Faserbündel sind Räume, die lokal wie ein Produkt aussehen. Über jedem Punkt eines Basisraums B hat man eine (dieselbe) Faser F, die Fasern setzen sich zu einem Totalraum E zusammen, und lokal kann man zu jedem Basispunkt eine Umgebung U finden, deren Urbild in E mit dem Produkt U\times F identifiziert werden kann. So ist etwa das Möbius-Band der Totalraum eines Faserbündels, dessen Basis ein Kreis und dessen Faser das Intervall ist.

In der Physik kamen Faserbündel erstmals in den 1920er Jahren in der Kaluza-Klein-Theorie vor, die aus dem erfolglosen Versuch entstand, die Maxwell-Gleichungen des Elektromagnetismus in der Raum-Zeit der Relativitätstheorie zu formulieren. Weil das nicht möglich war, betrachtete man statt der Raum-Zeit ein Kreisbündel über der Raum-Zeit, wo sich die Maxwell-Gleichungen dann formulieren ließen.

Seit den 1940er Jahren eroberten Faserbündel die Mathematik. In der algebraischen Geometrie übernahmen Linienbündel die Rolle der Divisoren. (Einen Divisor erhält man als Nullschnitt eines Linienbündels und unter den richtigen Annahmen und mit den richtigen Begriffen ist das eine 1:1-Korrespondenz.) In der algebraischen Topologie stellte die Leray-Spektralsequenz eines Faserbündels F–>E–>B einen Zusammenhang zwischen den Homologie- und Kohomologiegruppen der verschiedenen Räume her und ermöglichte damit Berechnungen, die anders unzugänglich waren.

Man interessierte sich damals für die von Eilenberg und Mac Lane eingeführten CW-Komplexe K(G,n), deren n-te Homotopiegruppe G und deren andere Homotopiegruppen trivial sind. Insbesondere wollte man ihre Homologie berechnen. Beispielsweise ist K(Z,2) der unendlich-dimensionale komplex-projektive Raum, dessen Homologie leicht zu berechnen ist. (Er hat eine CW-Zerlegung, in der nur gerade-dimensionale Zellen vorkommen, eine in jeder Dimension. Dementsprechend sind die Homologiegruppen abwechselnd Z und 0.)
Dieser K(Z,2) ist die Basis eines S1-Bündels mit kontrahierbarem Totalraum. Weil S1 ein K(Z,1) ist, fragte sich Serre dann, ob sukzessive K(G,n)’s immer auf diese Weise durch eine Faserbündel verbunden sind, und allgemeiner, ob es über jedem Raum X ein Faserbündel mit kontrahierbarem Totalraum gibt. Tatsächlich fand er einen Kandidaten dafür, die Wegeraumkonstruktion: man betrachtet zu einem festen Basispunkt * den Raum PX aller in * startenden Wege. Dieser Raum ist kontrahierbar und man hat die Endpunkt-Projektion PX\to X, die jedem in * startenden Weg seinen Endpunkt zuordnet. Die Faser in * ist der Schleifenraum \Omega X. Allerdings sind die Fasern unterschiedlicher Punkte (selbst bei wegzusammenhängender Basis) a priori nur homotopie-äquivalent, es handelt bei der Abbildung PX\to X nicht um ein Faserbündel.

Es gab unter den Mathematikern verschiedene Ideen, wie man allgemeinere Faserungen definieren sollte und das Problem war immer, dass man Hochhebungen von Homotopien benötigte und deren Existenz also beweisen mußte. Serre umging dieses Problem dann einfach, indem er den allgemeinen Begriff “Faserung” eben durch die Homotopiehebungseigenschaft definierte. Die Wegeraumkonstruktion war zwar kein Faserbündel, aber in Serres Sinn eine Faserung. Wenn ein Raum Y ein K(G,n) ist, dann ist der Schleifenraum ΩY ein K(G,n-1). Allgemeiner kann man für einen Raum X beginnend mit der klassifizierenden Abbildung X\to Y_1:=K(\pi_1X,1) eine Folge von Abbildungen X\to Y_n konstruieren, so dass Y_n\to Y_{n-1} eine Faserung mit Faser K(\pi_nX,n) ist. Man kann dann versuchen, Spektralsequenzen dieser Faserungen aufzustellen und damit Homologiegruppen zu berechnen versuchen.

