Barauflösungen, straffe Simplizes und Gruppenhomologie.

Wie man die Homologie asphärischer Räume nur aus der Fundamentalgruppe berechnet.

Letzte Woche hatten wir erklärt, daß der Torus und die hyperbolischen Flächen F “asphärisch” sind, d.h. daß π_nF=0 für n≥2: alle Abbildungen von Sphären in die Fläche F lassen sich auf einen Punkt zusammenziehen.

In TvF 170 hatten wir mal Homologiegruppen definiert (und in den Wochen danach einige Anwendungen besprochen), im Wesentlichen war die n-te Homologiegruppe H_nX eines Raumes X definiert als die Gruppe der n-dimensionalen Zykel (d.h. der formalen Summen von Simplizes, so daß Ränder sich zu 0 aufaddieren) modulo der n-dimensionalen Ränder. Das Bild unten zeigt einen 2-dimensionalen Zykel auf der Sphäre S², dieser Zykel ist kein Rand. (Natürlich wäre er ein Rand, wenn man statt X=S² die 3-dimensionale Kugel X=B³ betrachten würde.)

cis.jhu.edu/education/introPatternTheory/additional/curvature/curvature25.html

H₂S² ist isomorph zu den ganzen Zahlen Z und der oben abgebildete Zykel repräsentiert den Erzeuger 1. Auch für die anderen (geschlossenen, orientierbaren, zusammenhängenden) Flächen ist H₂F=Z, ebenso H₀F=Z, während man H₁F direkt aus der Fundamentalgruppe berechnen kann: H₁F ist die Abelianisierung der Fundamentalgruppe. (Für die Fläche mit g Henkeln ist also H₁F=Z^2g.)

Tatsächlich ist es einer der wichtigsten Sätze der Algebraischen Topologie, daß man die Homologie asphärischer Räume direkt aus ihrer Fundamentalgrupe berechnen kann.
Im Prinzip folgt das aus einem allgemeineren Satz von Whitehead, im Falle von Räumen nichtpositiver Krümmung (z.B. also dem Torus oder hyperbolischer Flächen) kann man es sich aber auch anschaulich und direkt überlegen und darum soll es im folgenden gehen.

Straffziehen

In TvF 80 hatten wir mal erwähnt, daß auf einer Fläche mit Krümmung ≤ 0 jede Kurve homotop zu genau einer Geodäten ist, d.h. jede Kurve läßt sich (bei festgehaltenen Endpunkten) in eine (und nur eine) Geodäte ‘verformen’.
(Das selbe gilt auch für Kurven in höherdimensionalen Räumen mit Schnittkrümmung ≤ 0.)

Wie sieht das für Dreiecke statt Kurven aus? Zunächst muß man sagen, was in diesem Fall das 2-dimensionale Analog von Geodäten sein soll. Im euklidischen Raum ist das natürlich ein ebenes Dreieck und im hyperbolischen Raum ist es ein hyperbolisches Dreieck, aber in Räumen mit nichtkonstanter Krümmung ist es nicht ganz klar, was ein geodätisches Dreieck sein soll.

https://www.learner.org/courses/mathilluminated/units/8/textbook/04.php
Tatsächlich hängt die Definition des Dreiecks mit Ecken A,B,C von der Reihenfolge der 3 Ecken A,B,C ab: man nimmt zunächst die Geodäte zwischen A und B, und anschließend die geodätische Verbindung von C zu jedem Punkt auf der Geodäte von A nach B. Das Ergebnis ist ein Dreieck, welches man als das straffe Dreieck mit Ecken A,B,C bezeichnet. (Und i.a. ist es anders als im euklidischen oder hyperbolischen Fall so, daß das konstruierte Dreieck von der Reihenfolge der Ecken abhängt, also ob man mit der Geodäte AB oder z.B der Geodäte AC begonnen hatte.)

Man kann das dann induktiv fortsetzen und straffe 3-Simplizes, 4-Simplizes etc. definieren. Nach Definition bilden die straffen Simplizes (engl.: straight simplices) einen Unterkomplex des Komplexes aller singulären Simplizes und man kann die Homologie dieses Unterkomplexes betrachten. Es stellt sich heraus, daß diese mit der in TvF 170 definierten singulären Homologie übereinstimmt. Warum?

Irgendein (zum Beispiel 3-dimensionaler) Simplex in einer Fläche kann etwa so aussehen

man kann ihn aber straffziehen, so daß man den straffen Simplex mit denselben Ecken bekommt:

(Die Bilder sind von Area 777.)

Wenn man jetzt irgendeinen Zykel hat, also eine Kombination von Simplizes, deren Ränder sich ‘aufheben’, dann kann man jeden der Simplizes straffziehen und bekommt (weil die Ränder simultan straffgezogen werden) wieder einen Zykel. Wenn der Zykel ein Rand einer Kette war, dann ist der straffgezogene Zykel der Rand der straffgezogenen Kette.
Außerdem kann man die Eckpunkte der Simplizes beliebig verschieben, man kann also o.B.d.A. annehmen, daß alle Simplizes ihre Ecken in einem festen Punkt x₀ haben (und anschließend straffziehen). Insbesondere sind also die Homologiegruppen des Komplexes aller singulären Simplizes und die Homologiegruppen des Komplexes der straffen Simplizes mit Ecken in x₀ zueinander isomorph.