Textaufgaben im Abitur sollen ohne gekünstelten Kontext verständlich formuliert werden.

Aus der Gemeinsamen Presseinformation der Deutschen Mathematiker-Vereinigung (DMV), der Gesellschaft für Didaktik der Mathematik (GDM) und des Verbands zur Förderung des MINT-Unterrichts (MNU) “Zur aktuellen Diskussion über die Qualität des Mathematikunterrichts” (20.\ 4.\ 2017)

Eine Aufgabe zum Additionstheorem

Diese Aufgabe stammt aus einer Abschlußprüfung für zehnte Klassen (2016).

Fairerweise muss man ergänzen, dass die Aufgabe aus drei Teilaufgaben bestand und man für die beiden anderen schon noch mehr als nur die Regeln der Addition brauchte.

Eine (ökonomische?) Nutzenfunktion

Die Weglänge zur Spreebrücke mag eher Grundschulniveau gewesen sein, immerhin war sie aber “ohne gekünstelten Kontext formuliert”. Wirklich seltsame Praxisbezüge findet man dagegen manchmal in Lehrbüchern der Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler. Die folgende Aufgabe stammt aus einem 2008 in 5.\ Auflage erschienenen Lehrbuch, sie wird dort im Kapitel “Mehrdimensionale Optimierung mit Nebenbedingungen” gestellt und mit einer ausführliche Musterlösung versehen.

Ein Student habe (am Abend nach einer Klausur) die folgende Nutzenfunktion für den Konsum von Zigaretten x, Bier y und Caipirinha z:
U(x,y,z)=6z^2y+2x^3.
Er nimmt sich vor, nicht mehr als 300 Euro auszugeben, um die (hoffentlich) bestandene Klausur zu feiern.

a) Erklären Sie zunächst verbal, warum der Student entweder auf Alkohol ganz verzichten oder sowohl Bier wie auch Cocktails trinken wird!

b) Warum wird er sein Budget bei dieser Nutzenfunktion vollständig ausschöpfen?

c) Bestimmen Sie das Nutzenoptimum mit Hilfe der Methode der Lagrangemultiplikatoren unter der Budgetrestriktion, wenn ein Bier 6 Euro, Zigaretten auch 6 Euro und ein Caipirinha 12 Euro kosten.

d) Kann er sein Nutzenoptimum tatsächlich erreichen?

Aufgrund welchen Axioms berechnet sich der Nutzen von Zigaretten, Bier und Caipirinha als U(x,y,z)=6z^2y+2x^3? Und ist das die Nutzenfunktion des Studenten oder die des Wirts? (Und wie realistisch ist ein studentisches Budget von 300 Euro?)

Die Aufgabe wird in der Musterlösung mit dem Lagrange-Ansatz gelöst, was – nebenbei bemerkt – in der Praxis wohl niemand tun würde, da man das Maximum dieser Optimierungsaufgabe schon durch kurzes Anschauen der Nutzenfunktion findet. Das Ergebnis, also dass der größtmögliche Nutzen bei 50 Schachteln Zigaretten und null Alkohol eintritt, deuten die Autoren der Musterlösung dann aber nicht etwa als Indiz für den zweifelhaften Nutzen ihrer Nutzenfunktion.

Das Problem, das zu diesem Ergebnis führt, ist der zunehmende Grenznutzen der einzelnen Güter.

lernen die Studenten stattdessen.

Optimale Lösung: 50 Schachteln Zigaretten zu 6 Euro

Wo wohnt die Großmutter?

Nicht zuviel, sondern zuwenig Text hatte diese Aufgabe, die mir Dr. Carsten Franke (Bempflingen) aus der Mathematik-Klausur seines damals neunjährigen Sohnes (mit als „richtig“ bewerteter Lösung) zugeschickt hat.

Eine Möglichkeit wäre, dass die zweite Frau des Großvaters eine Schwester hat, welche mit dem Sohn des Großvaters aus dessen erster Ehe verheiratet ist, womit für deren Sohn dann die Tante auch die Oma wäre. Naheliegender für eine Aufgabe in der dritten Klasse wäre die Deutung, dass Lars morgens von der Oma gekommen sein muss, die wegen der angegebenen Entfernungen wohl weder bei der Tante noch bei den Eltern wohnen soll. (Wobei die zweite Möglichkeit aus der Aufgabenstellung nicht ausgeschlossen werden kann, denn schließlich gibt es dank der Ungleichung 450+680\ge 870 ja Dreiecke mit den entsprechenden Seitenlängen.) Allerdings wäre die richtige Lösung dann nicht 870, sondern eine nicht näher bestimmbare Zahl \le 2000.