Populär wurden Spektralsequenzen vor allem durch Arbeiten von Armand Borel, der mit ihnen die Kohomologie und (mit Hirzebruch) die charakteristischen Klassen homogener Räume berechnete. Zum Beispiel verstand er die Kohomologie von BU(n) mittels der Faserung U(n)/T—>BT—>BU(n), auf der die symmetrische Gruppe Sn wirkt. Die charakteristischen Klassen von BU(n) erhält man als die elementarsymmetrischen Funktionen in den Erzeugern des Kohomologierings von BT.
Serre hatte viele neue Ideen für die Untersuchung von Eilenberg-MacLane-Räumen und Homotopiegruppen von Sphären, die aber alle daran hingen, dass man Spektralsequenzen im allgemeinen Kontext von Faserungen (statt nur Faserbündeln) benötigt. Außerdem waren bei Leray Spektralsequenzen nur für lokalkompakte Räume anwendbar gewesen, obwohl sein Ziel ja eigentlich die Betrachtung möglichst allgemeiner Räume statt nur Simplizialkomplexen gewesen war. Serre überwand diese Einschränkung. Um die von Leray nur für Faserbündel aufgestellte Spektralsequenz auch für seinen Faserungsbegriff zu beweisen, mußte er – mit Hilfe von Cartan und Koszul – die richtige Filtrierung finden und viele nichttriviale Details ausarbeiten. Nach einigen Monaten war er damit fertig und es war frappierend, wie mühelos – nachdem diese Arbeit erledigt war – manche topologischen Beweise dann wurden. Ein instruktives Beispiel ist der Satz von Hurewicz über den Zusammenhang zwischen Homotopie- und Homologiegruppen: wenn \pi_q(X)=0 für q≤n-1, dann ist \pi_n(X)=H_n(X). Der Beweis dieses seit 1936 bekannten Satzes wurde nun sehr kurz (und sehr ungeometrisch): in der Spektralsequenz der Wegefaserung \Omega X\to PX\to X ist E_2^{n,0}=H_n(X) und E_2^{0,n-1}=H_{n-1}(\Omega X).

Weil die dazwischenstehenden Terme Null sind, kann E_*^{0,n-1} nur von E_*^{n,0} getötet werden. Weil PX kontrahierbar ist, muß aber E_*^{0,n-1} irgendwann Null werden. Also ist H_n(X)=H_{n-1}(\Omega X). Durch vollständige Induktion mit Anwenden der Induktionsvoraussetzung auf \Omega X bekommt man H_n(X)=H_{n-1}(\Omega X)=\pi_{n-1}(\Omega X)=\pi_n(X), also den Satz von Hurewicz..

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Kommentare (7)

  1. #1 alex
    20. November 2020

    In der Physik kamen Faserbündel erstmals in den 1920er Jahren in der Kaluza-Klein-Theorie vor, die aus dem erfolglosen Versuch entstand, die Maxwell-Gleichungen des Elektromagnetismus in der Raum-Zeit der Relativitätstheorie zu formulieren. Weil das nicht möglich war, betrachtete man statt der Raum-Zeit ein Kreisbündel über der Raum-Zeit, wo sich die Maxwell-Gleichungen dann formulieren ließen.

    Das ist meines Wissens nach mindestens missverständlich formuliert, wenn nicht gar ganz falsch. Es gibt kein Problem die Maxwell-Gleichungen in der Raum-Zeit der Relativitätstheorie zu formulieren. Es gibt ja sogar analytische nichttriviale gemeinsame Lösungen der Maxwell-Gleichungen und der Einsteinschen Feldgleichungen (Reissner-Nordström-Metrik).

