Die Idee, dass qualitative Eigenschaften eines Raumes nur von seinem Quasi-Isometrietyp abhängen, stieß dann auch in der Analysis auf Interesse, beispielsweise bei der qualitativen Untersuchung des Wärmeleitungsflusses oder von mit diesem zusammenhängenden stochastischen Prozessen wie der Brownschen Bewegung. Mit der durch den Satz von Milnor-Schwartz gegebenen Quasi-Isometrie eines Raumes zu jeder auf ihm (kokompakt und eigentlich diskontinuierlich) wirkenden Gruppe bekam man so Bezüge zur Gruppentheorie. Beispielsweise fand man Zusammenhänge zwischen der Fundamentalgruppe einer kompakten Mannigfaltigkeit und der Existenz von harmonischen Funktionen auf seiner universellen Überlagerung. Schon 1981 hatte Brooks bewiesen, dass die Fundamentalgruppe genau dann mittelbar ist, wenn 0 zum Spektrum des Laplace-Operators Δ auf der universellen Überlagerung gehört. Sullivan und Lyons bewiesen 1984, dass es im Fall nicht-mittelbarer Fundamentalgruppe nichtkonstante, beschränkte, harmonische Funktionen auf der universellen Überlagerung gibt, bei polynomiellem Wachstum der Fundamentalgruppe aber nicht. Das wiederum konnten sie mit Transienz oder Rekurrenz der Brownschen Bewegung in Zusammenhang bringen, die dann deshalb nur vom Quasi-Isometrie-Typ abhängt. Kaimanowitsch verbesserte das dann noch dahingehend, dass man auch bei subexponentiellem Wachstum keine nichtkonstanten, beschränkten, harmonischen Funktionen hat.
Nun sind metrische Räume in der Regel keine Mannigfaltigkeiten, insbesondere ist das der Fall für den Cayley-Graphen. Man hat also zunächst keinen Krümmungsbegriff. In der Leningrader Schule waren synthetische Ansätze zur Differentialgeometrie populär gewesen. A.D.Alexandrow hatte schon in den 40er Jahren einen Vergleichssatz beweisen, demzufolge Flächen mit einer oberen Krümmungsschranke durch Dreiecksvergleich charakterisiert werden. Toponogow verallgemeinerte das 1958 für beliebige Dimensionen. Insbesondere hat man damit eine synthetische Definition von oberen Krümmungsschranken, die sich auf beliebige metrische Räume ausdehnen läßt. Gromov (folgend Rips) definierte Hyperbolizität durch eine verwandte, aber etwas andere Eigenschaft von Dreiecken, die in Mannigfaltigkeiten negativer Krümmung erfüllt ist und mit der sich Hyperbolizität beliebiger metrische Räume definieren läßt: es soll ein δ>0 geben, so dass für jedes Dreieck jede Seite in der δ-Umgebung der Vereinigung der anderen beiden Seiten liegt.
Dieser Begriff negativer Krümmung hängt nur vom Quasi-Isometrie-Typ ab und ist damit – wenn man sie auf den Cayley-Graphen anwendet – wohldefiniert für Gruppen. Gruppen, die in diesem Sinne negativ gekrümmt sind, nennt man hyperbolische Gruppen. Gromov behauptete (zunächst ohne Beweis), dass zufällige Gruppen mit Wahrscheinlichkeit 1 hyperbolisch sind.
Gromov vertrat die Ansicht, dass ein für alle Gruppen geltendes Theorem entweder trivial oder unwichtig sein müsse. Deshalb solle man spezielle Klassen von Gruppen betrachten: abelsche, nilpotente, polyzyklische, auflösbare, mittelbare Gruppen – das sind natürlich alles recht eingeschränkte Klassen und ihre Vertreter sind – gerade auch in der Geometrie – eher einfach zu verstehen. Die hyperbolischen Gruppen bilden dagegen eine sehr große Klasse von schwierigen Gruppen, für die sich zahlreiche allgemeine Sätze beweisen lassen. Insbesondere sind sie genau diejenigen Gruppen, für die sich mit Dehns Algorithmus das Wortproblem lösen läßt.
Gromov veröffentlichte seine Ideen zu hyperbolischen Gruppen auf 188 Seiten in den Proceedings einer Konferenz, die 1985 am MSRI in Berkeley stattgefunden hatte. Er konzentrierte sich dabei auf das Wesentliche und legte wenig Wert auf die Einzelheiten. Französische und schweizer Mathematiker veranstalteten Seminare, aus denen weitere Bücher mit im Detail ausgearbeiteten Beweisen entstanden.
In der Knotentheorie hatte Wolfgang Haken 1961 einen Algorithmus entwickelt, mit dem für Haken-Mannigfaltigkeiten (insbesondere Knotenkomplemente) entschieden werden konnte, ob sie homöomorph sind. Nachdem Gordon und Luecke 1989 bewiesen, dass die Homöomorphie von Knotenkomplementen äquivalent zur Isotopie von Knoten ist, hatte man damit einen Algorithmus zur Unterscheidung von Knoten. Hakens Algorithmus ist allerdings unpraktikabel, weil er zu lange Laufzeiten hat.
Mit Thurstons (zunächst für Haken-Mannigfaltigkeiten bewiesener) Geometrisierung von 3-Mannigfaltigkeiten erhielt man, dass ein Knotenkomplement entweder entlang inkompressibler Tori zerlegt werden kann (wenn der Knoten ein Satellitenknoten ist) oder eine Seifert-Faserung ist (wenn der Knoten ein Torusknoten ist) oder in allen anderen Fällen eine hyperbolische Mannigfaltigkeit endlichen Volumens ist. Die Knotengruppe ist dann relativ hyperbolisch (allerdings nicht hyperbolisch wegen der vom Rand-Torus kommenden Untergruppe Z+Z). Jeff Weeks Computerprogramm SnapPea (inzwischen von anderen Autoren weiterentwickelt zu SnapPy) ermöglicht eine praktische algorithmische Behandlung von Knotenkomplementen mittels hyperbolischer Geometrie, beispielsweise berechnet es Symmetriegruppen oder Invarianten wie das hyperbolische Volumen und die Chern-Simons-Invariante.
Kommentare (1)