Höhere Homotopiegruppen waren bisher völlig unberechenbar. Noch auf dem ICM in Massachusetts 1950 hatte Hopf gesagt: “Die gegenwärtige Situation in diesem Gebiet ist sehr unübersichtlich, und es ist verständlich und erfreulich, dass sich viele Geometer bemühen, hier Klarheit zu schaffen und ein Gesetz zu erkennen.”
Als allgemeine Philosophie für die Berechnung der Homotopieklassen von Abbildungen von X nach Y ergab sich die folgende: man zerlegt X als iterierte Kofaserung, deren Faktoren kohomologisch elementar sind, und Y als iterierte Faserung, deren Faktoren homotopisch elementar sind. Man hat immer genug Faserungen, die aber im allgemeinen als Funktionenräume definiert werden und deshalb nicht direkt zugänglich sind. Man kann aber Spektralsequenzen für kohomologische Berechnungen verwenden. Mit diesen Methoden zeigte Serre beispielsweise, dass unter vernünftigen Voraussetzungen die Homotopieklassen eine endlich erzeugte Gruppe bilden.

Mit Serres Methode hatte man nun einen Ansatz, aber jeder Schritt war viel Arbeit. Für die Berechnung einer zu bestimmenden Homotopiegruppe G=πqSn betrachtet man eine Faserung, deren Faser ein K(G,n) ist. Nach dem Satz von Hurewicz ist die erste nichttriviale Homologiegruppe von K(G,n) gerade Hn(K(G,n))=πn(K(G,n))=G und man kann dann mit Spektralsequenzen versuchen, diese Homologiegruppe der Faser zu berechnen.
So kann man beispielsweise aus der Faserung ΩK(Z,3)–>PK(Z,3)–>K(Z,3) und der Kenntnis der Kohomologie von K(Z,2)=ΩK(Z,3) die ersten Homologiegruppen von K(Z,3) berechnen und das dann induktiv fortsetzen. Um G=π4S3 zu bestimmen, betrachtet man den Raum Y, der aus der S3 entsteht indem durch Ankleben von Zellen sukzessive alle Homotopiegruppen ab der fünften getötet werden. Man kann dann eine Faserung K(G,4)–>Y–>K(Z,3) konstruieren und bekommt eine Spektralsequenz, in der E20,4=G von E25,0=H5(K(Z,3))=Z/2Z getötet werden muss. Also ist π4S3=Z/2Z. Etwas schwieriger ist dann schon die Berechnung von π5S3 und wirklich schwer wird die Berechnung von π6S3.

Auch wenn die Berechnung der Homotopiegruppen von Sphären sich nicht beliebig weit fortsetzen ließ, gelang Serre mit seinen Methoden doch ein allgemeiner Satz über diese Gruppen: bis auf die schon von Hopf bekannten Beispiele πnSn=Z und π4n-1S2n=Z sind die Homotopiegruppen der Sphären stets endlich. Für diesen Satz aus seiner 1953 in Annals of Mathematics veröffentlichten Arbeit „Groupes d’homotopie et classes de groupes abéliens“ erhielt er ein Jahr später die Fields-Medaille.

Bild: https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Serre/pictdisplay/

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Kommentare (5)

  1. #1 alex
    20. November 2020

    In der Physik kamen Faserbündel erstmals in den 1920er Jahren in der Kaluza-Klein-Theorie vor, die aus dem erfolglosen Versuch entstand, die Maxwell-Gleichungen des Elektromagnetismus in der Raum-Zeit der Relativitätstheorie zu formulieren. Weil das nicht möglich war, betrachtete man statt der Raum-Zeit ein Kreisbündel über der Raum-Zeit, wo sich die Maxwell-Gleichungen dann formulieren ließen.

    Das ist meines Wissens nach mindestens missverständlich formuliert, wenn nicht gar ganz falsch. Es gibt kein Problem die Maxwell-Gleichungen in der Raum-Zeit der Relativitätstheorie zu formulieren. Es gibt ja sogar analytische nichttriviale gemeinsame Lösungen der Maxwell-Gleichungen und der Einsteinschen Feldgleichungen (Reissner-Nordström-Metrik).