    Bei der Kaluza-Klein-Theorie geht man von einer 4+1-dimensionalen Raumzeit aus, und postuliert, dass dort das 5d-Analogon der Einsteinschen Feldgleichungen aus der ART gilt. (Also z.B. im Vakuum, dass die Ricci-Krümmung verschwindet.) Wenn man dann die 5d-Metrik geschickt aufspaltet, bekommt man die gewöhnlichen 4d Einsteinschen Feldgleichungen, und die 4d Maxwell-Gleichungen, und die Gleichung für ein weiteres Skalarfeld. Und auf der rechten Seite der 4d Einsteinschen Feldgleichungen steht genau der Energie-Impuls-Tensor des elektromagnetischen Felds (plus ein Term für das Skalarfeld).

    Aber damit das alles so schön funktioniert, muss man meines Wissens nach noch zusätzlich postulieren, dass die Felder nicht von der zusätzlichen Raumkoordinate abhängen. Wenn die 5d-Raumzeit ein Faserbündel ist, wobei die Faser ein mikroskopisch kleiner Kreis ist, dann ist das physikalisch plausibel. Außerdem würde das erklären, weshalb man im makroskopischen Bereich nur drei Raumdimensionen wahrnimmt.

  2. #2 Thilo
    20. November 2020

    Also, statt nur zu sagen, man wolle die Maxwell-Gleichungen in der Raum-Zeit formulieren, sollte ich besser sagen, man wolle die Maxwell-Gleichungen mit den Einstein-Gleichungen vereinheitlichen?

  3. #3 Aspie Path
    20. November 2020

    Campbell, J.E., A Course of Differential Geometry (Clarendon, Oxford, 1926)

    Campbell’s Theorem – Jeder Riemann’sche Raum V[n](s,t) z.B. (pseudo-)Riemann’sche Mannigfaltigkeit, supersymmetrische Mannigfaltigkeit, nicht kommutativer Raum, usw. kann in einen Ricci-flachen Riemann-Raum V[n+1](s+1,t) oder V[n+1](s,t+1) lokal eingebettet werden.

    Daraus folgt, dass ein Einbetten eines Systems von 4D-Gleichungen z.B. G[a,b]=8*pi*T[a,b] in ein System von 5D-Gleichungen z.B. R[A,B] = 0 immer möglich ist.
    Campbell’s Theorem funktioniert auch in einem de Sitter Raum oder einem anti-de Sitter Raum, in dem eine kosmologische Konstante existiert.

    Jeder, der keine abstrakte höher-dimensionale Mathematik beherrscht, würde keine 4-dimensionalen Misch-Räume (x,y,z,ict) erschaffen, sondern in seinem 3D-Universum jedem komplexen 3D-Punkt ein für komplexere 3D-Beobachter dieses Universums unsichtbares Algebra-Programmiersprache-Objekt zuordnen. Dann ist
    – Zeit keine mathematische Dimension,
    – die Lichtgeschwindigkeitskonstante, die orthogonale abstoßende/anziehende magnetische-Feldkräfte erzeugt, weil sie komischerweise exakt gleich der Ausbreitungsgeschwindigkeit für elektrische Felder ist, und die eine Höchstgeschwindigkeit für Materie festsetzt, und die somit komisch gleich konstant für Felder und Materie ist,
    – die merkwürdige Schwäche der Magnetfeldkraft von Elektronen, welche Magneto-Transrapids knapp über den Schienen rasend schnell schweben lässt aber weder einen Fahrstuhl noch eine schwere Rakete mehr als ein paar Millimeter anheben kann,
    – die unlogisch gigantische Proton-Masse,
    – …
    erklärbar. Alles übrig gebliebenen Rätsel der Physik sind erklärbar, wenn ein PROGRAMMIERER postuliert wird, der sich was gedacht hat, als er sehr schwache Magnetfelder B einführte, die abgesehen von wenigen Tierarten in keinem biologisch-chemischen Lebewesen eine Rolle spielen.