Kategorienmodelle

2019 gab es Diskussionen und sogar Petitionen zu Textaufgaben in den Abiturklausuren verschiedener Bundesländer, die zwar mathematisch machbar gewesen seien, die Schüler aber durch zuviel überflüssigen Text verwirrt hätten.
Erfolglos blieb in Bayern eine Petition mit 73000 Unterschriften (von 37000 bayrischen Abiturienten); Vorwurf der Petenten war, die Aufgaben wären zu textlastig gewesen, Lesen und Verstehen hätten deshalb zuviel Zeit verbraucht. Es ging um eine Losverkäuferin.

Bei einer Losbude wird damit geworben, dass jedes Los gewinnt. Die Lose und die zugehörigen Sachpreise können drei Kategorien zugeordnet werden, die mit “Donau”, “Main” und “Lech” bezeichnet werden. Im Lostopf befinden sich viermal so viele Lose der Kategorie “Main” wie Lose der Kategorie “Donau”. Ein Los kostet 1 Euro. Die Inhaberin der Losbude bezahlt im Einkauf für einen Sachpreis in der Kategorie “Donau” 8 Euro, in der Kategorie “Main” 2 Euro und in der Kategorie “Lech” 20 Cent. Ermitteln Sie, wie groß der Anteil der Lose Kategorie “Donau” sein muss, wenn die Inhaberin im Mittel einen Gewinn von 35 Cent pro Los erzielen will.

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Kommentare (10)

  1. #1 Quanteder
    1. März 2021

    „Was stört dich an diesen Textaufgaben?“
    Sie sind doch systemrelevant! So wie die Werbung, welche mir mein ScienceBlog-Algorithmus aufploppen lässt. 11 Werbeflächen auf deinem Mathlog.
    Besonders „bildungspolitisch“ wertvoll: Entdecke die ALDI POWER – Denn wir sind: Einfach ALDI. Powered by People => 2 junge Frauen und ein junger Mann (… zum Teil armverschränkt) positioniert vor einem übergrossen Aldi-Nord-A . . . .. (… in meiner Jugend hiess das „Arbeite mit, plane mit, regiere mit.“)
    Früher wie heute sind beide Aussagen systemrelevant.

    Jede Störung ruft ein System der Entstörung auf die Tagesordnung und wirkt immer in Richtung: „… ein dynamisches System heisst strukturell stabil, wenn kleine Störungen stets zum ursprünglichen System konjugiert sind. (D.h. es gibt einen Homöomorphismus des Phasenraums, der das gestörte System in das ursprüngliche überführt.)„ Zitat aus deinem vorherigen Blogbeitrag.
    Wenn Zahlen und Textaufgaben (… also Mathematik) unser soziales Leben bestimmen, dann hast du recht. Aber um etwas zu entstören werden Störungen benötigt! The Circle of Life – heisst es in einem Lied von Elton John – würden meine Kinder sagen. Ich habe festgestellt: Zeit, welche wir periodisch leben, entspringt im Universum dem System Störung=>0=Entstörung . . . .. (… !!! Störung: die 0 steht für [kleiner als], welches gerade nicht angezeigt werden kann, obwohl es auf der Tastatur vorhanden ist)

    Ein Werbebanner von ScienceBlog – 10 Jahre… verspricht mir „spannende, faszinierende und visionäre Beiträge!“ 🙂

  2. #2 Herr Fessa
    1. März 2021

    Der Jammer der Angewandten Mathematik in der Schule ist ja, dass kein Schüler eine Ahnung von den Anwendungen hat. Das geht gerade noch in Sek I gut.

    Speziell in der Wirtschaftsmathematik frage ich mich ja immer, wie Firmen ihre Kosten- und Gewinnfunktionen tatsächlich aufstellen – falls sie es denn tun. Und wenn ich das Maximum der Gewinnfunktion berechnet habe, was mache ich mit der Antwort? Sperre ich dann die Firma zu?

  3. #3 schorsch
    1. März 2021

    Im Lösungsbuch des Praxis-Verlags habe ich die folgende Lösung gefunden zur Frage, wie viele Meter Lars von der Oma entfernt wohnt, Ubung 16, 4: “Als allein lebender junger Mann schlief Lars lange und stand nie vor 10 Uhr auf”

    Da hätte man aber auch selbst drauf kommen können!

