Theorema Magnum MCMLXXXV: Lösung des Wortproblems für hyperbolische Gruppen

Dehns Beschäftigung mit Knoten und Gruppen endete mit dem Beginn des ersten Weltkriegs, als er gerade im Begriff stand, erste Schüler an diese Themen heranzuführen. Dehn wie auch seine beiden ersten Doktoranden wurden eingezogen und kriegsbedingt konnten auch andere nicht die Möglichkeiten aufgreifen, die seine Arbeiten eröffneten.

In den 30er Jahren begann die Entwicklung der Theoretischen Informatik und damit kam die Frage auf, ob es algorithmisch unlösbare Probleme gibt. Dehns Wortproblem war dafür ein naheliegender Kandidat und tatsächlich gelang es P. S. Novikov 1955, die Unlösbarkeit des Wortproblems für gewisse endlich präsentierte Gruppen zu beweisen. Andererseits gelang es durch Verallgemeinerung von Dehns Methoden zur sogenannten „small cancellation theory“, für weitere Klassen von Gruppen das Wortproblem algorithmisch zu lösen.

Gromov hatte in den 70er und 80er Jahren die metrische (“synthetische”) Differentialgeometrie umgekrempelt. Seitdem Dehn vor siebzig Jahren das Wortproblem für Fundamentalgruppen hyperbolischer Flächen gelöst hatte, wußte man vom Nutzen negativer Krümmung in der Gruppentheorie wie auch vom Nutzen der Wirkungen von Gruppen auf “schönen Räumen” (und entsprechend der Realisierung von Gruppen als Fundamentalgruppen) für das Studium der Gruppen. Ein inzwischen klassisches Beispiel war der Beweis, dass Untergruppen freier Gruppen frei sind (Satz von Nielsen-Schreier). Das ist schwer algebraisch zu beweisen. Es folgt aber sofort, wenn man weiß, dass freie Gruppen dadurch charakterisiert sind, dass sie Fundamentalgruppen 1-dimensionaler CW-Komplexe sind. Eine Untergruppe entspricht dann einer Überlagerung, die natürlich auch wieder ein 1-dimensionaler CW-Komplex ist.

Dehns Algorithmus zur Lösung des Wortproblems beruhte darauf, dass Flächengruppen eine Präsentierung mit einer einzigen Relation R der Länge 4g haben, die eine gewisse Bedingung erfüllt: jedes Teilwort der Relation hat eine Länge kleiner als 4g/7. Deshalb kann man Worte effektiv reduzieren bis sie einem minimalen Repräsentanten entsprechen. Im Laufe der 60er Jahre war eine allgemeinere Theorie entwickelt worden von Gruppen, die (im Allgemeinen mit mehreren Relationen) eine analoge Bedingung erfüllen (sogenannte „small cancellation groups“) und für die man also mit Dehns Algorithmus das Wortproblem lösen konnte. Trotzdem waren die Vertreter der kombinatorischen Gruppentheorie der Meinung, dass man nicht richtig verstand, was diese Gruppen sind.

Gromov erkannte, dass auch diese Theorie in gewisser Weise geometrisch als Manifestation negativer Krümmung interpretiert werden kann. Daraus entwickelte sich die Idee, eine Theorie negativ gekrümmter Gruppen zu entwickeln. Dabei sollte eine Gruppe negativ gekrümmt sein, wenn sie eigentlich diskontinuierlich und kokompakt auf einem negativ gekrümmten Raum wirkt.

Typisch für Gromov war ein Aufweichen der Geometrie. Er ersetzte Gleichungen durch Ungleichungen oder asymptotische Gleichungen, Mannigfaltigkeiten durch metrische Räume. Im Kontext der Gruppentheorie erkannte er, dass die Geometrie einer Gruppe nur vom Quasi-Isometrie-Typ des Raumes abhängt, auf dem sie eigentlich diskontinuierlich und kokompakt wirkt. Man kann insbesondere zu einem Erzeugendensystem eine Metrik auf der Gruppe definieren, indem man den Cayley-Graphen zu diesem Erzeugendensystem betrachtet. Die Metriken zu verschiedenen endlichen Erzeugendensystemen sind quasi-isometrisch und ein recht elementarer Satz von Milnor und Schwartz besagt, dass die Gruppe (mit dieser bis auf Quasi-Isometrie eindeutig bestimmten Metrik) auch quasi-isometrisch ist zu jedem Raum, auf dem sie eigentlich diskontinuierlich und kokompakt wirkt. Beispielsweise ist die universelle Überlagerung einer kompakten Mannigfaltigkeit (mit einer hochgehobenen Metrik) quasi-isometrisch zur Fundamentalgruppe. Man kann sich nun fragen, ob die geometrischen Eigenschaften sich in algebraischen Eigenschaften wiederspiegeln. Ein bemerkenswerter von Gromov bewiesener Satz war, dass Gruppen von polynomiellem Wachstum fast-nilpotent sind (eine nilpotente Untergruppe von endlichem Index haben). Letzteres ist, anders als Nilpotenz, keine algebraische Eigenschaft und es gibt natürlich keinen algebraischen Beweis. Stattdessen benutzte Gromovs Beweis einen von ihm eingeführten (heute als Gromov-Hausdorff-Konvergenz bezeichneten) Konvergenzbegriff metrischer Räume: nach Reskalierung mit einem gegen Null konvergierenden Faktor konvergieren die reskalierten Metriken gegen eine nilpotente Lie-Gruppe. (Das war wohl die erste wirkliche Anwendung von Hilberts fünftem Problem demzufolge eine topologische Gruppe, die eine Mannigfaltigkeit ist, eine Lie-Gruppe sein muß.)