Grenzen des Wachstums

Die Frankfurter Allgemeine Sonntagszeitung hatte vor einigen Jahren einmal aus Anlaß des “e-Tages” (7.2.) eine ganze, eng beschriebene Doppelseite “Die steile Zahl” mit allen denkbaren Informationen und Anwendungen der Eulerschen Konstante e gewidmet. (Eine legale Kopie findet man auf
https://www.brd.nrw.de/lerntreffs/mathe/pages/magazin/mehr/diesteilezahl/fazdiesteilezahl.pdf.)

Neben Anwendungen wie der barometrischen Höhenformel, dem Weber-Fechner-Gesetz zur subjektiven Stärke von Sinneseindrücken, dem Gateway Arch in St. Louis und natürlich dem Zinseszins, und neben allseits Bekanntem über Wachstum und Verfall, der logarithmischen Spirale, der Kettenlinie, der Euler-Identität oder der Kettenbruchentwicklung konnte auch der Mathematiker aus dem Artikel noch etwas neues lernen: es gibt neben Addition, Multiplikation und Potenz noch eine vierte Verknüpfung, die Tetration ^ba:=a^{a^{a\ldots}}, wobei (b-1)-mal potenziert wird.

Wenn man diese Verknüpfung unendlich oft wiederholt, erhält man die Funktion x^{x^{x^{x\ldots}}}.
So wie man es von Addition und Multiplikation kennt, würde man auch hier erwarten, dass die für x>1 gegen Unendlich geht.
Erstaunlicherweise ist das nicht der Fall. Für alle x im Intervall e^{-e}<x<e^{\frac{1}{e}} nimmt die Funktion einen endlichen Wert an.

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Exponentielles Wachstum I

Manches Mal, wenn in Medien von exponentiellem Wachstum die Rede ist, sind die zugrundeliegenden Berechnungen kaum nachvollziehbar. So wie in einem Artikel über die Inflation in Venezuela, am 20. Mai auf Spiegel Online:

Der Internationale W\”ahrungsfonds prognostiziert Venezuela im Jahr 2018 eine Inflation von 13.864 Prozent. Venezolanische Ökonomen halten das noch für viel zu optimistisch. “Wir sagen dieses Jahr eine monatliche Preissteigerung von durchschnittlich 107 Prozent voraus, Tendenz steigend”, sagt Jean Paul Leidenz. “Wir werden das Jahr mit einer Inflation von 388.000 Prozent abschließen”, glaubt der Chefökonom der Wirtschaftsberatungsgesellschaft Econalitica.

Wenn man dieser Rechnung mit den angegebenen Zahlen nachzuvollziehen versucht, kommt man auf
(2,07)^{12}=6189,33\ldots
Das ist deutlich mehr als der angegebene Faktor 3880. Sicher ist nicht jede Preissteigerung inflationsbedingt, andererseits wird aber die Inflationsrate doch regulär anhand der Verbraucherpreise bestimmt. Was wurde hier also eigentlich berechnet?

Schwächeres Wachstum

Am 2. September berichtete die Tagesschau über die neuen Kfz-Steuern und darüber, dass diese für manche Autobesitzer stärker steigen würden als für andere.

Der ADAC sieht das kritischer. Nach Berechnungen des Autoklubs liegen die Mehrkosten zwischen 20 und 70 Prozent, wieviel genau hängt vom jeweiligen Modell ab. So müßten Käufer dieses Suzuki Swift-Modells statt 88 künftig 108 Euro mehr zahlen, 20 Euro mehr. Bei diesem VW Touareg-Modell mit höherem CO2-Ausstoß würden die Steuern stärker steigen, um 94 Euro im Jahr.

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Das wäre sicher zu begrüßen, wenn es denn so wäre. Nun sind allerdings 20 von 88 Euro eine Steigerung um 22,73 Prozent, während 94 von 459 Euro nur eine Steigerung um 20,48 Prozent sind. Die Wahrheit ist also, dass die Steuern für den VW Touareg weniger stark steigen als für den Suzuki Swift. Schließlich werden Steuern immer noch prozentual berechnet und nicht absolut.