  4. #4 hwied
    2. März 2021

    Ganz so schlimm ist es nicht wie beschrieben. In der Regel dürfen von 6 Aufgaben zwei gestrichen werden.

    Und wenn der Lehrer umsichtig war , hat er zu jedem Aufgabentyp eine Beispielaufgabe vorher durchgesprochen.

    Ob man dieses Wissen dann tatsächlich im späteren Berufsleben braucht, eher nicht. Es kommt ja auch darauf an, eine Aufgabe analysieren zu können. Und Teillösungen werden auch gepunktet.

  5. #5 hwied
    3. März 2021

    Wenn es um das Textverständnis geht, dann wäre es nützlich zu wissen, um welchen Schultyp es sich handelt. Es ist ein Unterschied zwischen einem Wirtschaftsgymnasium und einem allgemeinbildenden Gymnasium. Beim Wirtschaftsgymnasium sind die Begriffe Selbstkostenpreis , Gewinn, Verkaufspreis bekannt. Die genannte Aufgabe mit den Lospreisen ist dann durch ein reines Probieren zu lösen. Der Anteil von Donau kann dann 3 Lose auf 100 Lose insgesamt betragen.
    Zu der Aufgabe mit der Großmutter wäre der Zusatz, ” mache eine Zeichnung” nützlich.
    Zu der Aufgabe mit den Zigaretten wäre es auch nützlich zu wissen, ob das Foto mit den Zigaretten inklusive Warnaufdruck den Prüfungsaufgaben beigefügt war.

  6. #6 Thilo
    3. März 2021

    Nein, die 50 Schachteln Zigaretten sind ja die Lösung.

  7. #7 Dr. Webbaer
    3. März 2021

    Da fragt man sich, warum Mathematik und Naturwissenschaften in seinen Reden so überhaupt nicht vorkommen – warum er zum Beispiel nicht beklagt, dass deutsche Schüler nur noch arabische Zahlen lernen statt der traditionsreichen römischen oder der unserem Wesen viel besser entsprechenden germanischen Zahlzeichen. [Artikeltext]

    Offensichtlich hat Curio, Dr. Webbaer hat von ihm noch nie gehört, recht, die arabischen Zahlen sind zudem indische, also nicht muslimisch entwickelte Zahlen und das Dezimalsystem gehorcht offensichtlich der Zehnfingerigkeit des hier gemeinten Primaten, vgl. auch mit diesem System :

    -> https://de.wikipedia.org/wiki/Vigesimalsystem

    Die Zahl 40 gilt genau aus diesem Grund als zentral und ist auch biblisch verwendet.

    Von “Man-Sätzen” rät Dr. Webbaer an Abstand zu halten, wenn nicht alle gemeint sind.
    Niemals gilt es sich hinter einem Man sozusagen zu verschanzen, danke.

    Mathematik folgt sozusagen ergonomischer Maßgabe.

    (Es könnte auch andere Mathematik geben. >:->
    Nein, Dr. W folgt hier ebenfalls, will nicht generalwissenschaftlich skeptisch aufscheinen, regt nur zu Überlegung an, im konstruktivistischen Sinne.)

    MFG
    Wb

  8. #8 hwied
    3. März 2021

    Dr. Webbaer,
    Wir verwenden die arabischen Zahlen nur noch als Zahlzeichen. Gerechnet wird im Taschenrechner mit 0 und 1. Und auch das sind nur Zahlzeichen. Bei einer 0 hat der Computer/Taschenrechner eine Speicherstelle mit weniger als 0,8 Volt. Bei einer 1 hat die Speicherstelle 4,8 bis 5,2 Volt.. Binärrechnen ist gerade “hipp” und das Tolle dabei, (fast) niemand weiß das.
    In einem Roman gibt es sogar einen Krieg um den letzten Menschen, der noch weiß wie man rechnet.
    Nur mal so humoristisch angemerkt.

  9. #9 Thilo
    3. März 2021

    Ich weiß schon, dass die arabischen Ziffern eigentlich indische sind. Aber jedenfalls sind sie nicht deutsch, genausowenig übrigens wie die römischen.

  10. #10 hwied
    5. März 2021

    Zur Aufgabe mit den Losen,
    hat sich noch nicht das Finanzamt beschwert ? Auf Lose wird eine Lotteriesteuer von 20 % des Nennwertes erhoben. Bei ausländischen Losbudenbesitzern sind es sogar 25 %.