Theorema Magnum MCMLXXVII: die Calabi-Vermutung

Calabi-Yau-Mannigfaltigkeiten gelten heute als Grundlage der Stringtheorie, sie sollen die sechs zur Raum-Zeit hinzukommenden zusätzlichen Dimensionen ausmachen. Ursprünglich stammen sie aber aus der Differentialgeometrie, genauer aus der Theorie der Kähler-Mannigfaltigkeiten. (Das sind komplexe Mannigfaltigkeiten mit einer kompatiblen Riemannschen Metrik g und dadurch gegebener (1,1)-Form ω(X,Y)=g(X,JY). Kähler hatte sie in den 30er Jahren eingeführt, um die Ideen der italienischen algebraischen Geometer mit der Differentialgeometrie zu verbinden. Sie umfassen die projektiven Varietäten, sind aber allgemeiner, weil die Perioden der (1,1)-Form nicht wie bei projektiven Varietäten ganzzahlig sein müssen.)

Nachdem S.S.Chern bewiesen hatte, dass die Ricci-Krümmung einer Hermiteschen Metrik auf einer komplexen Mannigfaltigkeit das 2π-fache der ersten Chern-Klasse c₁ repräsentiert, vermutete Calabi 1954 eine Umkehrung: auf einer Kähler-Mannigfaltigkeit gibt es zu jeder 2πc₁ repräsentierenden (1,1)-Form eine eindeutige Kähler-Metrik, deren Ricci-Krümmung die gegebene Form ist. Für Riemannsche Flächen war das natürlich bekannt. Die Calabi-Vermutung in beliebigen Dimensionen, ursprünglich ein Problem der komplexen Geometrie, wurde 1977 von Shing-Tung Yau mit harter Analysis bewiesen.

Allgemeiner hatte Calabi gefragt, ob es für Kähler-Mannigfaltigkeiten mit einem Vorzeichen von c₁ eine Kähler-Metrik mit konstanter Ricci-Krümmung gibt. Für Riemannsche Flächen ist das der Uniformisierungssatz, demzufolge jede Riemannsche Fläche eine Metrik konstanter Krümmung hat (und wegen Gauß-Bonnet das Vorzeichen der Krümmung dem Vorzeichen der Euler-Charakteristik entspricht, was im Fall von Flächen die erste Chern-Zahl ist.)
Für c₁=0 bewies Yau die Existenz einer Ricci-flachen Metrik als leichte Konsequenz der Calabi-Vermutung. Für c₁<0 hatten Aubin und Yau dies unabhängig voneinander im Jahr zuvor bewiesen, für c₁>0 fand Yau Gegenbeispiele. Das dafür zu lösende analytische Problem lief auf die Lösung einer komplexen, nichtlinearen, nichtelliptischen partiellen Differentialgleichung hinaus: zu der Metrik g soll es eine Funktion u und eine neue (ebenfalls mit der komplexen Struktur sowie komplexen Orientierung kompatible) Metrik geben, für die (mit der die holomorphe n-Form in lokalen Koordinate bestimmende Funktion f) eine gewisse Differentialgleichung vom Monge-Ampère-Typ gilt. Calabi hatte seinerzeit die Eindeutigkeit, aber nicht die Existenz einer Lösung bewiesen. An seinem Beweis hatte er seit seiner Dissertation zwölf Jahre lang gearbeitet und obwohl es sich um ein Problem der globalen Differentialgeometrie handelt, hatte er dafür lokale Methoden unter Verwendung nichtlinearer partieller Differentialgleichungen entwickelt. Den Existenzbeweis im schwierigsten Fall c₁=0 lieferte Yau in seiner Arbei “On the Ricci curvature of a compact Kähler manifold and the complex Monge-Ampère equation” in Communications on Pure and Applied Mathematics.

Die Bedeutung dieses Resultats für komplexe Analysis und algebraische Geometrie manifestierte sich durch zahlreiche Korollare wie etwa die auf Severi zurückgehende Vermutung, dass es keine falschen projektiven Ebenen gibt: eine komplexe Fläche homotopieäquivalent zu CP² muß biholomorph zu CP² sein.

Man hatte bisher nur wenige Beispiele kompakter Mannigfaltigkeiten mit konstanter Ricci-Krümmung gekannt. (Sogenannter Einstein-Mannigfaltigkeiten, weil sie Lösungen der Einstein-Gleichung im Vakuum sind.) Durch Yaus Beweis und natürlich auch durch Thurstons Arbeit über hyperbolische 3-Mannigfaltigkeiten hatte man jetzt zahlreiche Beispiele. Außerdem hatte man jetzt kanonische Metriken auf algebraischen Varietäten und damit brauchbare Invarianten, die man für schwere Probleme der algebraischen Geometrie anwenden konnte. Mit Siu fand Yau einen differentialgeometrischen Beweis der gerade von Mori mit Methoden der algebraischen Geometrie – als Korollar der von ihm bewiesenen Vermutung, dass glatte, vollständige, algebraische Varietäten mit amplem Tangentialbündel der CPⁿ sein müssen – gezeigten Vermutung, dass eine kompakte komplexe Mannigfaltigkeit mit kompatibler Metrik biholomorph zum CPⁿ sein muss, wenn sie positive Bi-Schnittkrümmung hat. In beiden Fällen wurde die Existenz vieler rationaler Kurven benutzt. Mori hatte dies zunächst in positiver Charakteristik p>0 bewiesen, wo der Frobenius-Automorphismus wunderbarerweise zu Hilfe kam, und den komplexen Fall daraus abgeleitet. Sius und Yaus differentialgeometrischer Beweis benötigte diesen Umweg über die positive Charakteristik nicht mehr.

