Zahl der […]