    Bei der Kaluza-Klein-Theorie geht man von einer 4+1-dimensionalen Raumzeit aus, und postuliert, dass dort das 5d-Analogon der Einsteinschen Feldgleichungen aus der ART gilt. (Also z.B. im Vakuum, dass die Ricci-Krümmung verschwindet.) Wenn man dann die 5d-Metrik geschickt aufspaltet, bekommt man die gewöhnlichen 4d Einsteinschen Feldgleichungen, und die 4d Maxwell-Gleichungen, und die Gleichung für ein weiteres Skalarfeld. Und auf der rechten Seite der 4d Einsteinschen Feldgleichungen steht genau der Energie-Impuls-Tensor des elektromagnetischen Felds (plus ein Term für das Skalarfeld).

    Aber damit das alles so schön funktioniert, muss man meines Wissens nach noch zusätzlich postulieren, dass die Felder nicht von der zusätzlichen Raumkoordinate abhängen. Wenn die 5d-Raumzeit ein Faserbündel ist, wobei die Faser ein mikroskopisch kleiner Kreis ist, dann ist das physikalisch plausibel. Außerdem würde das erklären, weshalb man im makroskopischen Bereich nur drei Raumdimensionen wahrnimmt.

  2. #2 Thilo
    20. November 2020

    Also, statt nur zu sagen, man wolle die Maxwell-Gleichungen in der Raum-Zeit formulieren, sollte ich besser sagen, man wolle die Maxwell-Gleichungen mit den Einstein-Gleichungen vereinheitlichen?

  3. #3 Aspie Path
    20. November 2020

    Campbell, J.E., A Course of Differential Geometry (Clarendon, Oxford, 1926)

    Campbell’s Theorem – Jeder Riemann’sche Raum V[n](s,t) z.B. (pseudo-)Riemann’sche Mannigfaltigkeit, supersymmetrische Mannigfaltigkeit, nicht kommutativer Raum, usw. kann in einen Ricci-flachen Riemann-Raum V[n+1](s+1,t) oder V[n+1](s,t+1) lokal eingebettet werden.

    Daraus folgt, dass ein Einbetten eines Systems von 4D-Gleichungen z.B. G[a,b]=8*pi*T[a,b] in ein System von 5D-Gleichungen z.B. R[A,B] = 0 immer möglich ist.
    Campbell’s Theorem funktioniert auch in einem de Sitter Raum oder einem anti-de Sitter Raum, in dem eine kosmologische Konstante existiert.

    Jeder, der keine abstrakte höher-dimensionale Mathematik beherrscht, würde keine 4-dimensionalen Misch-Räume (x,y,z,ict) erschaffen, sondern in seinem 3D-Universum jedem komplexen 3D-Punkt ein für komplexere 3D-Beobachter dieses Universums unsichtbares Algebra-Programmiersprache-Objekt zuordnen. Dann ist
    – Zeit keine mathematische Dimension,
    – die Lichtgeschwindigkeitskonstante, die orthogonale abstoßende/anziehende magnetische-Feldkräfte erzeugt, weil sie komischerweise exakt gleich der Ausbreitungsgeschwindigkeit für elektrische Felder ist, und die eine Höchstgeschwindigkeit für Materie festsetzt, und die somit komisch gleich konstant für Felder und Materie ist,
    – die merkwürdige Schwäche der Magnetfeldkraft von Elektronen, welche Magneto-Transrapids knapp über den Schienen rasend schnell schweben lässt aber weder einen Fahrstuhl noch eine schwere Rakete mehr als ein paar Millimeter anheben kann,
    – die unlogisch gigantische Proton-Masse,
    – …
    erklärbar. Alles übrig gebliebenen Rätsel der Physik sind erklärbar, wenn ein PROGRAMMIERER postuliert wird, der sich was gedacht hat, als er sehr schwache Magnetfelder B einführte, die abgesehen von wenigen Tierarten in keinem biologisch-chemischen Lebewesen eine Rolle spielen.

