Riemanns Abbildungssatz und Geometrisierung.

Geometrisierung (TvF 46) einer Fläche heißt: eine Metrik konstanter Krümmung zu finden oder, was das selbe ist (vgl. die Beispiele letzte Woche): die ‘universelle Überlagerung‘ der Fläche ist entweder die Sphäre, die euklidische Ebene oder die hyperbolische Ebene.

Während die Frage nach der Geometrisierung 3-dimensionaler Räume erst seit kurzem durch Perelman beantwortet wurde, ist die Geometrisierung von Flächen schon von Bernhard Riemann im 19. Jahrhundert bewiesen worden (jedenfalls, wenn man Riemanns physikalisch-intuitive Argumente als Beweis akzeptiert, dazu nächste Woche).

Quelle: Mathworld

Riemann interessierte sich aus der Funktionentheorie heraus für Riemannsche Flächen, das sind Flächen, die (lokal) durch einen komplexen Parameter beschrieben werden. Zum Beispiel kann man die Brezel als Menge aller komplexen Zahlenpaare (z,w) mit w²=(z-2)(z-1)z(z+1)(z+2)=0 beschreiben, oder allgemein die Fläche mit g Henkeln als Menge alle Paare (z,w) mit w²=(z-g)…(z-1)z(z+1)…(z+g).

Die universelle Überlagerung einer solchen Riemannschen Fläche (TvF 65) ist eine einfach zusammenhängende Riemannsche Fläche. Und auf diese kann man den Riemannschen Abbildungssatz anwenden:

Der Riemannsche Abbildungssatz (den Riemann, wie gesagt, nur physikalisch-intuitiv bewies) besagt, daß jede einfach zusammenhängende Riemannsche Fläche entweder die “Riemannsche Zahlenkugel P¹C” (d.h. die Sphäre), oder die Ebene C oder die Kreisscheibe ist.

Warum ist Riemanns Abbildungssatz gleichbedeutend mit Geometrisierung?

Rein zufällig sind die

– Symmetrien in Riemanns komplexer Geometrie (die sogenannten “biholomorphen” oder “konformen” Abbildungen) der Kreisscheibe

gerade diejenigen Abbildungen, die auch

– Symmetrien der hyperbolischen Metrik der Kreisscheibe (vgl. TvF 55)

sind.

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Quelle: Mathworld

Wenn also z.B. die universelle Überlagerung der Brezel die Kreisscheibe ist, die Brezel sich also als “Quotient” der Kreisscheibe mit “biholomorphen” Symmetrien ergibt, dann ergibt sie sich automatisch auch als Quotient der Kreisscheibe mit Symmetrien der hyperbolischen Metrik. Wie in TvF 64 gesehen, ‘erbt’ sie dadurch die hyperbolische Metrik.

Und Riemanns Abbildungssatz besagt nun, daß dies nicht nur für Sphäre (sphärisch), Torus (euklidisch) und Brezel (hyperbolisch), sondern für jede Fläche gilt: jede Fläche mit mindestens 2 Henkeln hat als universelle Überlagerung die Kreisscheibe und ‘erbt’ von dieser die hyperbolische Metrik.

Für Riemanns Abbildungssatz gibt es heute viele Beweise, analytische (die auf Riemanns ursprünglicher physikalischer Intuition aufbauen) und inzwischen auch geometrische (m.H. von Kugelpackungen). Dazu nächste Woche.

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