Theorema Magnum MDCCCXCVIII: Komponierbarkeit quadratischer Formen

Das Produkt zweier Summen von zwei Quadraten ist wieder eine Summe von zwei Quadraten: . Das kann man natürlich durch direktes Ausrechnen überprüfen, es folgt aber auch aus der Produktformel für Beträge komplexer Zahlen, wenn man z=a+bi, w=c+di setzt und dann den Betrag von zw=(ac-bd)+(ad+bc)i in die Produktformel einsetzt.
Von Bedeutung in der Zahlentheorie war diese als Brahmagupta-Identität bekannte Produktdarstellung für die Frage, welche natürlichen Zahlen Summen zweier Quadratzahlen sind. Für Primzahlen ist das der Fall, wenn sie nicht kongruent 3 modulo 4 sind, und mit der Produktformel beweist man dann, dass beliebige natürliche Zahlen Summe zweier Quadrate sind, wenn in ihrer Primfaktorzerlegung alle Primzahlen kongruent 3 modulo 4 in gerader Anzahl vorkommen.
Auf Gauß geht eine Kompositionstheorie binärer quadratischer Formen zurück, die den Hauptteil der Disquisitiones Arithmeticae ausmachte und aus späterer Sicht im Wesentlichen äquivalent ist zur Idealtheorie quadratischer Zahlkörper. Den Zwei-Quadrate-Satz bekommt man dabei aus der Gruppeneigenschaft der Idealklassengruppe.

Ähnlich konnte Euler die Darstellbarkeit natürlicher Zahlen als Summe von vier Quadratzahlen auf Primzahlen reduzieren. Auch in diesem Fall hat man eine Zerlegung des Produkts zweier Summen von je vier Quadraten als Summe von vier Quadraten, und auch in diesem Fall sah man im Nachhinein, dass man diese Zerlegung aus der Produktformel für Beträge von Quaternionen bekommt.

Quaternionen galten manchen Physikern als die Entdeckung des Jahrhunderts, Maxwell, der Begründer der Elektromechanik bezeichnete sie als die beste Erfindung seit geschnittenem Brot. Andere lehnten den Hype ebenso vehement ab. Ganzzahlige Quaternionen waren zunächst von Rudolf Lipschitz untersucht worden. Adolf Hurwitz stellte dann fest, dass man eine bessere Theorie bekommt, wenn man statt Quaternionen mit ganzzahligen Koeffizienten diejenigen mit halbzahligen Koeffizienten und ganzzahliger Koeffizientensumme betrachtet. (Analog zur Theorie der Zahlkörper, wo man zum Beispiel als Ganzheitsring in Q(√3) nicht Z[√3], sondern Z[(1+√3)/2] betrachtet.) Mit dieser Definition hatte man die richtigen idealtheoretischen Eigenschaften, beispielsweise die Eindeutigkeit der Faktorisierung in Primideale, und mit diesem Ansatz bekam Hurwitz auch einen verständlicheren Beweis des Vier-Quadrate-Satzes als es Lipschitz gelungen war.

Eine entsprechende Formel für Summen von drei Quadraten kann es nicht geben. Zum Beispiel sind 3=1+1+1 und 21=16+4+1 Summen dreier Quadratzahlen, das Produkt 63 aber nicht. (Das wurde 1830 von Legendre in seinem Buch zur Zahlentheorie erwähnt, war anscheinend aber Hamilton nicht bekannt, der trotzdem nach einer Multiplikation auf dem R³ suchte.)