    Lustig ist, wenn jede Satz einer mathematische Dissertation des 3ten Jahrtausends mit einer Quellenangabe oder der Quellenangabe [citation needed] gekennzeichnet werden muss, weil bis zum Ende des 2ten Jahrtausends alles mathematisch bewiesen wurde, was bewiesen werden kann.

    Querverweis – Wurde Oscar Klein nicht disqualifiziert, weil J.E. Campbell 1926 ein dem Establishment und seinen Medien nicht bekannter Niemand war, und deswegen auch 90 Jahre später im Oscar-Klein-Artikel der Wikipedia nicht erwähnt wird?

    Noch lustiger wird es, wenn die Mathematiker, die Physiker aus dem Physikland vertrieben und Hochschulphysik mathematisierten, von Quanteninformatikern vertrieben werden, wenn für andere Teile des Kosmos nachgewiesen wird, dass dort andere Physik herrscht z.B. wenn die Lorentz-Kraft dort viel stärker ist.

  4. #4 Unang Enehm
    21. November 2020

    Es gibt keine Magnetfelder, wenn die Feld-Lichtgeschwindigkeitskonstante des elektrischen Felds eines Elektrons dreimal so groß ist wie die maximale Materie-Höchstgeschwindigkeit c des Materieteilchens Elektron.
    3c>c bedeutet, dass Feldlinien nicht relativistisch verbogen müssten, was bei c=c anders aussieht: Zeit muss verbogen werden um die universelle Konstante c nicht zu brechen.

  5. #5 Unang Enehm
    21. November 2020

    Korrektur

    Die Feld-Lichtgeschwindigkeitskonstante des elektrischen Felds darf im Yvonne-Catterfeld-Universum U[Y] zwischen 2c und 3c variieren

    Wird ein Elektron beschleunigt, wird die elektrische Feld-Lichtgeschwindigkeitskonstante beschleunigt auf einen neuen Wert im Intervall 2c-3c eingestellt, so dass weder ein Magnetfeld noch eine Bremsstrahlung entsteht.

    In unserem Universum (c=c) wird bei Beschleunigung eines Elektrons temporär das Gesetz von der Konstanz von c für elektrische Feldlinien gebrochen bzw. das Intervall ab 1*c physikalisch betreten.
    Genau wie im Fall der Cerenkov-Strahlung (c kleiner als 1 in Materie, wenn c=1 im Vakuum definiert wurde) reagiert das PROGRAMM auf c>1 mit Energieentzug, was für relativistisch invariante Ladungen bzw. wegen Konstanz der Zahl der elektrischen Feldlinien eines Elektrons bedeutet, dass nur kinetische Energie vermindert werden kann.

    Das wiederum bedeutet, dass Maxwell-Gleichungen mit den Einstein-Gleichungen dann und nur dann vereinheitlicht werden können, wenn c=c (hidden definition: c to the left=E-Field-c; c to the right=Matter-c) ist, was ein unglaublicher Spezialfall ist und wieder einmal in einer physikalischen Sackgasse bzw. in Einsteins Vorstellung eines Gottes und eines Universums endet.

    Wenn Thilo die Maxwell-Gleichungen in einer Raum-Zeit formulieren will, muss er das unter Ausschluss von Einstein tun, wenn er c[Y]>c[A] in U[Y] postuliert, mit Y ungleich A (A: unser Universum).

    Gibt es 10^480 Parallel-Universen, und in einem moderiert Olaf Schubert eine Satire-Sendung ohne 2 Sidekicks?
    Nein, das ist ein (lustiges) mathematisches Modell, welches im Gegensatz zu anderen Modellen z.B. Lost-Bits-of-Higher-Dimensions, von den Medien des Establishments jedem bekannt gemacht wurde. In Wahrheit gibt es erheblich weniger Parallel-Universen, in denen wegen PROGRAMMIERUNG andere interessante Physik herrscht, und BACKUP-Universen, die gestartet werden, wenn ein Universum wegen kaputter Physik oder kaputt gemachter Physik kaputt ging.