Gar kein Wachstum

Wenn ein Haus gebaut wird und es aber keine freie Hausnummer mehr gibt, etwa weil das Haus zwischen den Häusern Nummer 3 und 4 zu stehen kommen soll, dann greift man in Deutschland meist zu Hausnummern wie 3a und ggf. dann fortlaufend 3b, 3c etc.
In Frankreich sieht man öfter mal Hausnummern wie 3 1/2 oder 3bis.
Ich weiß nicht, was man dort macht, wenn später noch ein neues Haus dazu kommt, ob man dann vielleicht eine Hausnummer
3 3/4 vergibt.
Im Friedhofweg in Augsburg-Göggingen wollte man es ganz elegant lösen: die sechs benachbarten Häuser haben die Hausnummern
3,3\frac{1}{2},\ldots,3\frac{1}{6}.

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Dummerweise ist das keine wachsende Folge. Nicht einmal in zweiter Ordnung.

Exponentielles Wachstum II

Das 1965 formulierte Mooresche Gesetz besagt, dass die Komplexität integrierter Schaltkreise sich regelmäßig verdoppelt, und zwar alle 18 Monate.

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In einem Beitrag vom 16. Mai auf dem Blog “AI and Compute” wurde dieses Gesetz an den Daten der letzten 6 Jahre überprüft.
Die Autoren kamen für diesen Zeitraum auf eine Verdopplung alle dreiundeinhalb Monate. Für einen Zeitraum von sechs Jahren käme man damit auf einen Faktor
2^{72/3,5}=1556635.
Im Artikel war eigenartigerweise ein Faktor 300000 angegeben, also eine deutlich kleinere Zahl.

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Kommentare (13)

  1. #1 Novidolski
    8. November 2018

    Wachstumsfunktionen sind in der Wirtschaft von Bedeutung. Bei der Finanzierung eines Hauses unterschieden sich zwei Angebote um nur 0,2 %.
    Als ich mit Mark und Pennig nachrechnete, dann betrug
    der Unterschied nach 10 Jahren immerhin 6000 DM.

  2. #2 Mathematiker
    9. November 2018

    Och Novidolsky…..

    Nun, bei 0,2 %, 10 Jahren und 6.000 Mark beträgt Ihre Hyphothek also mindestens 300.000 Mark.

    Tatsächlich beträgt ihre Hyphothek aber mehr. Wissen sie nur nicht, da sie keine Ahnung der Exponentialfunktion haben…..

    Im übrigen lässt sich ihe Beispiels mangels Informationen nicht nachrechnen, aber das ist wohl gewollt. Wissen sie ja selbst, warum nicht, sie sind ja ein klasse Mathematiker und wissen alles, gelle?

  3. #3 Tim
    9. November 2018

    “wortgewaltig” … In der Regel bedeutet das “schlecht geschrieben unter Verwendung zahlreicherer unklarer Begriffe”.

  4. #4 Frank Wappler
    9. November 2018

    Thilo schrieb (8. November 2018):
    > […] Tetration ^ba:=a^{a^{a\ldots}}, wobei (b-1)-mal potenziert wird.

    Die beiden Ausdrücke

    \underbrace{ a^{(a^{(a^{(\ldots)})})} }_{\text{(}b \text{ mal)}}

    und

    \underbrace{ (((a)^{a})^{a})^{(\ldots)} }_{\text{(}b \text{ mal)}}

    sind im Allgemeinen nicht äquivalent, z.B.

    3^{(3^{3})} := 3^{27} \neq (3^3)^3 := 9^3 = 3^6.

    Der entsprechende Wikipedia-Artikel https://de.wikipedia.org/wiki/Potenzturm besagt

    Dabei gilt die Konvention, dass Potenztürme „von oben nach unten“ abgearbeitet werden, also mit der höchsten Potenz beginnend:

    2^{3^{4}} bedeutet daher 2^{(3^4)} = 2^{81} und nicht (2^{3})^4 = 8^4 = 2^12.

    > Wenn man diese Verknüpfung unendlich oft wiederholt, erhält man die Funktion […]

    … offenbar ausdrücklich: x \overset{(\text{o}\rightarrow\text{u})}{\mapsto} \underset{b \rightarrow \infty}{\text{lim}} \! \! \left[ \, \underbrace{ x^{(x^{(x^{(\ldots)})})} }_{\text{(}b \text{ mal)}} \, \right] .

    (Wobei die »Abarbeitung „von oben nach unten“« ausdrücklich durch “(\text{o}\rightarrow\text{u})” symbolisiert sein soll.)

    > Für alle x im Intervall e^{-e}<x<e^{\frac{1}{e}}

    … der Wikipedia-Artikel usw. legen eher nahe: im geschlossenen Interval e^{-e} \le x \le e^{\frac{1}{e}}

    > nimmt die Funktion einen endlichen Wert an.