Das Wechselspiel zwischen Krümmungsschranken einer vollständigen Riemannschen Mannigfaltigkeit und ihrer globalen Geometrie und Topologie mit den eigentlichen Methoden der Riemannschen Geometrie war in dem 1975 erschienenen Buch „Comparison Theorems in Riemannian Geometry“ von Cheeger und Ebin zusammengefaßt worden. Die wichtigsten Werkzeuge waren die Vergleichssätze von Rauch und Toponogow, die wichtigsten Resultate waren der von Klingenberg und Berger bewiesene Sphärensatz und seine differenzierbare Version (eine kompakte, einfach zusammenhängende Mannigfaltigkeit mit Schnittkrümmungen ist diffeomorph zur Sphäre) und Bergers Version für symmetrische Räume (unter der Annahme muß die Mannigfaltigkeit noch ein symmetrischer Raum sein), Resultate über die Struktur von Mannigfaltigkeiten nichtnegativer Krümmung wie der Seelensatz von Cheeger-Gromoll und der Satz von Gromoll-Meyer, demzufolge bei positiver Krümmung die Seele nur ein Punkt ist, und schließlich die Struktur von Mannigfaltigkeiten nichtpositiver Krümmung, z.B. Bedingungen an die Fundamentalgruppe.

Es war vor allem Yaus Beweis und seine Aktivitäten, die partielle Differentialgleichungen in die Geometrie brachten. Seiner Meinung nach gaben diese analytischen Ansätze den Geometern einen Vorteil gegenüber den Topologen bei der Untersuchung vieler Aspekte.

Gleichzeitig und in einer entgegengesetzten Richtung wurde die Differentialgeometrie durch Ideen von Gromov völlig verändert. Hier war das Ziel, den Zusammenhang zwischen Krümmung und globalen Eigenschaften qualitativ (“grob”) zu verstehen, wobei mit letzteren nicht nur die Topologie, sondern auch metrische Eigenschaften wie Volumen und Durchmesser gemeint waren, sowie Eigenschaften von Abbildungen zwischen Mannigfaltigkeiten wie die Dilatation. Gromov meinte später einmal, einen berühmten französischen Schriftsteller zitierend, dass selbst die Wohlgesonnenen ihn für Entdeckungen unter dem Mikroskop beglückwünschten, wo er doch das Teleskop benutzt hatte. Insbesondere verbesserten Gromovs Arbeiten das Verständnis sowohl von Mannigfaltigkeiten nichtpositiver Krümmung wie von positiver oder nichtnegativer Krümmung.

Man kannte bis dahin nur wenige Mannigfaltigkeiten positiver Schnittkrümmung, hatte aber andererseits keine topologischen Hindernisse bis auf die Endlichkeit der Fundamentalgruppe, die sich aus der auch auf die universelle Überlagerung anwendbaren Abschätzung für den Durchmesser ergibt. Selbst für positive Skalarkrümmung hatte man nur ein einziges topologisches Hindernis, nämlich das sich aus dem Atiyah-Singer-Indexsatz für Spin-Mannigfaltigkeiten ergebende Verschwinden des Â-Geschlechts. (Der Indexsatz besagt Â(M)=ind(D) für den Index des Dirac-Operators auf einer Spin-Mannigfaltigkeit. Bei positiver Skalarkrümmung hat man wegen der Lichnerowicz-Ungleichung keine harmonischen Spinoren, demzufolge ker(D)=0, entsprechend koker(D)=ker(D*)=0, und damit ind(D)=0, was nach dem Indexsatz das Verschwinden des Â-Geschlechts bedeutet.) Gromov und Lawson bewiesen, dass eine Chirurgie der Kodimension mindestens 3 an einer Mannigfaltigkeit positiver Skalarkrümmung wieder eine Mannigfaltigkeit positiver Skalarkrümmung gibt. Damit wurde die Existenz von Metriken positiver Skalarkrümmung zu einem topologischen Problem. Beispielsweise konnten sie beweisen, dass Mannigfaltigkeiten nichtpositiver Schnittkrümmung nicht gleichzeitig eine Metrik positiver Skalarkrümmung tragen können.
Eine andere Richtung für Mannigfaltigkeiten positiver Schnittkrümmung waren Verbesserungen des Sphärensatzes. Grove und Shiohama hatten eine Variationsrechnung für die (nicht differenzierbare) Abstandsfunktion entwickelt und sie (anstelle der Morse-Theorie) benutzt, um eine Version des Sphärensatzes mit unterer Schranke für den Durchmesser statt oberer Krümmungsschranke zu beweisen. Gromov bewies unter Verwendung des Satzes von Toponogow, dass man nur eine beschränkte Anzahl kritischer Punkte der Abstandsfunktion in geometrisch steigendem Abstand haben kann und bekam damit dann eine Abschätzung für die Dimension der Homologiegruppen gegen Krümmung und Durchmesser. (Für n-Mannigfaltigkeiten nichtnegativer Schnittkrümmung stellte er die explizitere Vermutung auf, dass ihre Homologiegruppen höchstens die Dimension der Homologiegruppen des n-dimensionalen Torus haben. Das würde aus der Bott-Vermutung der rationalen Homotopietheorie folgen.)

