In seinem Vortrag auf dem ICM in Helsinki entwarf Gromov ein ganzes Programm synthetischer Geometrie, vor allem mit dem Ziel Cheegers Endlichkeitssatz (für Mannigfaltigkeiten mit Schranken für Krümmung, Durchmesser und Volumen) besser zu verstehen. Sein Ansatz war völlig elementar. Er griff die alte Idee Felix Hausdorffs auf, der einen Abstand zwischen Teilmengen eines festen topologischen Raumes definiert hatte. Gromov definierte einen Abstand zwischen beliebigen topologischen Räumen als Infimum dieses Abstandes über alle isometrischen Einbettungen in irgendwelche topologischen Räume. Cheegers Endlichkeitssatz verallgemeinerte sich dann zu einem Präkompaktheitssatz im Raum aller metrischen Räume. Gromov hielt die Argumente für ziemlich offensichtlich, aber die Leute wollten dann doch Beweise sehen. Mit Lafontaine und Pansu schrieb er deshalb das Buch “Metric Structures for Riemannian and Non-Riemannian Spaces”. Das spektakulärste Resultat war ein Kompaktheitssatz nur mit den Voraussetzungen Ric ≥ k und diam ≤ D. Gromov schrieb eine Reihe weiterer Arbeiten zur synthetischen Geometrie, zum Beispiel über fast-flache Mannigfaltigkeiten, von denen er bewies, dass sie von einer Nil-Mannigfaltigkeit endlich überlagert werden, oder über eine isoperimetrische Ungleichung für Mannigfaltigkeiten mit Ric ≥ k, mit der er dann auch universelle Abschätzungen für das Spektrum der Mannigfaltigkeit bekam. Er führte zahlreiche neue Konzepte ein, die in späteren Würdigungen als “coarsening” oder “softening” der Geometrie charakterisiert wurden.
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