    Der Graph aus dem obigen Artikel scheint insbesondere zu zeigen:
    Für den Argument-Wert $x := \sqrt[e]{e}$ nimmt die Funktion den (endlichen Abbildungs-) Wert e an.

    Bedeutet das aber nun ganz ausdrücklich

    \sqrt[e]{e} \overset{(\text{o}\rightarrow\text{u})}{\mapsto} e ??

    Den Eindruck habe ich nicht.
    Denn schon mit dem Parameterwert b := 4 ergibt sich für den den Argument-Wert $x := \sqrt[e]{e}$ bei ausdrücklicher »Abarbeitung „von oben nach unten“« ein Ergebniswert größer als $3 > e$: siehe https://www.wolframalpha.com/input/?i=(((e%5E(1%2Fe))%5E(e%5E(1%2Fe)))%5E(e%5E(1%2Fe)))%5E(e%5E(1%2Fe))

    [Fortsetzung folgt auf eventuelle Nachfrage.]

  5. #5 Frank Wappler
    https://www.wolframalpha.com/input/?i=(((e%5E(1%2Fe))%5E(e%5E(1%2Fe)))%5E(e%5E(1%2Fe)))%5E(e%5E(1%2Fe))
    9. November 2018

    Thilo schrieb (8. November 2018):
    > […] Tetration ^ba:=a^{a^{a\ldots}}, wobei (b-1)-mal potenziert wird.

    Die beiden Ausdrücke

    \underbrace{ a^{(a^{(a^{(\ldots)})})} }_{\text{(}b \text{ mal)}}

    und

    \underbrace{ (((a)^{a})^{a})^{(\ldots)} }_{\text{(}b \text{ mal)}}

    sind im Allgemeinen nicht äquivalent, z.B.

    3^{(3^{3})} := 3^{27} \neq (3^3)^3 := 9^3 = 3^6.

    Der entsprechende Wikipedia-Artikel https://de.wikipedia.org/wiki/Potenzturm besagt

    Dabei gilt die Konvention, dass Potenztürme „von oben nach unten“ abgearbeitet werden, also mit der höchsten Potenz beginnend:

    2^{3^{4}} bedeutet daher 2^{(3^4)} = 2^{81} und nicht (2^{3})^4 = 8^4 = 2^{12}.

    > Wenn man diese Verknüpfung unendlich oft wiederholt, erhält man die Funktion […]

    … offenbar ausdrücklich: x \, \, \overset{(\text{o}\rightarrow\text{u})}{\mapsto} \, \, \underset{b \rightarrow \infty}{\text{lim}} \! \! \left[ \, \underbrace{ x^{(x^{(x^{(\ldots)})})} }_{\text{(}b \text{ mal)}} \, \right] .

    (Wobei die »Abarbeitung „von oben nach unten“« ausdrücklich durch “(\text{o}\rightarrow\text{u})” symbolisiert sein soll.)

    > Für alle x im Intervall e^{-e}<x<e^{\frac{1}{e}}

    … der Wikipedia-Artikel usw. legen eher nahe: im geschlossenen Interval e^{-e} \le x \le e^{\frac{1}{e}}

    > nimmt die Funktion einen endlichen Wert an.

    Der Graph aus dem obigen Artikel scheint insbesondere zu zeigen:
    Für den Argument-Wert x := \sqrt[e]{e} nimmt die Funktion den (endlichen Abbildungs-) Wert e an.

    Bedeutet das aber nun ganz ausdrücklich

    \sqrt[e]{e} \, \, \overset{(\text{o}\rightarrow\text{u})}{\mapsto} \, \, e ??

    Den Eindruck habe ich nicht.
    Denn schon mit dem Parameterwert b := 4 ergibt sich für den Argument-Wert x := \sqrt[e]{e} bei ausdrücklicher »Abarbeitung „von oben nach unten“« ein Ergebniswert größer als $3 > e$; konkret

    { \left( {\left( {{\sqrt[e]{e}}^{ \sqrt[e]{e} }} \right)}^{ \sqrt[e]{e} }  \right) }^{ \sqrt[e]{e} }  \gtrsim 3.0319294865

    [Fortsetzung folgt auf eventuelle Nachfrage.]

