Am Sonntag (7.2.) gab es in der FASZ aus Anlaß des “e-Tages” einen Artikel “Die steile Zahl” über die Eulersche Konstante e.

Neben Bekanntem über Wachstum und Verfall, die logarithmische Spirale, die Kettenlinie, die Euler-Identität oder die Kettenbruchentwicklung habe ich aus dem Artikel auch noch etwas neues gelernt:

die Tetration, d.h. die vierte Grundrechenart nach Addition, Multiplikation und Potenzieren, definiert durch
f(x)=xxxxx…
ergibt genau dann einen endlichen Wert, wenn x zwischen e-e und e1/e liegt. Beweis?

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Tetration

Kommentare (9)

  1. #1 rolak
    12. Februar 2010

    Ich habe einen wahrhaft wunderbaren Beweis gefunden, allein in diesem Kasten ist nicht genug Platz… daher einen link :p

  2. #2 schlappohr
    12. Februar 2010

    Die Frage geistert mir schon länger im Kopf herum:

    y^x ist einfach zu berechnen, wenn x natürlich ist. Für negative ganzahlige x ist y^x = 1/(y^|x|). Wenn x ein Bruch ist, erhält man eine Wurzel. Aber was ist mit nichtrationalen x, z.B. x=e? Gibts da ein “Denkmodell”?

  3. #3 Stan
    12. Februar 2010

    Sowas wie die Tetration gibt es wirklich? Ich hatte mir auch mal diesen Gedanken gesponnen x+x = 2x, x*x=x^2, x^x=? – aber dass das tatsächlich nen Namen hat und so – zu lustig ^^

  4. #4 Thilo Kuessner
    12. Februar 2010

    @ schlappohr: nimm eine Folge rationaler Zahlen a_n die gegen e konvergiert, x^e ist dann der Grenzwert von x^(a_n)

  5. #5 Julian
    13. Februar 2010

    @schlappohr: Was ist denn das Denkmodell für die Wurzel? Kannst du dir die Wurzel besser vorstellen als eine Interpolation zwischen (0|1), (1,y^1), (2,y^2), …?

  6. #6 schlappohr
    15. Februar 2010

    @Julian:
    “Kannst du dir die Wurzel besser vorstellen als eine Interpolation […]”

    Ja. Eine n-te Wurzel aus x bedeutet: sqrt(n,x)=k g.d.w k^n=x.
    Was x^(1/n) bedeutet, ist somit unmittelbar einleuchtend, auch wenn man zum Berechnen der Wurzel letztlich einen Grenzwertprozess braucht.

    Mein Frage war, ob es für x^e auch so eine einfache Interpretation gibt, was anscheinenend nicht der Fall ist.

  7. #7 Thilo Kuessner
    6. April 2010
  8. #8 CelinaELLISON
    17. August 2011

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  9. #9 Thilo
    23. Mai 2019

    Herr Götz und Herr Elstrodt haben mich darauf hingewiesen, dass es zur iterierten Exponentialfunktion die folgenden Arbeiten gibt:

    S. Goetz und Franz Hofbauer: “Die Exponentialfunktion als dynamisches System”; erschienen in: IMN Nr. 223 (August 2013), 67. Jahrgang , S. 21–35. http://www.oemg.ac.at/IMN/imn223.pdf

    J. Elstrodt: Iterierte Potenzen. Math. Semesterber. 41 (1994), 167–178.

    S. J. Anderson: Iterated Exponentials. Amer. Math. Monthly 111 (2004), 668–679

    R.A. Knoebel: Exponentials reiterated. Ibid. 88 (1981), 235–252.