Der Acht-Quadrate-Satz, also die Zerlegbarkeit des Produkts zweier Summen von 8 Quadraten als Summe von 8 Quadraten, wurde zunächst von Degen und dann mit Hilfe der Produktformel für Oktaven von Graves und Cayley gefunden. Degen und Graves glaubten, ihn auf 2ⁿ Summanden ausdehnen zu können, Roberts und Cayley veröffentlichten einen Beweis für 16 Summanden. Das kritisierte Adolf Hurwitz in seiner 1898 erschienenen Arbeit Über die Komposition der quadratischen Formen von beliebig vielen Variabeln:

Roberts und Cayley haben sich im 16. und 17. Bande des Quarterly Journal mit dem Nachweis beschäftigt, dass ein Produkt von zwei Summen von je 16 Quadraten nicht als Summe von 16 Quadraten darstellbar sei. Ihre äußerst mühsamen auf Probieren beruhenden Betrachtungen besitzen indessen keine Beweiskraft, weil ihnen bezüglich der Bilinearform Formen z₁, z₂,… spezielle Annahmen zugrunde liegen, die durch nichts gerechtfertigt sind.

Tatsächlich bewies Hurwitz in seiner Arbeit den Kompositionssatz, demzufolge es eine Gleichung (mit den z_i‘s als Funktion der x_j‘s und y_k‘s) nur für n = 1, 2, 4 oder 8 geben kann.

Die Idee seines Beweises war wie folgt.
Er setzt an , wobei die Koeffizienten a_ij lineare homogene Funktionen in den x-Variablen sein sollen. Damit bekommt er eine Matrix A, deren Einträge Funktionen in x sind und für die man die Gleichung AA^T=x₁²+…+x_n² hat.
Diese Matrix A ordnet er nach den Variablen, also A=x₁A₁+…+x_nA_n mit nicht von x abhängenden A_i und betrachtet dann B_i=A_iA_n^T für i=1,…,n-1. Er zeigt dann, dass die Matrizen B_i schiefsymmetrisch sind und die Gleichungen

für i,k=1,…,n-1 erfüllen. Das ist ein Problem über nxn-Matrizen und er beweist in seiner Arbeit, dass es solche Systeme von Matrizen nur für n = 2, 4 oder 8 gibt.

Die Zerlegbarkeit der Produkte von Summen von n Quadraten gibt es offensichtlich genau dann, wenn der Rⁿ eine Kompositionsalgebra, d.h. eine Algebra mit einem Skalarprodukt, für das die Produktformel gilt, ist, denn dann ist x.y=(z₁(x,y),…,z_n(x,y)) äquivalent zu . Man kann zeigen, dass eine Kompositionsalgebra mit Einselement längentreu isomorph ist zu einer der vier bekannten Algebren (reelle Zahlen, komplexe Zahlen, Quaternionen, Oktaven). Weiter kann man durch einen als „Mutation“ bezeichneten Prozeß aus jeder Kompositionsalgebra ohne Einselement eine Kompositionsalgebra mit Einselement und von derselben Dimension machen. Insbesondere gibt es auch Kompositionsalgebren ohne Einselement nur in den Dimensionen 1,2,4,8 und man bekommt man also einen weiteren (1953 von Kaplansky veröffentlichten) algebraischen Beweis für den Satz von Hurwitz. (In den Dimensionen 2,4,8 gibt es jedoch viele weitere Kompositionsalgebren ohne Einselement.) Man kann dann weitergehen und fragen, in welchen Dimensionen es überhaupt Divisionsalgebren gibt. Aus dem Satz von Hurwitz folgt, dass es an normierten (endlich-dimensionalen) Divisionsalgebren nur die vier bekannten gibt. (Unter der Annahme der Assoziativität, die die Oktaven ausschließt, war das schon 1877 von Frobenius bewiesen worden.) Auch für beliebige (nicht notwendig normierte) Divisionsalgebren weiß man inzwischen, dass es sie nur in Dimension 1,2,4,8 gibt. Dafür gibt es aber bisher keinen algebraischen Beweis, sondern nur topologische Beweise, die den Bottschen Periodizitätssatz verwenden. Die ersten Beweise fanden Kervaire und Milnor (unabhängig voneinander) 1958 unmittelbar nach dem Erscheinen von Botts Arbeit.

Bild: https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Adolf_Hurwitz_1910s.jpg