Sind fünf Äpfel dasselbe wie fünf Birnen? Ist die Gruppe der Drehungen (in der Ebene und um den Nullpunkt) dasselbe wie die Kreisgruppe? Zeigen die beiden Bilder oben dieselben Graphen?
Allgemein gefragt: sind isomorphe Objekte gleich?
Vieles in der Mathematik dreht sich darum, dass man eben isomorphe Objekte als gleich ansehen will. Weil die Addition 3+2 immer dieselbe ist, egal ob man Äpfel, Birnen oder irgendwelche anderen Objekte addiert, kann man für die Addition beliebiger Objekte einheitliche Regeln finden. Weil man isomorphe Gruppen oder Graphen als gleich ansieht, kann man mit Gruppen oder Graphen „rechnen“ oder Listen von ihnen erstellen.
„Mathematik ist die Kunst, verschiedenen Dingen denselben Namen zu geben. … Es genügt, dass diese Dinge, obwohl sie sich materiell unterscheiden, in ihrer Form ähnlich sind.“ (Henri Poincaré, 1908)
Manchmal ist es natürlich trotzdem wichtig zu wissen, von welchen Objekten man gerade redet, und nicht nur ihre Isomorphieklasse zu kennen.
Diese Unterscheidung spielt eine Rolle in einer der kontroversesten mathematischen Debatten der letzten Jahre, nämlich der über die Richtigkeit des Beweises der abc-Vermutung. Der springende Punkt im Beweis von Shinichi Mochizuki ist das Korollar 3.12, in dessen Beweis es laut Mochizuki wesentlich sein soll, gewisse isomorphe Objekte als unterschiedliche Objekte zu betrachten. Jakob Stix und Peter Scholze haben festgestellt, dass Mochizukis Argumente trivial und damit bedeutungslos werden, sobald man auf diese Unterscheidung isomorpher Objekte verzichtet. Jedoch konnte Mochizuki ihnen auch nicht erklären oder plausibel machen, warum diese Unterscheidung isomorpher Objekte dann plötzlich zu einem nützlichen Argument führen soll, weshalb der Beweis inzwischen von vielen Experten als fehlerhaft oder unvollständig angesehen wird. (Why abc is still a conjecture.)
Eine ziemlich bizarre philosophische Interpretation dieser Kontroverse liefert jetzt Luboš Motl in einem Artikel Category theory as an egalitarian religion.
I think that this philosophy that “isomorphic things must be considered equal” is no longer just a purely mathematical, impersonal, socially neutral meme. It is correlated with some other political and ideological movements that are increasingly ruining the Western societies. Well, look at the statements: „Mathematical objects that are isomorphic must be considered equal.“ vs. „All people and their groups – defined by sex, nation, race, sexual orientation, and more – must be considered equal in all circumstances and unequal outcomes must be considered a proof of someone’s malice.“ The second slogan is clearly an umbrella slogan for identity politics – producing things like “reverse” sexism (“feminism”), “reverse” racism (“multiculturalism”), and related pathologies. These pathologies make common sense, ordinary discussions, and rudimentary meritocratic choices increasingly impossible in the West.
But the first slogan is somewhat analogous and it seems rather plausible that its proponents – and proponents of “category theory” – are well aware of this similarity. After all, Roberts’ text is titled „A Crisis of Identification“
so aside from the clearly left-wing “equality”, we also have a word with the “ident*” root, something that has an obvious proximity to “identity politics”. What is your identity? Can two isomorphic mathematical objects discussed by a Japanese men accepted to have two different identities, or is it politically incorrect? So it has seemed increasingly likely to me that the likes of Scholze and Stix “don’t want” to understand what Močizuki is saying because it conflicts with some ideology that they place above everything else – and the ideology, while completely unjustified, is fundamentally inseparable from the politically ideological delusions of many contemporary Western academics, too.In this sense, it looks very plausible that “identity politics” may also be blamed for the Westerners’ incapability of catching up with the Japanese “arithmetic deformation theory”, a topic that you would normally believe to have zero links with any politics or ideology!
Philosophische Interpretationen mathematischer Sachverhalte mögen ja manchmal ganz erhellend sein, aber das hier ist einfach nur schräg.
Kommentare (86)