Die Riemannsche Vermutung ist eines der bekanntesten offenen Probleme der Mathematik. Sie besagt, dass die Nullstellen der Riemannschen Zetafunktion auf der „kritischen Geraden“ Re(s)=1/2 liegen. Riemann selbst ebenso wie Hadamard und de La Vallée Poussin, die mit Hilfe der Zetafunktion den Primzahlsatz bewiesen, hatten einen rein analytischen Ansatz. In Retrospekt drückte die Vermutung jedoch wirklich zahlentheoretische Eigenschaften von Zahlkörpern aus. Das erkannte man aber erst durch die Analogie mit Funktionenkörpern, wo Weils Beweis der analogen Vermutung für die Zetafunktion von Kurven erkennen ließ, dass die Riemann-Vermutung eine wesentlich arithmetische, jedoch in Teilen algebrogeometrische Eigenschaft ist.

André Weil hatte 1940 das Analogon der Riemannschen Vermutung für Funktionenkörper von Kurven (statt des Körpers der rationalen Zahlen) bewiesen, danach aber noch sechs Jahre gebraucht, um die für den Beweis benötigten Grundlagen der algebraischen Geometrie zu sichern. Sein Buch Foundations of Algebraic Geometry erschien 1946. In seinem zwei Jahre später erschienenen Buch Variétés abéliennes et courbes algébriques ging er dann noch weit über das hinaus, was er für den Beweis benötigt hatte. Er konstruierte die Jacobi-Varietät und baute eine Theorie abelscher Varietäten über beliebigen Körpern analog zur analytischen Theorie über den komplexen Zahlen auf. Damit öffnete er die Tür für eine arithmetische Untersuchung abelscher Varietäten und in den nächsten zwanzig Jahren wurden fast alle wichtigen Resultate für elliptische Kurven auf abelsche Varietäten verallgemeinert. 
Sein spektakulärstes Resultat betraf den „durch Potenzieren mit p“ definierten Frobenius-Automorphismus auf einer abelschen Varietät über Fp. Der Endomorphismenring einer solchen Varietät kann mit dem Ganzheitsring eines Zahlkörpers identifizert werden, der Frobenius-Automorphismus also mit einer algebraischen Zahl. Weil bewies den überraschenden Satz, dass die Norm dieses Elements stets √p ist. Daraus folgt, dass die Nullstellen der Zetafunktion alle auf der kritischen Geraden liegen, also das Analogon der Riemannschen Vermutung für abelsche Varietäten (statt zuvor nur Kurven) über endlichen Körpern.

Analog zum Fall von Kurven definiert man die Zeta-Funktion einer Varietät über Fp durch Z(T)=exp(\sum_m N_m\frac{T^m}{m}), wobei Nm die Anzahl der Punkte über Fq, q=pm, ist. Für den affinen Raum Ad ist Z(T)=\frac{1}{1-p^dT} und für den projektiven Raum Pd bekommt man Z(T)=\frac{1}{(1-T)(1-pT)\ldots(1-p^dT)}. Später erzählte Weil, dass er in Chicago gelangweilt und depressiv gewesen sei und begonnen habe, die klassischen Arbeiten von Gauß über biquadratische Reste zu lesen. Eine dieser Arbeiten behandelt die Gleichung ax4-by4=1 in Fp mittels sogenannter Gauß-Summen. Im Prinzip war es dieselbe Methode, wie sie Gauß in den Disquisitiones Aritmeticae für den Exponenten 3 statt 4 verwendet hatte. Weil bemerkte, dass ähnliche Prinzipien für axm+byn+czr=0 anwendbar sind und die Riemannsche Vermutung für diese Kurven implizieren und allgemeiner auch für projektive Varietäten mit Gleichungen der Form \sum a_ix_i^n=0 über Fp.

Für elliptische Kurven über Fp hatte Hasse bewiesen, dass es algebraische Zahlen a,b vom Betrag √p gibt, so dass Z(T)=(1-aT)(1-bT)/(1-T)(1-pT) ist. (Aus dieser Formel folgte unmittelbar, dass die Nullstellen von ζ(s) den Betrag 1/2 haben.) Er hatte bemerkt und auch im Beweis benutzt, dass der Nenner von Z(T) das charakteristische Polynom des Frobenius-Automorphismus ist. Trotzdem kam Weils Vermutung aus heiterem Himmel. In seiner Arbeit „Numbers of solutions of equations in finite fields“ (1949 im Bulletin of the American Mathematical Society) berechnete er zunächst in großer Ausführlichkeit die Anzahl der Lösungen für das sehr spezielle Beispiel a0x0n+a1x1n+…+arxrn=b, nur um dann zum Abschluß auf der letzten Seite zu formulieren, dass „dieses und andere hier nicht diskutierte Beispiele die nun folgende Vermutung unterstützen“ würden: die Funktion Z(T) ist von der Form Z(T)=\frac{P_1(T)\ldots P_{2n-1}(T)}{P_0(T)\ldots P_{2n}(T)} mit P_0(T)=1-T, P_{2n}(T)=1-p^nT und P_h(T)=\Pi_{i=1}^{b_h} (1-\alpha_{hi}T) für 1≤h≤2n-1, wobei die αhi algebraische Zahlen vom Betrag ph/2 sind. Letzteres ist das Analogon der Riemann-Vermutung über die Nullstellen der Zetafunktion, und auch die Rationalität der Zetafunktion und eine von Weil vermutete Funktionalgleichung wären direkte Verallgemeinerungen des von Weil bewiesenen Satzes für Kurven. Die überraschende Neuigkeit war Weils (vermutete) topologische Interpretation der Zahlen bh: wenn die durch ein Polynom mit ganzzahligen Koeffizienten definierte Varietät über C keine Singularitäten hat, soll bh gerade ihre h-te Betti-Zahl, also die Dimension ihrer h-ten Homologiegruppe sein. (Diese Vermutung formulierte er allgemein für Varietäten über Zahlkörpern.)
Die Vermutung besagt also, dass man die Anzahl der Lösungen einer polynomiellen Gleichung modulo einer Primzahlpotenz pm bestimmen kann, wenn man die algebraische Topologie der Lösungsmenge derselben Gleichung über den komplexen Zahlen kennt. Zum Beispiel ist es nicht einfach, die Anzahl der Lösungen von x3+y3+z3=0 modulo einer Primzahlpotenz zu berechnen. (Das ist ein Spezialfall des von Weil berechneten Beispiels und es ist natürlich auch ein Spezialfall der von Hasse untersuchten elliptischen Kurven.) Über den komplexen Zahlen ist diese Kurve in der komplex-projektiven Ebene CP2 aber einfach ein Torus. Die Dimensionen der Homologiegruppen sind also b0=1,b1=2,b2=1. Mit den Weil-Vermutungen bekommt man dann beispielsweise 9 Lösungen modulo 7, 63 Lösungen modulo 72, 324 Lösungen modulo 73 und eine allgemeine Formel für die Lösungen modulo 7m. Allgemein erhält man für ein homogenes Polynom vom Grad d in n+2 Variablen für die Anzahl N der Lösungen in Fp die Ungleichung \vert N-\sharp P^n{\bf F}_p\vert \le b_np^\frac{n}{2}, wobei die Betti-Zahl bn nur von n und d, aber nicht vom konkreten Polynom abhängt.

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