Höhere Homotopiegruppen waren bisher völlig unberechenbar. Noch auf dem ICM in Massachusetts 1950 hatte Hopf gesagt: “Die gegenwärtige Situation in diesem Gebiet ist sehr unübersichtlich, und es ist verständlich und erfreulich, dass sich viele Geometer bemühen, hier Klarheit zu schaffen und ein Gesetz zu erkennen.”
Als allgemeine Philosophie für die Berechnung der Homotopieklassen von Abbildungen von X nach Y ergab sich die folgende: man zerlegt X als iterierte Kofaserung, deren Faktoren kohomologisch elementar sind, und Y als iterierte Faserung, deren Faktoren homotopisch elementar sind. Man hat immer genug Faserungen, die aber im allgemeinen als Funktionenräume definiert werden und deshalb nicht direkt zugänglich sind. Man kann aber Spektralsequenzen für kohomologische Berechnungen verwenden. Mit diesen Methoden zeigte Serre beispielsweise, dass unter vernünftigen Voraussetzungen die Homotopieklassen eine endlich erzeugte Gruppe bilden.
Mit Serres Methode hatte man nun einen Ansatz, aber jeder Schritt war viel Arbeit. Für die Berechnung einer zu bestimmenden Homotopiegruppe G=πqSn betrachtet man eine Faserung, deren Faser ein K(G,n) ist. Nach dem Satz von Hurewicz ist die erste nichttriviale Homologiegruppe von K(G,n) gerade Hn(K(G,n))=πn(K(G,n))=G und man kann dann mit Spektralsequenzen versuchen, diese Homologiegruppe der Faser zu berechnen.
So kann man beispielsweise aus der Faserung ΩK(Z,3)–>PK(Z,3)–>K(Z,3) und der Kenntnis der Kohomologie von K(Z,2)=ΩK(Z,3) die ersten Homologiegruppen von K(Z,3) berechnen und das dann induktiv fortsetzen. Um G=π4S3 zu bestimmen, betrachtet man den Raum Y, der aus der S3 entsteht indem durch Ankleben von Zellen sukzessive alle Homotopiegruppen ab der fünften getötet werden. Man kann dann eine Faserung K(G,4)–>Y–>K(Z,3) konstruieren und bekommt eine Spektralsequenz, in der E20,4=G von E25,0=H5(K(Z,3))=Z/2Z getötet werden muss. Also ist π4S3=Z/2Z. Etwas schwieriger ist dann schon die Berechnung von π5S3 und wirklich schwer wird die Berechnung von π6S3.
Auch wenn die Berechnung der Homotopiegruppen von Sphären sich nicht beliebig weit fortsetzen ließ, gelang Serre mit seinen Methoden doch ein allgemeiner Satz über diese Gruppen: bis auf die schon von Hopf bekannten Beispiele πnSn=Z und π4n-1S2n=Z sind die Homotopiegruppen der Sphären stets endlich. Für diesen Satz aus seiner 1953 in Annals of Mathematics veröffentlichten Arbeit „Groupes d’homotopie et classes de groupes abéliens“ erhielt er ein Jahr später die Fields-Medaille.
Bild: https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Serre/pictdisplay/
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