    Lustig ist, wenn jede Satz einer mathematische Dissertation des 3ten Jahrtausends mit einer Quellenangabe oder der Quellenangabe [citation needed] gekennzeichnet werden muss, weil bis zum Ende des 2ten Jahrtausends alles mathematisch bewiesen wurde, was bewiesen werden kann.

    Querverweis – Wurde Oscar Klein nicht disqualifiziert, weil J.E. Campbell 1926 ein dem Establishment und seinen Medien nicht bekannter Niemand war, und deswegen auch 90 Jahre später im Oscar-Klein-Artikel der Wikipedia nicht erwähnt wird?

    Noch lustiger wird es, wenn die Mathematiker, die Physiker aus dem Physikland vertrieben und Hochschulphysik mathematisierten, von Quanteninformatikern vertrieben werden, wenn für andere Teile des Kosmos nachgewiesen wird, dass dort andere Physik herrscht z.B. wenn die Lorentz-Kraft dort viel stärker ist.

  4. #4 Unang Enehm
    21. November 2020

    Es gibt keine Magnetfelder, wenn die Feld-Lichtgeschwindigkeitskonstante des elektrischen Felds eines Elektrons dreimal so groß ist wie die maximale Materie-Höchstgeschwindigkeit c des Materieteilchens Elektron.
    3c>c bedeutet, dass Feldlinien nicht relativistisch verbogen müssten, was bei c=c anders aussieht: Zeit muss verbogen werden um die universelle Konstante c nicht zu brechen.

  5. #5 Unang Enehm
    21. November 2020

    Korrektur

    Die Feld-Lichtgeschwindigkeitskonstante des elektrischen Felds darf im Yvonne-Catterfeld-Universum U[Y] zwischen 2c und 3c variieren

    Wird ein Elektron beschleunigt, wird die elektrische Feld-Lichtgeschwindigkeitskonstante beschleunigt auf einen neuen Wert im Intervall 2c-3c eingestellt, so dass weder ein Magnetfeld noch eine Bremsstrahlung entsteht.

    In unserem Universum (c=c) wird bei Beschleunigung eines Elektrons temporär das Gesetz von der Konstanz von c für elektrische Feldlinien gebrochen bzw. das Intervall ab 1*c physikalisch betreten.
    Genau wie im Fall der Cerenkov-Strahlung (c kleiner als 1 in Materie, wenn c=1 im Vakuum definiert wurde) reagiert das PROGRAMM auf c>1 mit Energieentzug, was für relativistisch invariante Ladungen bzw. wegen Konstanz der Zahl der elektrischen Feldlinien eines Elektrons bedeutet, dass nur kinetische Energie vermindert werden kann.

    Das wiederum bedeutet, dass Maxwell-Gleichungen mit den Einstein-Gleichungen dann und nur dann vereinheitlicht werden können, wenn c=c (hidden definition: c to the left=E-Field-c; c to the right=Matter-c) ist, was ein unglaublicher Spezialfall ist und wieder einmal in einer physikalischen Sackgasse bzw. in Einsteins Vorstellung eines Gottes und eines Universums endet.

    Wenn Thilo die Maxwell-Gleichungen in einer Raum-Zeit formulieren will, muss er das unter Ausschluss von Einstein tun, wenn er c[Y]>c[A] in U[Y] postuliert, mit Y ungleich A (A: unser Universum).

    Gibt es 10^480 Parallel-Universen, und in einem moderiert Olaf Schubert eine Satire-Sendung ohne 2 Sidekicks?
    Nein, das ist ein (lustiges) mathematisches Modell, welches im Gegensatz zu anderen Modellen z.B. Lost-Bits-of-Higher-Dimensions, von den Medien des Establishments jedem bekannt gemacht wurde. In Wahrheit gibt es erheblich weniger Parallel-Universen, in denen wegen PROGRAMMIERUNG andere interessante Physik herrscht, und BACKUP-Universen, die gestartet werden, wenn ein Universum wegen kaputter Physik oder kaputt gemachter Physik kaputt ging.

  6. #6 Claudio Helling
    19. Dezember 2020

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