  6. #6 Frank Wappler
    https://www.wolframalpha.com/input/?i=(e%5E(1%2Fe))%5E((e%5E(1%2Fe))%5E(e%5E(1%2Fe))%5E(e%5E(1%2Fe)))
    9. November 2018

    Frank Wappler schrieb (#5, 9. November 2018 ):
    > […] Denn schon mit dem Parameterwert b := 4 ergibt sich für den Argument-Wert x := \sqrt[e]{e} bei ausdrücklicher »Abarbeitung „von oben nach unten“« ein Ergebniswert größer als 3 > e; konkret

    { \left( {\left( {{\sqrt[e]{e}}^{ \sqrt[e]{e} }} \right)}^{ \sqrt[e]{e} }  \right) }^{ \sqrt[e]{e} }  \gtrsim 3.0319294865

    Ah! — da wird doch offenbar, dass in dieser Formel „von unten nach oben abgearbeitet“ würde!
    (Es geht doch nichts über eine ordentliche Kommentarvorschau! …&)

    Dagegen ist

    {\sqrt[e]{e}}^{\left({\sqrt[e]{e}^{\left({\sqrt[e]{e}}^{\sqrt[e]{e}}\right)}}\right)}  \lesssim 1.9895735

    offenbar „von oben nach unten abzuarbeiten“.

    Der im obigen Artikel gezeigte Graph entspricht also tatsächlich der Konvention, dass Potenztürme „von oben nach unten“ abgearbeitet werden; zeigt also tatsächlich die Funktion x \overset{(\text{o}\rightarrow\text{u})}{\mapsto} \underset{b \rightarrow \infty}{\text{lim}} \! \! \left[ \, \underbrace{ x^{(x^{(x^{(\ldots)})})} }_{\text{(}b \text{ mal)}} \, \right] .

    p.s.
    Bliebe höchstens zu fragen, wo die andere entsprechende “unkonventionelle” Funktion, d.h. mit »Abarbeitung „von unten nach oben“« kovergiert; also die Funktion

    x \, \, \overset{(\text{u}\rightarrow\text{o})}{\mapsto} \, \, \underset{b \rightarrow \infty}{\text{lim}} \! \! \left[ \,   \underbrace{ (((x)^{x})^{x})^{(\ldots)} }_{\text{(}b \text{ mal)}} \, \right].

  7. #7 Frank Wappler
    https://www.wolframalpha.com/input/?i=(e%5E(1%2Fe))%5E((e%5E(1%2Fe))%5E(e%5E(1%2Fe))%5E(e%5E(1%2Fe)))
    9. November 2018

    Frank Wappler schrieb (#5, 9. November 2018 ):
    > […] Denn schon mit dem Parameterwert b := 4 ergibt sich für den Argument-Wert x := \sqrt[e]{e} bei ausdrücklicher »Abarbeitung „von oben nach unten“« ein Ergebniswert größer als 3 > e; konkret

    { \left( {\left( {{\sqrt[e]{e}}^{ \sqrt[e]{e} }} \right)}^{ \sqrt[e]{e} }  \right) }^{ \sqrt[e]{e} }  \gtrsim 3.0319294865

    Ah! — da wird doch offenbar, dass in dieser Formel „von unten nach oben abgearbeitet“ würde!
    (Es geht doch nichts über eine ordentliche Kommentarvorschau! …&)

    Dagegen ist

    {\sqrt[e]{e}}^{\left({\sqrt[e]{e}^{\left({\sqrt[e]{e}}^{\sqrt[e]{e}}\right)}}\right)}  \lesssim 1.9895735

    offenbar „von oben nach unten abzuarbeiten“.

    Der im obigen Artikel gezeigte Graph entspricht also tatsächlich der Konvention, dass Potenztürme „von oben nach unten“ abgearbeitet werden; zeigt also tatsächlich die Funktion x \overset{(\text{o}\rightarrow\text{u})}{\mapsto} \underset{b \rightarrow \infty}{\text{lim}} \! \! \left[ \, \underbrace{ x^{(x^{(x^{(\ldots)})})} }_{\text{(}b \text{ mal)}} \, \right] \equiv x^{x{^{x{^{x^{\, \ldots}}}}}}.

    p.s.
    Bliebe höchstens zu fragen, wo die andere entsprechende “unkonventionelle” Funktion, d.h. mit »Abarbeitung „von unten nach oben“« konvergiert; also die Funktion

    x \, \, \overset{(\text{u}\rightarrow\text{o})}{\mapsto} \, \, \underset{b \rightarrow \infty}{\text{lim}} \! \! \left[ \,   \underbrace{ (((x)^{x})^{x})^{(\ldots)} }_{\text{(}b \text{ mal)}} \, \right].

