Topologie von Flächen CCLVI

Charakteristische Klassen sollen messen wie getwistet (verdreht) ein Bündel ist.

Das Möbiusband zum Beispiel ist – als Bündel über dem Mittelkreis betrachtet – verdrehter als ein Kreisring:

weshalb seine charakteristischen Klassen komplizierter sein sollten. (Der Kreisring ist – als Bündel über dem Mittelkreis – sogar völlig unverdreht, weshalb seine charakteristischen Klassen trivial sein sollten.)

So die Idee hinter dem Begriff “Charakteristische Klassen”, die Frage ist natürlich, wie man das ‘umsetzt’. Naheliegend wäre wohl zunächst, nach irgendwelchen Invarianten (Zahlen) zu suchen, die bei stark getwisteten Bündeln größer sind als bei weniger getwisteten.

Letztlich hat es sich aber als praktischer erwiesen, mit Kohomologieklassen statt mit Zahlen zu arbeiten, insbesondere um die “Funktioralität” (d.h. die Abhängigkeit von stetigen Abbildungen) auszunutzen. Denselben Effekt hatten wir ja auch bei der Homologietheorie, wo man der “Funktioralität” wegen lieber mit den Homologiegruppen als mit den Betti- und Torsionszahlen arbeitet. (TvF 173, TvF 174)

Was sind Kohomologieklassen?

In TvF 170 hatten wir mal die Homologiegruppen einer Fläche (oder eines höherdimensionalen Raumes) X definiert. Dafür betrachtet man Ketten aus in den Raum abgebildeten Simplizes und ihre Ränder.

Ketten, die keinen Rand haben (geschlossen sind) nennt man Zykel. Die i-te Homologie (für i\in\mathbb N) war definiert als Faktorgruppe i-dimensionale Zykel modulo Ränder: H_i(X)=Z_i(X)/B_i(X).

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Die 1-Ketten in obigen Bildern oben sind Zykel, aber während der linke ein Rand eines 2-dimensionalen Zykels (und damit das Nullelement in H_2(\mathbb R^2)) ist, sind die Zykel rechts keine Ränder einer 2-Kette auf dem Torus. (“a” wäre aber Rand einer 2-Kette im Volltorus.)

Die Elemente der Kohomologie (mit Werten in einem Körper, typischerweise \mathbb R oder \mathbb Z/2\mathbb Z) definiert man dann dual dazu, als Homomorphismen, die jedem Zykel eine Zahl zuordnen, so dass Ränder auf Null abgebildet werden. (Das ist eine Umformulierung der offiziellen Definition, jedenfalls im Fall von Körper-Koeffizienten. Eigentlich definiert man Koketten auf der Gruppe aller Ketten, nicht nur auf Zykeln. Im Fall reeller (oder \mathbb Z/2\mathbb Z-) Werte macht das – anders als bei ganzzahligen Werten – keinen Unterschied, weil man jede auf Zykeln definierte Abbildung auf alle Ketten fortsetzen kann.)

Vor 3 Wochen hatten wir eine Invariante w1 definiert, die jeder geschlossenen Kurve (in einer Fläche F) den Wert 0 oder 1 zuordnet, je nachdem ob entlang dieser Kurve die Orientierung umgedreht wird oder nicht. Man kann sich überlegen, dass entlang der Ränder von 2-Simplizes die Orientierung immer erhalten bleiben muß; w1 ist also eine Abbildung, die 1-Zykeln einen Wert in \mathbb Z/2\mathbb Z zuordnet und dabei Ränder auf 0 abbildet – nach obiger Definition ist w1 also ein Element der 1.Kohomologiegruppe mit Werten in \mathbb Z/2\mathbb Z. (Letztere wird mit H^1(F;\mathbb Z/2\mathbb Z) bezeichnet.)

w1 ist das einfachste Beispiel einer charakteristischen Klasse, die sogenannte erste Stiefel-Whitney-Klasse. Nächste Woche zur Definition der anderen Stiefel-Whitney-Klassen.

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