Partielle Integration bei xkcd

xkcd beklagt sich gestern darüber, dass man in der Mathematik manchmal Ideen brauche, welche nicht einfach in feste Regeln zu fassen sind:
integration_by_parts
Als Hintergrundtext:

If you can manage to choose u and v such that u = v = x, then the answer is just (1/2)x^2, which is easy to remember. Oh, and add a ‘+C’ or you’ll get yelled at.

‘integration by parts’ (deutsch: ‘partielle Integration’) ist das Ausnutzen der Formel \int udv =uv - \int vdu. Man braucht natürlich die richtige Intuition (oder vielleicht eher Geduld), um geeignete u und v zu finden, mit denen sich die rechte Seite dann berechnen läßt. Mit u=v=x bekommt man \int xdx = x^2-\int xdx, also \int xdx =\frac{1}{2}x^2.

Das erinnert an die bekannte Geschichte von Lord Kelvin (aus S.P. Thompson, The Life of Lord Kelvin, Chelsea Publishing, 2000):

Once when lecturing in class, Lord Kelvin used the word mathematician and then interrupting himself asked his class: ‘Do you know what a mathematician is?’ Stepping to his blackboard he wrote upon it:
\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}dx=\sqrt{\pi}
Then putting his finger on what he had written, he turned to his class and said, ‘a mathematician is one to whom that is as obvious as that twice two makes four is to you.

Das funktioniert im Prinzip genauso wie die von xkcd vorgeschlagene Berechnung von \int xdx (nur dass statt des Doppelten das Quadrat integriert wird und man deswegen nicht einmal mehr partielle Integration braucht), nämlich:
(\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}dx)^2\\  =(\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}dx)(\int_{-\infty}^\infty e^{-y^2}dy)\\  = \int_{-\infty}^\infty\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2-y^2}dxdy\\  = \int_0^{2\pi}\int_0^\infty e^{-r^2} rdrd\theta\\  = 2\pi \int_0^\infty r e^{-r^2} dr\\  = 2\pi (\lim_{r\rightarrow\infty}\frac{-e^{-r^2}}{2}-(\frac{-e^0}{2}))\\  =\pi.

Kommentare

  1. #1 MartinB
    20. April 2013

    Fehlt in der 3. Zeile ein dx?

  2. #2 Thilo
    20. April 2013

    Jetzt nicht mehr.

  3. #3 rolak
    20. April 2013

    Welch wunderhübscher Kommentarwechsel für einen erheiterten Start ins Wochenende :-) Ein herzliches Danke schön! von der Eifelrunde.

  4. #4 michael
    21. April 2013

    Fehlt in der 3. Zeile ein ∫

  5. #5 BreitSide
    21. April 2013

    Achsooo. Da hätte ich auch drauf kommen können. Wenn ich so schlau wäre und so viel gelernt hätte…;-)))

  6. #6 Thilo
    21. April 2013

    @michael: ist jetzt ebenfalls ergänzt. Als sonst mehrdimensional arbeitender ist man es gewohnt, einfach nur ein Integralzeichen (mit Integrationsbereich) und dann die zu integrierende Differentialform zu schreiben, aber dann hätte ich hier natürlich unter das Integral R^2 als Integrationsbereich schreiben sollen.

  7. #7 Karsten
    21. April 2013

    Hab mich gestern schon gewundert warum du zwischen doppelten und einfachen Integralen hin und her springst….aber ich dachte, dass muss so.

    Was mich direkt zum Grund meines Beitrags führt:
    Es gibt im Versuch sich mathematische Kenntnisse anzueignen nichts hinderlicheres, als ungenau dargestellte und formulierte Beispielaufgaben. Zumindest lerne ich in einer sauber kommentierten Beispielaufgabe mehr als in fünf Vorlesungen meines verrückten Profs…bei dem es schon schwer ist das Thema zu identifizieren, weil er die Sätze und Defs ohne Kommentar an die Tafel knallt.

    Thilo, falls es so eine geheime und weltumspannende Untergrund-Mathematiker-Newsgroup gibt, sag den Leuten mal büdde, dass sie sich an die Regeln halten sollen, wenn sie jemand anderem etwas erklären ;)

  8. #8 A.P.
    24. April 2013

    Hallo! Vielleicht sollte man der Ordnung halber noch auf die Quelle verlinken, wenn man schon das Bild “klaut”, statt es zu embedden… ;)

    https://xkcd.com/1201/

    PS. An den Blogadmin: Ich hab in meinem Browser drei Haken für “Benachrichtige mich über nachfolgende Kommentare per E-Mail”. Das dürften zwei zu viel sein, oder?

  9. #9 Thilo
    24. April 2013

    Ehrlich gesagt ist mir schlicht nicht klar, wie das “embedden” funktioniert. Was muß ich in den HTML-Code schreiben, um das Bild direkt einzubetten?

  10. #10 Karsten
    24. April 2013

    Verlinke einfach das Originalbild mit
    Hinter den letzten Anführungszeichen kannste noch height=”" und width=”" einbauen. Die Werte für Pixel in die “” setzen und schon haste die benötigte Größe.
    Darüber hinaus kommt um die Bildquelle noch ein
    damit das Bild auch als Link direkt funktioniert ;)

  11. #11 Karsten
    24. April 2013

    Hmm…wie bei allen CMS wird wohl auch bei WordPress html im Kommentarfeld beschnitten…und es ist viel zu früh um sich daran vor dem abschicken des Kommentars zu erinnern *hüstel*

    http://de.selfhtml.org/html/grafiken/einbinden.htm

    selftHTML ist nebenbei bemerkt das Nachschlagewerk für alle schnellen Problemstellungen ;)

  12. #12 Thilo
    24. April 2013

    Danke.

  13. #13 A.P.
    24. April 2013

    Bei xkcd steht unter den Bildern immer eine “Image URL (for hotlinking/embedding)” – die einfach nehmen und bei sich in den Blogpost einfügen (in der HTML-Ansicht, wenn es eine gibt).

    Technisch passiert dann nichts anderes, als das dann das Bild vom xkcd-Server direkt eingebunden wird. Den Mouse-Over-Text der Bilder hat man da aber auch nicht bei, obwohl der oft genug erst für den eigentlich Witz sorgt. ( Auch wenn ich zugeben muss, dass ich den Mathestrip oben überhaupt nicht verstehe :-D )

    Komplett müsste das dann so aussehen:

    (spitze klammer auf)img alt=”Integration by Parts” title=”If you can manage to choose u and v such that u = v = x, then the answer is just (1/2)x^2, which is easy to remember. Oh, and add a ‘+C’ or you’ll get yelled at.” src=”http://imgs.xkcd.com/comics/integration_by_parts.png”/(spitze klammer zu)

    Vielleicht aber ohne HTML-Grundkurs zu kompliziert… :)

  14. #14 Uli
    10. Mai 2013

    Ich bin ja (mal ganz unbescheiden formuliert) “in Mathe” eigentlich schon immer ganz gut gewesen. Das hat mir in der Informatik auch immer sehr geholfen.

    Aber es gibt da in der Mathematik einige Bereiche, da schlacker ich nur noch mit den Ohren.

    Deine Reihe zur Flächentopologie gehört definitiv dazu!!

    Meine Hochachtung vor Leuten, die sowas locker begreifen.

  15. #15 toms shoes
    27. Juni 2013

    Hello to all, the YouTube video that Partielle Integration bei xkcd – Mathlog is posted at at this point has in fact nice quality along with nice audio feature