Auch Mannigfaltigkeiten nichtpositiver Krümmung hatte man bisher überhaupt nicht verstanden. Ein klassisches Resultat war der Satz von Cartan-Hadamard, dass die universelle Überlagerung zusammenziehbar ist, womit die Klassifikation auf das scheinbar algebraische Problem der Klassifikation der möglichen Fundamentalgruppen reduziert wird. Vielleicht auch motiviert von Thurstons Ansätzen zur Hyperbolisierung von 3-Mannigfaltigkeiten beschäftigte sich Gromov Ende der 70er Jahre besonders mit Mannigfaltigkeiten negativer Krümmung und mit Wirkungen diskreter Iometriegruppen auf den universellen Überlagerungen. Zum Beispiel bewies er Abschätzungen für die Betti-Zahlen gegen geometrische Größen oder eine Verallgemeinerung von Mostows Starrheitssatz, derzufolge nichtpositiv gekrümmte Mannigfaltigkeiten homotopie-äquivalent zu einem irreduziblen lokal-symmetrischen Raum höheren Rangs isometrisch zu diesem sein müssen. Letzteres wurde dann verbessert durch den von Ballmann und wenig später Burns-Spatzier bewiesenen Rangstarrheitssatz, demzufolge nichtpositiv gekrümmte Mannigfaltigkeiten höheren Rangs sehr speziell sein müssen: die universelle Überlagerung ist entweder ein Produkt oder ein symmetrischer Raum. In Dimensionen ungleich 3 konnte Gromov für Mannigfaltigkeiten mit oberer und unterer negativer Krümmungsschranke eine Verbesserung von Cheegers Endlichkeitssatzes zeigen, nämlich dass es nur endlich viele Mannigfaltigkeiten beschränkten Volumens (ohne Annahme für den Durchmesser) gibt. In Dimension 3 stimmt das nicht, denn Thurston hatte bewiesen, dass man durch Chirurgie an einem hyperbolischen Knoten unendlich viele hyperbolische Mannigfaltigkeiten bekommt, deren Volumen kleiner als das Volumen des Knotenkomplements ist.

In seinem Vortrag auf dem ICM in Helsinki entwarf Gromov ein ganzes Programm synthetischer Geometrie, vor allem mit dem Ziel Cheegers Endlichkeitssatz (für Mannigfaltigkeiten mit Schranken für Krümmung, Durchmesser und Volumen) besser zu verstehen. Sein Ansatz war völlig elementar. Er griff die alte Idee Felix Hausdorffs auf, der einen Abstand zwischen Teilmengen eines festen topologischen Raumes definiert hatte. Gromov definierte einen Abstand zwischen beliebigen topologischen Räumen als Infimum dieses Abstandes über alle isometrischen Einbettungen in irgendwelche topologischen Räume. Cheegers Endlichkeitssatz verallgemeinerte sich dann zu einem Präkompaktheitssatz im Raum aller metrischen Räume. Gromov hielt die Argumente für ziemlich offensichtlich, aber die Leute wollten dann doch Beweise sehen. Mit Lafontaine und Pansu schrieb er deshalb das Buch “Metric Structures for Riemannian and Non-Riemannian Spaces”. Das spektakulärste Resultat war ein Kompaktheitssatz nur mit den Voraussetzungen Ric ≥ k und diam ≤ D. Gromov schrieb eine Reihe weiterer Arbeiten zur synthetischen Geometrie, zum Beispiel über fast-flache Mannigfaltigkeiten, von denen er bewies, dass sie von einer Nil-Mannigfaltigkeit endlich überlagert werden, oder über eine isoperimetrische Ungleichung für Mannigfaltigkeiten mit Ric ≥ k, mit der er dann auch universelle Abschätzungen für das Spektrum der Mannigfaltigkeit bekam. Er führte zahlreiche neue Konzepte ein, die in späteren Würdigungen als “coarsening” oder “softening” der Geometrie charakterisiert wurden.

Bild: https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Shing-Tung_Yau_at_Harvard.jpg