Theorema Magnum MCMLXXVII: die Calabi-Vermutung

Calabi-Yau-Mannigfaltigkeiten gelten heute als Grundlage der Stringtheorie, sie sollen die sechs zur Raum-Zeit hinzukommenden zusätzlichen Dimensionen ausmachen. Ursprünglich stammen sie aber aus der Differentialgeometrie, genauer aus der Theorie der Kähler-Mannigfaltigkeiten. (Das sind komplexe Mannigfaltigkeiten mit einer kompatiblen Riemannschen Metrik g und dadurch gegebener (1,1)-Form ω(X,Y)=g(X,JY). Kähler hatte sie in den 30er Jahren eingeführt, um die Ideen der italienischen algebraischen Geometer mit der Differentialgeometrie zu verbinden. Sie umfassen die projektiven Varietäten, sind aber allgemeiner, weil die Perioden der (1,1)-Form nicht wie bei projektiven Varietäten ganzzahlig sein müssen.)

Nachdem S.S.Chern bewiesen hatte, dass die Ricci-Krümmung einer Hermiteschen Metrik auf einer komplexen Mannigfaltigkeit das 2π-fache der ersten Chern-Klasse c₁ repräsentiert, vermutete Calabi 1954 eine Umkehrung: auf einer Kähler-Mannigfaltigkeit gibt es zu jeder 2πc₁ repräsentierenden (1,1)-Form eine eindeutige Kähler-Metrik, deren Ricci-Krümmung die gegebene Form ist. Für Riemannsche Flächen war das natürlich bekannt. Die Calabi-Vermutung in beliebigen Dimensionen, ursprünglich ein Problem der komplexen Geometrie, wurde 1977 von Shing-Tung Yau mit harter Analysis bewiesen.

Allgemeiner hatte Calabi gefragt, ob es für Kähler-Mannigfaltigkeiten mit einem Vorzeichen von c₁ eine Kähler-Metrik mit konstanter Ricci-Krümmung gibt. Für Riemannsche Flächen ist das der Uniformisierungssatz, demzufolge jede Riemannsche Fläche eine Metrik konstanter Krümmung hat (und wegen Gauß-Bonnet das Vorzeichen der Krümmung dem Vorzeichen der Euler-Charakteristik entspricht, was im Fall von Flächen die erste Chern-Zahl ist.)
Für c₁=0 bewies Yau die Existenz einer Ricci-flachen Metrik als leichte Konsequenz der Calabi-Vermutung. Für c₁<0 hatten Aubin und Yau dies unabhängig voneinander im Jahr zuvor bewiesen, für c₁>0 fand Yau Gegenbeispiele. Das dafür zu lösende analytische Problem lief auf die Lösung einer komplexen, nichtlinearen, nichtelliptischen partiellen Differentialgleichung hinaus: zu der Metrik g soll es eine Funktion u und eine neue (ebenfalls mit der komplexen Struktur sowie komplexen Orientierung kompatible) Metrik geben, für die (mit der die holomorphe n-Form in lokalen Koordinate bestimmende Funktion f) eine gewisse Differentialgleichung vom Monge-Ampère-Typ gilt. Calabi hatte seinerzeit die Eindeutigkeit, aber nicht die Existenz einer Lösung bewiesen. An seinem Beweis hatte er seit seiner Dissertation zwölf Jahre lang gearbeitet und obwohl es sich um ein Problem der globalen Differentialgeometrie handelt, hatte er dafür lokale Methoden unter Verwendung nichtlinearer partieller Differentialgleichungen entwickelt. Den Existenzbeweis im schwierigsten Fall c₁=0 lieferte Yau in seiner Arbei “On the Ricci curvature of a compact Kähler manifold and the complex Monge-Ampère equation” in Communications on Pure and Applied Mathematics.

Die Bedeutung dieses Resultats für komplexe Analysis und algebraische Geometrie manifestierte sich durch zahlreiche Korollare wie etwa die auf Severi zurückgehende Vermutung, dass es keine falschen projektiven Ebenen gibt: eine komplexe Fläche homotopieäquivalent zu CP² muß biholomorph zu CP² sein.

Man hatte bisher nur wenige Beispiele kompakter Mannigfaltigkeiten mit konstanter Ricci-Krümmung gekannt. (Sogenannter Einstein-Mannigfaltigkeiten, weil sie Lösungen der Einstein-Gleichung im Vakuum sind.) Durch Yaus Beweis und natürlich auch durch Thurstons Arbeit über hyperbolische 3-Mannigfaltigkeiten hatte man jetzt zahlreiche Beispiele. Außerdem hatte man jetzt kanonische Metriken auf algebraischen Varietäten und damit brauchbare Invarianten, die man für schwere Probleme der algebraischen Geometrie anwenden konnte. Mit Siu fand Yau einen differentialgeometrischen Beweis der gerade von Mori mit Methoden der algebraischen Geometrie – als Korollar der von ihm bewiesenen Vermutung, dass glatte, vollständige, algebraische Varietäten mit amplem Tangentialbündel der CPⁿ sein müssen – gezeigten Vermutung, dass eine kompakte komplexe Mannigfaltigkeit mit kompatibler Metrik biholomorph zum CPⁿ sein muss, wenn sie positive Bi-Schnittkrümmung hat. In beiden Fällen wurde die Existenz vieler rationaler Kurven benutzt. Mori hatte dies zunächst in positiver Charakteristik p>0 bewiesen, wo der Frobenius-Automorphismus wunderbarerweise zu Hilfe kam, und den komplexen Fall daraus abgeleitet. Sius und Yaus differentialgeometrischer Beweis benötigte diesen Umweg über die positive Charakteristik nicht mehr.

Das Wechselspiel zwischen Krümmungsschranken einer vollständigen Riemannschen Mannigfaltigkeit und ihrer globalen Geometrie und Topologie mit den eigentlichen Methoden der Riemannschen Geometrie war in dem 1975 erschienenen Buch „Comparison Theorems in Riemannian Geometry“ von Cheeger und Ebin zusammengefaßt worden. Die wichtigsten Werkzeuge waren die Vergleichssätze von Rauch und Toponogow, die wichtigsten Resultate waren der von Klingenberg und Berger bewiesene Sphärensatz und seine differenzierbare Version (eine kompakte, einfach zusammenhängende Mannigfaltigkeit mit Schnittkrümmungen ist diffeomorph zur Sphäre) und Bergers Version für symmetrische Räume (unter der Annahme muß die Mannigfaltigkeit noch ein symmetrischer Raum sein), Resultate über die Struktur von Mannigfaltigkeiten nichtnegativer Krümmung wie der Seelensatz von Cheeger-Gromoll und der Satz von Gromoll-Meyer, demzufolge bei positiver Krümmung die Seele nur ein Punkt ist, und schließlich die Struktur von Mannigfaltigkeiten nichtpositiver Krümmung, z.B. Bedingungen an die Fundamentalgruppe.