  8. #8 michael
    10. November 2018

    > Bliebe höchstens zu fragen, …

    Laeuft das nicht auf die Berechnung des Grenzwertes von x^(x^n) fuer n gegen unendlich hinaus ? Fuer x=1 ist der Wert jedenfalls 1.

  9. #9 Frank Wappler
    10. November 2018

    Frank Wappler schrieb (#4, #5, 9. November 2018):
    > 3^{(3^{3})} := 3^{27} \neq (3^3)^3 := 9^3 = 3^6.

    Autsch! — Ich bitte um Entschuldigung!, und korrigiere:

    3^{(3^{3})} := 3^{27} \neq (3^3)^3 := 27^3 = 3^9.

    p.s.
    michael schrieb (#8, 10. November 2018):
    > »Abarbeitung „von unten nach oben“« Laeuft das nicht auf die Berechnung des Grenzwertes von x^(x^n) fuer n gegen unendlich hinaus ?

    So weit ich mich auch nochmal aus dem Fenster zu lehnen versuche — ich erkenne leider gerade (auch) nicht, wie sich das anschaulich durch “geschicktes Umstellen und Auflösen der Formel” herleiten ließe.
    (Oder gar, ob das für negative oder komplexe x überhaupt zuträfe. …)

  10. #10 Thilo
    11. November 2018

    Die Potenztürme sind von oben nach unten abzuarbeiten, denn ansonsten hätte man ja tatsächlich einfach x^(x^n).

  11. #11 Frank Wappler
    http://just.because.several.individuals.were.each.by.themselves.incompetent--does.not.rule.out.--that.they.intended.to.conspire
    12. November 2018

    Thilo schrieb (#10, 11. November 2018):
    > Die Potenztürme sind von oben nach unten abzuarbeiten

    Das entspicht offenbar der Definition von “Potenzturm” sowie der Kovention, Ausdrücke der Form

    \underbrace{ x^{(x^{(x^{(\ldots)})})} }_{\text{(}n \text{ mal)}}

    bzw.

    \underbrace{ x^{x^{x^{{\, .}^{{\, .}^{{\, .}^{\, x}}}}}} }_{\text{(}n \text{ mal)}}

    als Notation von Potenztürmen aufzufassen.

    Und diese Konvention lässt sich auch begründen/motivieren: …

    > denn ansonsten hätte man ja tatsächlich einfach x^(x^n).

    Diese einfache Formel (für “das Abarbeiten von unten nach oben”, d.h. für “das unkonventionelle Abarbeiten”) entspricht der von michael (#8, 10. November 2018) angegebenen.

    Mich beschäftigt aber immer noch, wie sie (anschaulich) herzuleiten wäre …
    … oder, mittlerweile, ob sie überhaupt stimmt. Denn im Probe-Fall x = 2, n = 3:

    {(2^2)}^2 = 4^2 = 16 \neq {2^{(2^3)} !

    Ich komme dagegen auf die (allerdings ebenfalls einfache) Formel “x^(x^(n – 1))”, zumindest für positive Werte n.

    Beweis
    Induktionsanfang n = 1:

          f[ \, x \, ] \equiv f[ \, x^1 \, ] \equiv f[ \, x^{(x^{0})} \, ] \equiv f[ \, x^{(x^{(1 - 1)})} \, ].

    Induktionsschritt:
          g[ \, {(x^{(x^{(n - 1)})})}^x \, ] = g[ \, {(x^{((x^{(n - 1)}) \times x)})} \, ] = g[ \, {(x^{(x^{((n+1) - 1)})})} \, ].

  12. #12 Novidolski
    13. November 2018

    Mathematiker,
    die Verzinsung des Kredites unterschied sich um 0,2 %.
    Damit ich mich bei der Exponentialfunktion nicht irre, habe ich mit absoluten Beträgen gerechnet. Und da Sie meine Tilgungrate nicht kennen und auch nicht den Kreditzins
    können Sie nicht auf die Höhe der Hypothek schließen. Zumal Sonderzahlungen extra erlaubt waren.

  13. #13 Novidolski
    13. November 2018

    Nachtrag Mathematiker
    das waren 10 x 12 Berechnungen, diese Mühe habe ich mir gemacht und war selbst überrascht, dass sich die Rückzahlungsbeträge um 6 000 € unterschieden.